[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Em qua., 26 de ago. de 2020 às 18:29, Pedro José escreveu: > > Boa noite! > Anderson, > achei legal a sua visão. Mas não consegui evoluir com nada. > Todavia, fiquei com uma dúvida. Como x+y é um dos ângulos do triângulo temos > a restrição 0 E entendo que tanto para cotg(x) + cot(y) , como para tg(x) + tg(y) ocorrerá > um mínimo em x=y=K/2, onde x+y=k,k sendo um constante. > Não acompanhei a sua dedução d quando um é mínimo o outro é máximo. Eu não fui muito claro. Você converteu o problema em "calcule o valor mínimo de cot(x)+cot(y) com x+y fixo". Isso é essencialmente o mesmo que resolver o problema "calcule o valor mínimo de tan(a)+tan(b) com a+b fixo" - pois sabendo resolver um é só usar a mesma solução para x=90-a, y=90-b. > > Saudações, > PJMS > > Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:40, Anderson Torres > escreveu: >> >> Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres >> escreveu: >> > >> > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José >> > escreveu: >> > > >> > > Boa noite! >> > > Cláudio, >> > > não consegui nada geométrico. >> > > O máximo que atingi foi: >> > > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + >> > > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. >> > > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre >> > > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das >> > > bissetrizes e logo I. >> > > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. >> > >> > Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada. >> > Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a >> > geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de >> > números. >> > >> > Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação >> > geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos >> > apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de >> > semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um >> > quadrilátero cíclico. >> >> Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com >> x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com >> 90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo. >> >> Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto >> adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais >> equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema >> pode ser pensado da seguinte forma: >> >> Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x >> e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a >> distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja >> mínima. >> >> Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a >> bissetriz por A. >> >> No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica. >> A trigonometria se torna apenas um atalho. >> >> Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo. >> >> >> >> > >> > Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense >> > VS geometria paulista: >> > https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf >> > >> > >> > > >> > > Saudações, >> > > PJMS >> > > >> > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara >> > > escreveu: >> > >> >> > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? >> > >> E que torne o resultado mais intuitivo? >> > >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos >> > >> lados, pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, >> > >> a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. >> > >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, >> > >> que P deva ser equidistante dos três. >> > >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior >> > >> lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal >> > >> que a/h_a = b/h_b = c/h_c. >> > >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente >> > >> neste caso. >> > >> >> > >> >> > >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco >> > >> wrote: >> > >>> >> > >>> Olá, Vanderlei. >> > >>> Por Cauchy-Schwarz, temos >> > >>> >> > >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) >> > >>> >> > >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a >> > >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o >> > >>> semi-perimetro. >> > >>> >> > >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = >> > >>> hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo >> > >>> >> > >>> Abraços, >> > >>> Matheus >> > >>> >> > >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz >> > >>> escreveu: >> > >> > Bom dia! >> > >> > Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive >> > êxito. Alguém ajuda? >> > Muito agradecido! >> > >> > Seja P um ponto no
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Boa noite! Anderson, achei legal a sua visão. Mas não consegui evoluir com nada. Todavia, fiquei com uma dúvida. Como x+y é um dos ângulos do triângulo temos a restrição 0 escreveu: > Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres > escreveu: > > > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José > escreveu: > > > > > > Boa noite! > > > Cláudio, > > > não consegui nada geométrico. > > > O máximo que atingi foi: > > > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. > > > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que > ocorre quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das > bissetrizes e logo I. > > > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. > > > > Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada. > > Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a > > geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de > > números. > > > > Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação > > geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos > > apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de > > semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um > > quadrilátero cíclico. > > Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com > x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com > 90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo. > > Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto > adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais > equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema > pode ser pensado da seguinte forma: > > Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x > e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a > distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja > mínima. > > Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a > bissetriz por A. > > No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica. > A trigonometria se torna apenas um atalho. > > Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo. > > > > > > > Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense > > VS geometria paulista: > > https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf > > > > > > > > > > Saudações, > > > PJMS > > > > > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > > >> > > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica > disso? E que torne o resultado mais intuitivo? > > >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos > lados, pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a > cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. > > >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a > priori, que P deva ser equidistante dos três. > > >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior > lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que > a/h_a = b/h_b = c/h_c. > > >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente > neste caso. > > >> > > >> > > >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco < > matheusse...@gmail.com> wrote: > > >>> > > >>> Olá, Vanderlei. > > >>> Por Cauchy-Schwarz, temos > > >>> > > >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) > > >>> > > >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a > expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o semi-perimetro. > > >>> > > >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb > = hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo > > >>> > > >>> Abraços, > > >>> Matheus > > >>> > > >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < > vanderma...@gmail.com> escreveu: > > > > Bom dia! > > > > Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive > êxito. Alguém ajuda? > > Muito agradecido! > > > > Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as > distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor > mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do > triângulo ABC. > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > >>> > > >>> > > >>> -- > > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > >>> acredita-se estar livre de perigo. > > >> > > >> > > >> -- > > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > > > > -- > > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >
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Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres escreveu: > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José > escreveu: > > > > Boa noite! > > Cláudio, > > não consegui nada geométrico. > > O máximo que atingi foi: > > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + > > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. > > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre > > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes > > e logo I. > > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. > > Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada. > Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a > geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de > números. > > Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação > geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos > apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de > semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um > quadrilátero cíclico. Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com 90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo. Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema pode ser pensado da seguinte forma: Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja mínima. Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a bissetriz por A. No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica. A trigonometria se torna apenas um atalho. Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo. > > Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense > VS geometria paulista: > https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf > > > > > > Saudações, > > PJMS > > > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara > > escreveu: > >> > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E > >> que torne o resultado mais intuitivo? > >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, > >> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a > >> cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. > >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que > >> P deva ser equidistante dos três. > >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado > >> e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que > >> a/h_a = b/h_b = c/h_c. > >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste > >> caso. > >> > >> > >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco > >> wrote: > >>> > >>> Olá, Vanderlei. > >>> Por Cauchy-Schwarz, temos > >>> > >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) > >>> > >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a > >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o > >>> semi-perimetro. > >>> > >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, > >>> ou seja, quando P é o incentro do triângulo > >>> > >>> Abraços, > >>> Matheus > >>> > >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz > >>> escreveu: > > Bom dia! > > Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. > Alguém ajuda? > Muito agradecido! > > Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as > distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor > mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do > triângulo ABC. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > >>> > >>> > >>> -- > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >>> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José escreveu: > > Boa noite! > Cláudio, > não consegui nada geométrico. > O máximo que atingi foi: > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes e > logo I. > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada. Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de números. Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um quadrilátero cíclico. Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense VS geometria paulista: https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf > > Saudações, > PJMS > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara > escreveu: >> >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E que >> torne o resultado mais intuitivo? >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, >> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a cresceria >> e a expressão se afastaria do valor mínimo. >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que P >> deva ser equidistante dos três. >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado e >> conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que a/h_a = >> b/h_b = c/h_c. >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste >> caso. >> >> >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco >> wrote: >>> >>> Olá, Vanderlei. >>> Por Cauchy-Schwarz, temos >>> >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) >>> >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o semi-perimetro. >>> >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, >>> ou seja, quando P é o incentro do triângulo >>> >>> Abraços, >>> Matheus >>> >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz >>> escreveu: Bom dia! Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. Alguém ajuda? Muito agradecido! Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do triângulo ABC. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Realmente, não era isso que eu estava procurando... mas valeu! É outra solução. On Tue, Aug 18, 2020 at 7:51 PM Pedro José wrote: > Boa noite! > Cláudio, > não consegui nada geométrico. > O máximo que atingi foi: > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes > e logo I. > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. > > Saudações, > PJMS > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E >> que torne o resultado mais intuitivo? >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, >> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, >> a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, >> que P deva ser equidistante dos três. >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior >> lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que >> a/h_a = b/h_b = c/h_c. >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste >> caso. >> >> >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco >> wrote: >> >>> Olá, Vanderlei. >>> Por Cauchy-Schwarz, temos >>> >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) >>> >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o >>> semi-perimetro. >>> >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = >>> hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo >>> >>> Abraços, >>> Matheus >>> >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < >>> vanderma...@gmail.com> escreveu: >>> Bom dia! Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. Alguém ajuda? Muito agradecido! Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do triângulo ABC. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Boa noite! Cláudio, não consegui nada geométrico. O máximo que atingi foi: a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes e logo I. Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. Saudações, PJMS Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E > que torne o resultado mais intuitivo? > É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, > pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, > a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. > Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que > P deva ser equidistante dos três. > De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado > e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que > a/h_a = b/h_b = c/h_c. > O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste > caso. > > > On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco > wrote: > >> Olá, Vanderlei. >> Por Cauchy-Schwarz, temos >> >> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) >> >> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a >> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o >> semi-perimetro. >> >> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, >> ou seja, quando P é o incentro do triângulo >> >> Abraços, >> Matheus >> >> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < >> vanderma...@gmail.com> escreveu: >> >>> Bom dia! >>> >>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. >>> Alguém ajuda? >>> Muito agradecido! >>> >>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as >>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor >>> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do >>> triângulo ABC. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E que torne o resultado mais intuitivo? É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que P deva ser equidistante dos três. De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que a/h_a = b/h_b = c/h_c. O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste caso. On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco wrote: > Olá, Vanderlei. > Por Cauchy-Schwarz, temos > > (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) > > Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a > expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o > semi-perimetro. > > Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, > ou seja, quando P é o incentro do triângulo > > Abraços, > Matheus > > Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < > vanderma...@gmail.com> escreveu: > >> Bom dia! >> >> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. >> Alguém ajuda? >> Muito agradecido! >> >> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as >> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor >> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do >> triângulo ABC. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Muito obrigado, Matheus! Pensei nas outras desigualdades, menos em Cauchy-Schwarz. Muito bom! Em dom, 16 de ago de 2020 10:11, Matheus Secco escreveu: > Olá, Vanderlei. > Por Cauchy-Schwarz, temos > > (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) > > Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a > expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o > semi-perimetro. > > Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, > ou seja, quando P é o incentro do triângulo > > Abraços, > Matheus > > Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < > vanderma...@gmail.com> escreveu: > >> Bom dia! >> >> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. >> Alguém ajuda? >> Muito agradecido! >> >> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as >> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor >> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do >> triângulo ABC. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)
Boa noite! Bela e simples solução! Saudações, PJMS Em 29 de junho de 2017 18:21, Julio César Saldañaescreveu: > > > Aproveitando que APC é isósceles (pois CA=CP), eu desenhei a altura CH, > então > AH=HP e anguloACH=anguloHCP=20; mas como também anguloPCB=20, decidi > desenhar a > perpendicular PN sobre BC, así temos PN=PH=HA. Aí não resisti e estiquei > PN até > K, onde NK=PN. Desenhei a linha BK também. > > Nesse ponto me encontrei com um problema que já tinha resolvido faz algum > tempo > mas não lembro. Então ensaiei outra solução. O problema é provar que P é o > circuncentro do triângulo ABK. Desta vez argumento assim: como anguloBAK=30 > então BK é igual ao circunrádio do triângulo ABK. Mas note que BK=BP (pois > BC é > mediatriz de PK). Então pronto, P encontrase na mediatriz de AK e também se > encontra a uma distância de B igual ao circunradio, logo P é o > circuncentro do > triângulo ABK. > > Com isso, o triângulo PBK é equilátero e portanto anguloPBN=30. Portanto > anguloBEC=90 => EM é mediana relativa à hipotenusa do triângulo retângulo > BEC. > Resposta: anguloMEC=60 > > Espero não ter me engando, mas vou fazer um double check e também vou > tentar > lembrar a outra forma de provar que P é circuncentro de ABK > > Julio Saldaña > > > -- Mensaje original --- > De : obm-l@mat.puc-rio.br > Para : obm-l@mat.puc-rio.br > Fecha : Wed, 28 Jun 2017 14:43:07 -0300 > Asunto : Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda) > >Opa desculpe, CF é ceviana que passa por P. > > > >Em 28 de jun de 2017 11:05 AM, "Pedro José" > escreveu: > > > >> Bom dia! > >> > >> O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de > ângulos > >> aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus. > >> Não faltou definir o ponto F? > >> > >> Sds, > >> PJMS > >> > >> Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima < > >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> > >>> Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão: > >>> > >>> Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no > >>> ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 > graus, > >>> traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os > >>> pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME. > >>> > >>> GRATO!! > >>> Douglas Oliveira. > >>> > >>> -- > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > >>> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > >-- > >Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > __ > Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese > a: > http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: {Disarmed} Re: [obm-l] Re: {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana
Muito boa, vou guardar. Obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Tue, 3 Mar 2015 22:13:54 -0300 Asunto : {Disarmed} Re: [obm-l] Re: {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana Vou compartilhar uma para termos soluções alternativas: 1)Circunscreva um cÃrculo ao triângulo ABC. 2) Prolongue AD até tocar o cÃrculo em F. 3)Trace de B para F e de C para F. 4)Encontre BFA=AFC=90-(BAC)/2 5)Como FA é uma bissetriz teremos BF=2FC. 6)Como BEF é isósceles, tome um ponto M médio de BF e Trace EM. 7)Os triângulos EMF e EFC são congruentes, assim FEC=(BAC) /2 Douglas Oliveira. Em 03/03/2015 16:04, Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe escreveu: Isso mesmo, M �ponto medio de BE, obrigado Julio Salda馻 -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Tue, 3 Mar 2015 15:33:26 -0300 Asunto : {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana Bela soluè½è«o. houve sè´¸ um pequeno erro de digitaè½è«o : M è ponto mè dio de BE, ok ? Pacini Em 3 de marè½o de 2015 11:53, Julio Cè sar Salda帽a saldana...@pucp.edu.pe escreveu: Fiz assim, mas cuidado, costumo me equivocar muito. Podem verificar? Notar que ABE=EAC. Seja N de AC tal que DN è paralelo è¿ AB, entè«o DN=NC e AN=2.DN Como os trièngulos ABE e ADN sè«o semelhantes entè«o BE=2.AE Seja M o ponto medio de AE, entè«o BM=ME=AE, e AME=MAE=40. Os trièngulos BAM e EAC sè«o congruentes, por tanto igualamos èngulos externos respectivos: DEC=40. Julio Salda帽a -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Mon, 2 Mar 2015 09:23:52 -0300 Asunto : [obm-l] Geometria plana Olèé, bom dia quero compartilhar uma boa questèæ¢o de geometria com os senhores, Q1) Num trièångulo isèé²sceles ABC com AB=AC, toma-se um ponto D no lado BC de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os èångulos BAC e BED sejam iguais a 80 graus, encontrar o valor do èångulo DEC. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivérus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletén Electrè´¸nico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivérus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruè½ç«es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivéus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boleté Electré«ico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivéus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruç²es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
{Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana
Bela solução. houve só um pequeno erro de digitação : M é ponto médio de BE, ok ? Pacini Em 3 de março de 2015 11:53, Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe escreveu: Fiz assim, mas cuidado, costumo me equivocar muito. Podem verificar? Notar que ABE=EAC. Seja N de AC tal que DN é paralelo à AB, então DN=NC e AN=2.DN Como os triângulos ABE e ADN são semelhantes então BE=2.AE Seja M o ponto medio de AE, então BM=ME=AE, e AME=MAE=40. Os triângulos BAM e EAC são congruentes, por tanto igualamos ângulos externos respectivos: DEC=40. Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Mon, 2 Mar 2015 09:23:52 -0300 Asunto : [obm-l] Geometria plana Olá, bom dia quero compartilhar uma boa questão de geometria com os senhores, Q1) Num triângulo isósceles ABC com AB=AC, toma-se um ponto D no lado BC de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os ângulos BAC e BED sejam iguais a 80 graus, encontrar o valor do ângulo DEC. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana
Isso mesmo, M é ponto medio de BE, obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Tue, 3 Mar 2015 15:33:26 -0300 Asunto : {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana Bela solução. houve só um pequeno erro de digitação : M é ponto médio de BE, ok ? Pacini Em 3 de março de 2015 11:53, Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe escreveu: Fiz assim, mas cuidado, costumo me equivocar muito. Podem verificar? Notar que ABE=EAC. Seja N de AC tal que DN é paralelo à AB, então DN=NC e AN=2.DN Como os triângulos ABE e ADN são semelhantes então BE=2.AE Seja M o ponto medio de AE, então BM=ME=AE, e AME=MAE=40. Os triângulos BAM e EAC são congruentes, por tanto igualamos ângulos externos respectivos: DEC=40. Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Mon, 2 Mar 2015 09:23:52 -0300 Asunto : [obm-l] Geometria plana Olá, bom dia quero compartilhar uma boa questão de geometria com os senhores, Q1) Num triângulo isósceles ABC com AB=AC, toma-se um ponto D no lado BC de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os ângulos BAC e BED sejam iguais a 80 graus, encontrar o valor do ângulo DEC. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el BoletÃn Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
{Disarmed} Re: [obm-l] Re: {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana
Vou compartilhar uma para termos soluções alternativas: 1)Circunscreva um círculo ao triângulo ABC. 2) Prolongue AD até tocar o círculo em F. 3)Trace de B para F e de C para F. 4)Encontre BFA=AFC=90-(BAC)/2 5)Como FA é uma bissetriz teremos BF=2FC. 6)Como BEF é isósceles, tome um ponto M médio de BF e Trace EM. 7)Os triângulos EMF e EFC são congruentes, assim FEC=(BAC) /2 Douglas Oliveira. Em 03/03/2015 16:04, Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe escreveu: Isso mesmo, M �ponto medio de BE, obrigado Julio Salda馻 -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Tue, 3 Mar 2015 15:33:26 -0300 Asunto : {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana Bela solu莽茫o. houve s贸 um pequeno erro de digita莽茫o : M 茅 ponto m茅dio de BE, ok ? Pacini Em 3 de mar莽o de 2015 11:53, Julio C茅sar Salda帽a saldana...@pucp.edu.pe escreveu: Fiz assim, mas cuidado, costumo me equivocar muito. Podem verificar? Notar que ABE=EAC. Seja N de AC tal que DN 茅 paralelo 脿 AB, ent茫o DN=NC e AN=2.DN Como os tri芒ngulos ABE e ADN s茫o semelhantes ent茫o BE=2.AE Seja M o ponto medio de AE, ent茫o BM=ME=AE, e AME=MAE=40. Os tri芒ngulos BAM e EAC s茫o congruentes, por tanto igualamos 芒ngulos externos respectivos: DEC=40. Julio Salda帽a -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Mon, 2 Mar 2015 09:23:52 -0300 Asunto : [obm-l] Geometria plana Ol脙隆, bom dia quero compartilhar uma boa quest脙拢o de geometria com os senhores, Q1) Num tri脙垄ngulo is脙鲁sceles ABC com AB=AC, toma-se um ponto D no lado BC de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os 脙垄ngulos BAC e BED sejam iguais a 80 graus, encontrar o valor do 脙垄ngulo DEC. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv铆rus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Bolet铆n Electr贸nico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv铆rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru莽玫es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv韗us e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Bolet韓 Electr髇ico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv韗us e acredita-se estar livre de perigo. = Instru珲es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana
Valeu pessoal, obrigado. Raphael Aureliano Praticante de Oficial de Náutica (Piloto) Guarda-Marinha (RM-2) Em 23/05/2014 11:26, Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe escreveu: Seja M a interseção de BC com a circunferência, então AM é altura. Então MEC = MAC = EBC. Devido a ter os mesmos ângulos, os triângulos BEC e MEC são semeljantes, então EC / 1 = 2/ EC, por tanto EC = sqrt(2). Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Fri, 23 May 2014 00:46:24 -0300 Asunto : [obm-l] Geometria Plana Olá, Alguém pode me ajudar no exercÃcio que segue Seja ABC um triângulo isósceles, com AB=AC. Com centro no ponto médio de AC, traça-se uma circunferência de diâmetro AB. Por B, traçamos uma altura do triângulo, que intercepta a circunferência em E. Sabendo que BC=2, determine o valor de CE. Desde já, agradeço pela devida atenção -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana - Triângulo
Carlos Vitor, poderia explicar por que o quadrilatero ACHE eh ciclico? Vc. estah considerando EH paralelo a AC? Por que? [ ]'s
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] GEOMETRIA PLANA DEMONSTRAÇ ÃO
Muitíssimo obrigado e boas festas! Em 20 de dezembro de 2010 23:11, Eduardo Beltrao e-...@ig.com.br escreveu: Prezado Marcelo, Após algum tempo solucionando o problema proposto, cheguei a uma resposta muito próxima da que você postou aqui. A solução transcrevo abaixo, porém peço para que verifique se o resultado correto é realmente (OG)^2 = R^2 - 1/3*(A^2 + B^2 + C^2), e não (OG)^2 = R^2 - 1/9*(A^2 + B^2 + C^2). Atenciosamente, Eduardo Beltrão _ Sejam AB = c, AC = b e BC = a os lados do triângulo ABC. Sejam M, N e P os pontos médios de BC, AC e AB, respectivamente. OBS: Para efeito de visualização, considere BC o lado do triângulo mais próximo do centro O do círculo. Observe que o triângulo OMC é retângulo, e assim: (OM)^2 + (CM)^2 = (OC)^2 ( I ) No triângulo AMC temos que, pela lei dos cossenos: (AC)^2 = (AM)^2 + (CM)^2 - 2*(AM)*(CM)*cos(A^MC) ( II ) Também pela lei dos cossenos, temos, no triângulo ABM, que: (AB)^2 = (AM)^2 + (BM)^2 - 2*(AM)*(BM)*cos(180º - A^MC) ( III ) Em ( III ), como M é ponto médio de BC temos: (AB)^2 = (AM)^2 + (CM)^2 + 2*(AM)*(CM)*cos(A^MC) ( IV ) Somando membro a membro as equações ( II ) e ( IV ), temos: (AC)^2 + (AB)^2 = 2*(AM)^2 + 2*(CM)^2 (AM)^2 = [(AC)^2 + (AB)^2 - 2*(CM)^2]/2 ( V ) Como G é baricentro do triângulo ABC, então: GM = (AM)/3 ( VI ) No triângulo OBM temos, pela lei dos cossenos: (OA)^2 = (OM)^2 + (AM)^2 - 2*(OM)*(AM)*cos(O^MA) ( VII ) Também pela lei dos cossenos, no triângulo OGM, temos: (OG)^2 = (OM)^2 + (GAM)^2 - 2*(OM)*(GM)*cos(O^MG) ( VIII ) Observe que os ângulos O^MA e O^MG são iguais, pois A e G são pontos do mesmo segmento AM. Assim, manipulando as equações (VII) e (VIII) temos: [(OM)^2 + (AM)^2 - (OA)^2]/AM = [(OM)^2 + (GM)^2 - (OG)^2]/GM ( IX ) Substituindo (I) e (VI) em (IX), temos: (OC)^2 - (CM)^2 + (AM)^2 - (OA)^2 = 3*[(OC)^2 - (CM)^2 + ((AM)/3)^2 - (OG)^2] (OC)^2 - (CM)^2 + (AM)^2 - (OA)^2 = 3*(OC)^2 - 3*(CM)^2 + [(AM)^2]/3 - 3*(OG)^2 Como OA = OC = R, temos: R^2 - (CM)^2 + (AM)^2 - R^2 = 3*(R^2) - 3*(CM)^2 + [(AM)^2]/3 - 3*(OG)^2 (AM)^2 - (CM)^2 = 3*(R^2) - 3*(CM)^2 + [(AM)^2]/3 - 3*(OG)^2 ( X ) por fim, substituindo (V) em (X), temos: [(AC)^2 + (AB)^2 - 2*(CM)^2]/2 - (CM)^2 = 3*(R^2) - 3*(CM)^2 + [(AC)^2 + (AB)^2 - 2*(CM)^2]/6 - 3*(OG)^2 Manipulando a equação acima, de modo a isolar o termo (OC)^2, temos que: (OG)^2 = R^2 - (a^2 + b^2 + c^2)/9 Em 17 de dezembro de 2010 07:39, Marcelo Costa mat.mo...@gmail.comescreveu: CONSIDERE UM TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO ABC, CUJOS OS LADOS MEDEM A, B e C, INSCRITO NUM CÍRUCULO DE RAIO R E CENTRO O. SENDO G O BARICENTRO DO TRIÂNGULO ABC, MOSTRE QUE: (OG)^2 = R^2 - 1/3*(A^2 + B^2 + C^2) AGRADEÇO DESDE JÁ A ATENÇÃO DOS COLEGAS, OBRIGADO!
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana - 3 problema s clássicos
Em 26/05/2009 09:00, Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com escreveu:Começou... Fernando GamaSent from Brasilia, DF, Brazil 2009/5/26Em 25/05/2009 22:05, Carlos Nehab < ne...@infolink.com.br > escreveu: Aos aficcionados:Três problemas clássicos e interessantes de geometria plana:1) Dado um triângulo ABC, identifique o triângulo de perÃmetro mÃnimo nele inscrito (cada vértice - P, Q e R, em um lado distinto de ABC).2) Determinar o centro de uma circunferência dada utilizando apenas compasso.3) Determinar o ponto médio de um segmento dado, utilizando apenas compasso (difÃcil).Nehab=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Começou... Fernando Gama Sent from Brasilia, DF, Brazil 2009/5/26 lucianarodrigg...@uol.com.br Em 25/05/2009 22:05, *Carlos Nehab ne...@infolink.com.br * escreveu: Aos aficcionados: Três problemas clássicos e interessantes de geometria plana: 1) Dado um triângulo ABC, identifique o triângulo de perímetro mínimo nele inscrito (cada vértice - P, Q e R, em um lado distinto de ABC). 2) Determinar o centro de uma circunferência dada utilizando apenas compasso. 3) Determinar o ponto médio de um segmento dado, utilizando apenas compasso (difícil). Nehab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=