Pra mostrar que o conjunto das matrizes ortogonais é fechado, você poderia também mostrar que o seu complementar M é aberto.
A pertence a M == A'A I.
A função F: R^(n^2) x R^(n^2) - R^(n^2) dada por F(X) = X'X é contínua e M é a imagem inversa por F do aberto R^(n^2) - {I}.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Sun, 3 Apr 2005 20:23:36 -0300 (BRT)
Assunto:
Re: [obm-l] Matrizes invertíveis
A funçao determinante de martizes é continiua. O conjunto das matrizes
inversiveis é a imagem inversa do conjunto aberto (-oo,0)U(0,+oo),
portanto é um conjunto aberto.
Para mostrar que o conjunto das matrizes ortogonais é compacto, mostre que
é fechado e limitado. É limitado , pois por exemplo na norma 2 de matrizes
a norma de uma matriz ortogonal é sempre =1.
Para mostrar que é fechado pegue uma sequencia convergente de matrizes
ortogonais A_k, com limite A_k=A. Mostre que A é ortogonal.
Por A_k serem ortogonais (A_k^T)A_k=I. faça k tender a infinito nesta
igualdade e vc tera que (A^T)A=I, logo A é ortogonal. Para explicar isso
pense em A=[a_1,a_2,...,a_n] onde a_i sao as colunas de A, e
A_k=[a_k^1,a_k^2,...,a_k^n] onde a_k^i sao as colunas de A_k.
A igualdade (A_k^T)A_k=I é equivalente a
<A_K^I,A_K^I>=1, para todo k, e para i=1,...,n ,é o produto interno (
escalar de vetores.
Dizer q A_k converge para A siginifica que para cada i=1,...,n a
coluna a_k^i converge para a coluna a_i. Logo tomando os limites em k nas
igualdades do produto escalar, teremos que <A_I,A_I>=1 para i=1,...,n e
assim A é matriz ortoganal .
On Sun, 3 Apr 2005, carlos gomes wrote:
Alô amigos,
Como faço para verificar que o conjuntos das matrizes invertíveis nxn é aberto em R^(n^2)? E que o conjunto das matrizes ortogonais nxn é um subconjunto compacto de R^(n^2) ?
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Mario Salvatierra Junior
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