Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica
Isso é consequência do fato de que x —> sen(x^2) é contínua mas não uniformemente contínua. Artur Enviado do meu iPad Em 14 de abr de 2018, à(s) 1:10 PM, Claudio Buffaraescreveu: > Que tal começar provando que x --> sen(x^2) não é periódica? > > 2018-04-14 13:04 GMT-03:00 Claudio Buffara : >> Eu também fiquei inseguro em relação a isso e também notei que não usei >> (pelo menos não explicitamente) a continuidade de f. >> >> Mas g(raiz(x+kT)) = g(raiz(x+(k+1)T) não só para um número x fixo, mas >> para cada x >= -kT: um intervalo infinito. >> Será que isso não é suficiente para estabelecer a periodicidade de g? >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa >> : >>> Oi Claudio, >>> >>> 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara : >>> > f é periódica (digamos, de perÃodo T > 0). >>> > >>> > Suponhamos que g também seja periódica, digamos de perÃodo P. >>> > >>> > Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) = >>> > f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==> >>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N. >>> >>> não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é >>> múltiplo do perÃodo. Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para >>> todo a. >>> >>> > Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) - >>> > raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que >>> > contraria >>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP. >>> >>> Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o >>> limite da diferença das raÃzes em PA, mas acho que é um pouco mais >>> complicado. Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f >>> contÃnua"... >>> >>> > 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner : >>> >> >>> >> Suponhamos que f:R —> R seja contÃnua, periódica e não constante. >>> >> Mostre >>> >> que g(x) = f(x^2) não é periódica. >>> >> >>> >> Artur >>> >>> Abraços, >>> -- >>> Bernardo Freitas Paulo da Costa >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>  acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> = >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> = >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Vou seguir um caminho diferente do que vcs estavam seguindo, porque sou ruim com demonstrações mais algébricas :) Sabemos que f é periódica. Para facilitar as contas, digamos que 1 seja período de f (se não for, adaptar a demonstração é fácil). Digamos que g seja periódica, de período T. Vamos olhar para a parte positiva dos domínios de f e de g. Na semireta positiva, x-->x^2 é uma bijeção. Como o Claudio já mencionou lá em cima, quando transpomos o domínio de g de volta para o de f através dessa bijeção, as transposições dos períodos de f ficam cada vez menores à medida que os valores aumentam. O "primeiro período" de f é [0,1], que é levado em [0,1]. O segundo é [1,2], levado em [1,sqrt(2)]. O n-ésimo é [n,n+1], e é levado em [sqrt(n),sqrt(n+1)], que tem tamanho igual a sqrt(n+1)-sqrt(n) = 1/(sqrt(n)+sqrt(n+1)), que tende a zero. Isso tudo significa que, quando olhamos para x-->oo no domínio de g, cada período [kT, (k+1)T] de g engloba uma quantidade cada vez maior de períodos de f. Em particular, à medida que esse k aumenta, conseguimos fazer com que o intervalo [kT,kT+epsilon] englobe um período inteiro de f, e o menor epsilon necessário para isso tende a zero quando k--> Como [kT,kT+epsilon] engloba um período inteiro de f, a imagem desse intervalo sob g é igual à imagem (global) de f. Como g é periódica, essa imagem é a mesma que a imagem do intervalo [0,epsilon] sob g. Resumindo: para qualquer epsilon, a imagem do intervalo [0,epsilon] sob g é igual à imagem de f. Como f é contínua não-constante, a sua imagem é um intervalo fechado [a,b] com b>a. Isso significa que g não pode ser contínua em 0. Não sei se isso foi tiro de canhão para matar mosca, talvez a demonstração algébrica seja mais simples, mas eu gosto dessa :) 2018-04-14 13:27 GMT-03:00 Pedro Angelo: > Acho que a definição mais abrangente de "função periódica" é "qualquer > função que apresente um período". Um "período" é qualquer número > positivo T tal que para todo x, f(x+T)=f(x). Eu dei o exemplo da > função indicadora dos racionais ali em cima: f(x)=1 quando x é > racional, e f(x)=0 quando x é irracional. Essa função é "periódica" > nessa definição, pois qualquer número racional é um período dessa > função (ou seja, se r é racional, então para todo x, f(x)=f(x+r)). Mas > essa função não apresenta um "menor período", justamente porque não > existe um menor racional negativo. > > Acho que matei a questão do g não ser periódica, mas na verdade não > precisei usar o fato de que f tem período fundamental, mas usei uma > ideia parecida. Vou enviar daqui a pouco. > > 2018-04-14 13:15 GMT-03:00 Claudio Buffara : >> Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que >> f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma >> função periódica não-constante (contínua ou não)? >> >> >> 2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo : >>> >>> Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei >>> provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de >>> que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período >>> fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não >>> apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos >>> racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há >>> período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da >>> função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual >>> para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à >>> oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa >>> oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero, >>> então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é >>> contínua em nenhum ponto. >>> >>> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa >>> : >>> > Oi Claudio, >>> > >>> > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara : >>> >> f é periódica (digamos, de período T > 0). >>> >> >>> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P. >>> >> >>> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) = >>> >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==> >>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N. >>> > >>> > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é >>> > múltiplo do período. Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para >>> > todo a. >>> > >>> >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) - >>> >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que >>> >> contraria >>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP. >>> > >>> > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o >>> > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais >>> > complicado. Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f >>> > contínua"... >>> > >>>
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Acho que a definição mais abrangente de "função periódica" é "qualquer função que apresente um período". Um "período" é qualquer número positivo T tal que para todo x, f(x+T)=f(x). Eu dei o exemplo da função indicadora dos racionais ali em cima: f(x)=1 quando x é racional, e f(x)=0 quando x é irracional. Essa função é "periódica" nessa definição, pois qualquer número racional é um período dessa função (ou seja, se r é racional, então para todo x, f(x)=f(x+r)). Mas essa função não apresenta um "menor período", justamente porque não existe um menor racional negativo. Acho que matei a questão do g não ser periódica, mas na verdade não precisei usar o fato de que f tem período fundamental, mas usei uma ideia parecida. Vou enviar daqui a pouco. 2018-04-14 13:15 GMT-03:00 Claudio Buffara: > Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que > f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma > função periódica não-constante (contínua ou não)? > > > 2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo : >> >> Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei >> provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de >> que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período >> fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não >> apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos >> racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há >> período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da >> função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual >> para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à >> oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa >> oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero, >> então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é >> contínua em nenhum ponto. >> >> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa >> : >> > Oi Claudio, >> > >> > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara : >> >> f é periódica (digamos, de período T > 0). >> >> >> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P. >> >> >> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) = >> >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==> >> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N. >> > >> > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é >> > múltiplo do período. Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para >> > todo a. >> > >> >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) - >> >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que >> >> contraria >> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP. >> > >> > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o >> > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais >> > complicado. Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f >> > contínua"... >> > >> >> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner >> >> : >> >>> >> >>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. >> >>> Mostre >> >>> que g(x) = f(x^2) não é periódica. >> >>> >> >>> Artur >> > >> > Abraços, >> > -- >> > Bernardo Freitas Paulo da Costa >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > >> > = >> > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> > >> > = >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma função periódica não-constante (contínua ou não)? 2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo: > Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei > provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de > que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período > fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não > apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos > racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há > período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da > função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual > para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à > oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa > oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero, > então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é > contínua em nenhum ponto. > > 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa > : > > Oi Claudio, > > > > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara : > >> f é periódica (digamos, de período T > 0). > >> > >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P. > >> > >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) = > >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==> > >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N. > > > > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é > > múltiplo do período. Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para > > todo a. > > > >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) - > >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que > contraria > >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP. > > > > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o > > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais > > complicado. Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f > > contínua"... > > > >> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner >: > >>> > >>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. > Mostre > >>> que g(x) = f(x^2) não é periódica. > >>> > >>> Artur > > > > Abraços, > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > > = > > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > > = > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.