[obm-l] Re: [obm-l] Questão IME 96
- Original Message - From: Tcheka Republica [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 25, 2003 1:55 PM Subject: [obm-l] Questão IME 96 Essa é uma questão do IME do ano de 1996. Gostaria que alguem ajudasse-me a resolve-la: Seja um octógono convexo. Supondo que quando todas as suas digonais são traçadas, não há mais de duas diagonais se interceptando no mesmo ponto. Quantos pontos de interseção (de diagonais) existem neste octógono ? Obrigado pela ajuda. Wander Caro Wander: O enunciado contém um erro, pois cada um dos 8 vértices do octógono é extremidade de 5 diagonais - assim, não é possível que apenas 2 diagonais se encontrem em cada ponto. No entanto, vamos supor que o problema peça o número de pontos de interseção de diagonais que não são vértices do octógono. Nesse caso, começamos calculando o número de diagonais de um octógono convexo - igual a 8*(8-3)/2 = 20. Se cada par de diagonais se encontra num ponto, teremos que o número de pontos de interseção será: C(20,2) = 20*19/2 = 190. No entanto, alguns desses pontos são justamente os vértices do octógono, onde 5 diagonais se encontram. Assim, em cada vértice existirão C(5,2) = 5*4/2 = 10 pares de diagonais se encontrando. Assim, devemos subtrair 8*C(5,2) = 80 do número que achamos anteriormente, o que dará um total de: 190 - 80 = 110 pontos de interseção de diagonais que não são vértices. Há um outro detalhe a se considerar: o problema pede o número de pontos de interseções de diagonais NO octógono. Isso pode significar duas coisas: i) o número de pontos NO PLANO do octógono, podendo algum ponto ser exterior ao octógono - nesse caso, vale a solução acima; ou ii) o número de pontos NO INTERIOR do octógono: Aqui, o raciocínio é um pouco diferente. Cada quatro vértices do octógono determinam um quadrilátero, o qual tem apenas duas diagonais (as quais são também diagonais do octógono) que se encontram num ponto, o qual é diferente para cada quadrilátero formado por vértices do octógono. Assim, cada quadrilátero determina um ponto de interseção e vice-versa. Além disso, cada 4 vértices determinam um quadrilátero e vice-versa. Segue-se que: número de pontos de interseção = número de quadriláteros = número de maneiras de se escolher 4 vértices dentre os 8 existentes = C(8,4) = 8*7*6*5/(4*3*2*1) = 70 pontos de interseção de diagonais INTERIORES ao octógono. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ---- Questão IME
Eh verdade, foi mal. De A(A^2-kI)=0 so da pra tirar que ou det(A)=0, ou det(A^2-kI)=0. Mas me parece que eu nao precisava desse primeiro passo. Se A+I nao for inversivel, entao (A+I)x=0, para algum x nao nulo. E isto e equivalente a Ax=-x. Que implica A^3x=-A^2x=Ax=-x. Mas por outro lado, A^3x=kAx=-kx. Logo, x=kx, o que contradiz k1. Salvador On Tue, 19 Nov 2002, Augusto César Morgado wrote: Epa! A pode não ser identicamente nula e A^3 = kA e A^2 diferente de kI. Por exemplo, considere A 2x2 com primeira coluna 2 2e segunda coluna 0 0. A não é identicamente nula, A^3 = 4A e A^2 não é igual a 4I. Morgado Salvador Addas Zanata wrote: Se A^3=kA, entao se A nao for identicamente nula, A^2=kI. Suponha que (A+I) nao seja inversivel. Entao o sistema (A+I)x=0 tem uma solucao x nao-identicamente nula. Assim, Ax=-x = A^2x=-Ax=x Mas por outro lado, A^2x=kx, logo kx=x, absurdo pois x nao e identicamente nulo e k1. Abraco, Salvador On Tue, 19 Nov 2002, cfgauss77 wrote: Ficaria muito agradecido se alguém me ajudasse na qustão do IME abaixo. -- Considere uma matriz A, nxn, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo que A^3=kA, prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a matriz identidade nxn. __ Venha para a VilaBOL! O melhor lugar para você construir seu site. Fácil e grátis! http://vila.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ---- Questão IME
Se A^3=kA, entao se A nao for identicamente nula, A^2=kI. Suponha que (A+I) nao seja inversivel. Entao o sistema (A+I)x=0 tem uma solucao x nao-identicamente nula. Assim, Ax=-x = A^2x=-Ax=x Mas por outro lado, A^2x=kx, logo kx=x, absurdo pois x nao e identicamente nulo e k1. Abraco, Salvador On Tue, 19 Nov 2002, cfgauss77 wrote: Ficaria muito agradecido se alguém me ajudasse na qustão do IME abaixo. -- Considere uma matriz A, nxn, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo que A^3=kA, prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a matriz identidade nxn. __ Venha para a VilaBOL! O melhor lugar para você construir seu site. Fácil e grátis! http://vila.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] ---- Questão IME
Ficaria muito agradecido se alguém me ajudasse na qustão do IME abaixo. -- Considere uma matriz A, nxn, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo que A^3=kA, prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a matriz identidade nxn. (A + I)(A² - A + xI) = A³ - A² + xA + A² - A + xI = A³ + (x-1)A + xI = A(k + x - 1) + xI tomando x = 1 - k temos que (A + I)^-1 = [1/(1-k)]*[A² - A + (1-k)I] [1/(1-k)]*[A² - A + (1-k)I](A+I) = [1/(1-k)]*[A³ - A² + (1-k)A + A² - A + (1-k)I] = [1/(1-k)]*[kA + (1-k)A - A + (1-k)I] = [1/(1-k)].[(1-k)I] = I a hipótese k != 1 é essencial para que 1/(1-k) faça sentido. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ---- Questão IME
Epa! A pode no ser identicamente nula e A^3 = kA e A^2 diferente de kI. Por exemplo, considere A 2x2 com primeira coluna 2 2 e segunda coluna 0 0. A no identicamente nula, A^3 = 4A e A^2 no igual a 4I. Morgado Salvador Addas Zanata wrote: Se A^3=kA, entao se A nao for identicamente nula, A^2=kI.Suponha que (A+I) nao seja inversivel. Entao o sistema (A+I)x=0 tem uma solucao x nao-identicamente nula.Assim, Ax=-x = A^2x=-Ax=xMas por outro lado, A^2x=kx, logo kx=x, absurdo pois x nao e identicamentenulo e k1.Abraco,SalvadorOn Tue, 19 Nov 2002, cfgauss77 wrote: Ficaria muito agradecido se algum me ajudasse na qusto do IME abaixo. -- Considere uma matriz A, nxn, de coeficientes reais, e k um nmero real diferente de 1. Sabendo que A^3=kA, prove que a matriz A+I invertvel, onde I a matriz identidade nxn. __Venha para a VilaBOL!O melhor lugar para voc construir seu site. Fcil e grtis!http://vila.bol.com.br=Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lis ta [EMAIL PROTECTED]= =Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]=
Re: [obm-l] ---- Questão IME
Chame A+I de X. A = X - I. Como A^3 = kA, fazendo as contas dá X^3 - 3X^2 + 3X - I = kX - kI X (X^2 - 3X +3I - kI) = (1-k) I A inversa de X é o produto do número 1/(1-k) pela matriz (X^2 - 3X +3I - kI). Morgado cfgauss77 wrote: Ficaria muito agradecido se alguém me ajudasse na qustão do IME abaixo. -- Considere uma matriz A, nxn, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo que A^3=kA, prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a matriz identidade nxn. __ Venha para a VilaBOL! O melhor lugar para você construir seu site. Fácil e grátis! http://vila.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] questão IME
Sejam 2i+1,2i+3,...,2j+1 os termos da PA, com ij ( veja que i e j não obrigatoriamente são naturais). Entã a soma deles é (2i+1 + 2j+1)(j-i+1)/2, donde (j+1+i)(j+1-i)=7^3 Basta agora analisar os casos. Em cada um deles vc chegará num sistema e achará i e j. -- Mensagem original -- Alguem pode me ajudar com esta questão do IME do ano de 1997-1998? Uma soma finita de números inteiros consecutivos, ímpares, positivos ou negativos, é igual a 7^3 (7 elevado ao cubo). Determine os termos desta soma. Obrigado. []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] questão IME
(2a+1)+(2a+3)+(2a+5)+...(2a+2n-1)=7³ 2na+(1+3+5+...+2n-1)=7³ 2na+n(1+2n-1)/2=7³ 2na+n²=7³ n(n+2a)=7³ Observe que n e a são inteiros,em particular,n0.Agora temos as possibilidades: 1)n=1 e n+2a=7³ == 2a=7³-1 ==2a=342 Nesse caso, temos um único termo (2a+1)=343. 2)n=7 e n+2a=7² == 2a=7²-7=42 Nesse caso,os termos são 43,45,47,49,51,53 e 55 (7 termos). 3)n=7² e n+2a=7 ==2a= -42 Nesse caso,os termos são -42,--40,-38,...,54 (7² termos) 4)n=7³ e n+2a=1 == 2a= -342 Nesse caso, os termos são -341,-340,...,343 (7³ termos) Bom,acho que é isso. Eder - Original Message - From: Wander Junior To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, November 03, 2002 2:41 PM Subject: [obm-l] questão IME Alguem pode me ajudar com esta questão do IME do ano de 1997-1998? Uma soma finita de números inteiros consecutivos, ímpares, positivos ou negativos, é igual a 7^3 (7 elevado ao cubo). Determine os termos desta soma. Obrigado.
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO IME
Que tal usar analítica Jorge? Assim poderia encontrar todos os vértices e calcular a área do octógono. Só não sei se seria prático! -Mensagem Original- De: Jorge Paulino Enviado: quarta-feira, 25 de setembro de 2002 14:09 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] QUESTÃO IME Galera, gostaria de ajuda numa questão do IME, que provavelmente já foi discutida nessa lista.É aquela onde se constrói um octógno no centro de umquadrado de lado a, a partir de semi-retas com origemnos vértices do quadrado... pede-se a área do octógonoem função de a. Na resposta não devem aparecer funções trigonométricas...Se alguém tiver disposição para ajudar, agradeço.Um abraço,Jorge"A partir de cada vértice de um quadrado de lado atrace ___Yahoo! GeoCitiesTudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.http://br.geocities.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]=Aproveite melhor a Web. Faça o download GRÁTIS do MSN Explorer : http://explorer.msn.com.br/intl.asp#po
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO IME
Oi galera, poderiam me ajudar na seguinte questão do IME... sqrt(5-sqrt(5-x))=x, para x0 Eleve ao quadrado dos dois lados. Fica 5-sqrt(5-x)=x^2. Arranjando convenientemente a equação, ficamos com sqrt(5-x)=5-x^2. Vemos que y=5-x^2 é a função inversa de y=sqrt(5-x) sendo, portanto, as duas simétricas à reta y=x e com seus os pontos de intersecção nessa reta. Aí é só resolver y=5-x^2 com y=x. Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão IME
From: Igor GomeZZ [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Eder [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] questão IME Date: Sat, 10 Aug 2002 22:49:39 -0300 Em 10/8/2002, 18:12, Eder ([EMAIL PROTECTED]) disse: i)Pelo Pequeno Teorema de Fermat,temos que k^5=k (mod 5) Pode parecer idiota, mas o que eh mod 5? Fui! ### Igor GomeZZ UIN: 29249895 Vitória, Espírito Santo, Brasil Criação: 10/8/2002 (22:48) Pare para pensar: Amigo: alguém que sabe de tudo a teu respeito e gosta de ti assim mesmo. (Elbert Hubbard) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = Olá Igor, Na realidade k^5=k(mod5) é apenas uma notação matemática que significa a mesma coisa que 5 divide k^5-k,ou seja se tivermos A=B(modN) estaremos matematica falando q A é congruo a B modulo N,isto é N divide (A-B) Um abraço, Leonardo _ Converse com seus amigos online, faça o download grátis do MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] questão IME
Em 11/8/2002, 10:59, leonardo ([EMAIL PROTECTED]) disse: Olá Igor, Fala brow! Na realidade k^5=k(mod5) é apenas uma notação matemática que significa a mesma coisa que 5 divide k^5-k,ou seja se tivermos A=B(modN) estaremos matematica falando q A é congruo a B modulo N,isto é N divide (A-B) Um abraço, Leonardo Ah soh, aquela barra vertical! Tipo 10|2 (dois divisor de 10), achei que mod tinha algo a ver com módulo :) Valeu pela explicação! Fui! ### Igor GomeZZ UIN: 29249895 Vitória, Espírito Santo, Brasil Criação: 11/8/2002 (15:47) Pare para pensar: Seja igual e junte-se a sociedade, seja diferente e torne-se um líder. (Autor desconhecido) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] questão IME
É verdade Gabriel, vc não precisa estudar o teorema de fermat para o IME, só precisa raciocinar, como fez o leonardo e os outros dizendo que se k^5-k é divisível por 10, então termina em mesmo algarismo que k. __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol É possível resolver essa questao usando conhecimentos restritos ao ensino medio? O Teorema de Fermat pode ser ensinado no ensino medio? Na hora de provar algo em uma prova aberta (que é o caso do IME), eh preciso adotar um formalismo? A banca do IME segue critérios rígidos? Que precaucoes devo ter na hora de responder as questoes? Gabriel - Original Message - From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 10, 2002 5:25 PM Subject: [obm-l] questão IME Por favor, me ajudem a resolver a questão abaixo que caiu no IME. Provar que para qualquer numero inteiro k, os números k e k^5 terminam sempre com o mesmo algarismo das unidades. obrigado __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] questão IME
Se provarmos que k^5 - k é múltiplo de 10,o problema estará acabado.Vejamos: i)Pelo Pequeno Teorema de Fermat,temos que k^5=k (mod 5),ou seja,existe c inteiro tal que k^5-k=c*5.Então k^5-k é múltiplo de 5. ii)K^5-k=k(k^4-1)=k(k^2-1)(k^2+1)=(k-1)k(k+1)(k^2+1).Observe a presença de dois interios consecutivos: k e k+1 ou k e k-1 e k.Dentre eles,um é necessariamente par,o que torna todo o produto múltiplo de 2. Sendo k^5-k múltiplo de 2 e de 5 ao mesmo tempo,podemos concluir que k^5-k é múltiplo de 10.Acabado o problema. Não sei se podemos simplesmente escrever o que está escrito no item i,se a banca aceitaria.Pensemos outra forma de provar que k^5-k é M5... Bom,todo inteiro pode ser escrito numa das seguintes formas: 5m,5m+1,5m+2,5m+3 e 5m+4,m inteiro.Daí: i)Se k=5m,perfeito. ii)Se k=5m+1,então k-1=5m,perfeito. iii)Se k=5m+2,então k^2+1= 25m^2+20m+5,que é M5,perfeito. iv)Se k=5m+3,entãok^2+1=25m^2+30m+10,que é M5,perfeito. v)Se k=5m+4,então k+1=5m+5,que é M5,perfeito. Essa seria outra forma. Eder - Original Message - From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 10, 2002 5:25 PM Subject: [obm-l] questão IME Por favor, me ajudem a resolver a questão abaixo que caiu no IME. Provar que para qualquer numero inteiro k, os números k e k^5 terminam sempre com o mesmo algarismo das unidades. obrigado __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] questão IME
From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] questão IME Date: Sat, 10 Aug 2002 17:25:49 -0300 Por favor, me ajudem a resolver a questão abaixo que caiu no IME. Provar que para qualquer numero inteiro k, os números k e k^5 terminam sempre com o mesmo algarismo das unidades. obrigado e aí?!tudo em cima?! Provar que os numeros k e k^5 terminam sempre com o mesmo algarismo das unidades é provar que k^5-k é divisivel por 10 ou por 2 e 5,entao: se k é par,k^5 tambem é par se k é impar,k^5 tambem é impar Logo para k impar ou par k^5-k sera sempre par,entao k^5-k é divisivel por 2. Pelo pequeno teorema de Fermat,vem que: k^4 é congruo a 1 modulo 5,isso implica que k^5 é congruo a k modulo 5 entaum k^5-k é divisivel por 5 (c.q.d) Um abraço,Leonardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Photos é a maneira mais fácil e prática de editar e compartilhar sua fotos: http://photos.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] questão IME
O que vc quer é o mesmo que provar que k = k^5 (mod 10) O teorema de Euler diz que a^phi(n) = 1 (mod n) com n=10 temos a^phi(10) = 1 (mod 10) phi(10) = 10.(1/2).(4/5) = 4 portanto a^4 = 1 (mod 10) ou simplesmente k^4 = 1 (mod 10) multiplicando ambos os lados por k obtemos k^5 = k (mod 10) que é o que queríamos demonstrar Até mais Vinicius Fortuna - Original Message - From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] questão IME Por favor, me ajudem a resolver a questão abaixo que caiu no IME. Provar que para qualquer numero inteiro k, os números k e k^5 terminam sempre com o mesmo algarismo das unidades. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] questão IME
Ops! Uma correção abaixo - Original Message - From: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 10, 2002 6:47 PM Subject: Re: [obm-l] questão IME O que vc quer é o mesmo que provar que k = k^5 (mod 10) O teorema de Euler diz que a^phi(n) = 1 (mod n) para todo 'a' primo relativo a n (Sempre esqueço isso) com n=10 temos a^phi(10) = 1 (mod 10) Se 'a' não divisível por 2 ou 5 phi(10) = 10.(1/2).(4/5) = 4 portanto a^4 = 1 (mod 10) ou simplesmente k^4 = 1 (mod 10) para k não divisível por 2 ou 5 multiplicando ambos os lados por k obtemos k^5 = k (mod 10) que é o que queríamos demonstrar Bom, acabou faltando os casos para k=2p ou k=5p Resolvendo esses casos acaba ficando mais complicado que as outras soluções que apareceram aí :-( Até mais Vinicius Fortuna - Original Message - From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] questão IME Por favor, me ajudem a resolver a questão abaixo que caiu no IME. Provar que para qualquer numero inteiro k, os números k e k^5 terminam sempre com o mesmo algarismo das unidades. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] questão IME
É possível resolver essa questao usando conhecimentos restritos ao ensino medio? O Teorema de Fermat pode ser ensinado no ensino medio? Na hora de provar algo em uma prova aberta (que é o caso do IME), eh preciso adotar um formalismo? A banca do IME segue critérios rígidos? Que precaucoes devo ter na hora de responder as questoes? Gabriel - Original Message - From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 10, 2002 5:25 PM Subject: [obm-l] questão IME Por favor, me ajudem a resolver a questão abaixo que caiu no IME. Provar que para qualquer numero inteiro k, os números k e k^5 terminam sempre com o mesmo algarismo das unidades. obrigado __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] questão IME
Em 10/8/2002, 18:12, Eder ([EMAIL PROTECTED]) disse: i)Pelo Pequeno Teorema de Fermat,temos que k^5=k (mod 5) Pode parecer idiota, mas o que eh mod 5? Fui! ### Igor GomeZZ UIN: 29249895 Vitória, Espírito Santo, Brasil Criação: 10/8/2002 (22:48) Pare para pensar: Amigo: alguém que sabe de tudo a teu respeito e gosta de ti assim mesmo. (Elbert Hubbard) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão IME
a=b (le-se a eh congruo a b) (na realidade o sinal que se usa eh o de igual com tres tracinhos) modulo p significa a-b eh multiplo de p ou, o que eh o mesmo, a e b deixam restos iguais na divisao por p. Igor GomeZZ wrote: [EMAIL PROTECTED]"> Em 10/8/2002, 18:12, Eder ([EMAIL PROTECTED]) disse: i)Pelo Pequeno Teorema de Fermat,temos que k^5=k (mod 5) Pode parecer idiota, mas o que eh "mod 5"?Fui!### Igor GomeZZ UIN: 29249895 Vitria, Esprito Santo, Brasil Criao: 10/8/2002 (22:48)Pare para pensar:Amigo: algum que sabe de tudo ateu respeito e gosta de ti assimmesmo. (Elbert Hubbard)=Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED] =
