Re:[obm-l] Sigma-Algebra Borel
Eu entendo pouco de topologia, mas assino em baixo.
Ficou bom. Parabens.
--- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:
> Acho que podemos raciocinar da seguinte maneira.
> Seja S um espaco metrico
> separavel e localmente compacto. Por ser separavel,
> S contem um conjunto D
> que eh denso e enumeravel. Seja (x_n) uma enumeracao
> dos elementos de D. A
> cada x_n associemos, baseados na compacticidade
> local de S, uma vizinhanca
> B_n cujo fecho B'_n seja compacto. O fato de D ser
> denso implica que {B_n}
> seja uma base topologica enumeravel de S, o que, por
> sua vez, implica que
> {B'_n} seja uma cobertura enumeravelde S composta
> por conjuntos compactos.
> Seja F um conjunto fechado de S. Entao, a colecao
> {B'_n inter F} eh
> enumeravel e cobre F. Alem disto, eh composta por
> conjuntos compactos, pois
> a interseccao de um conjunto compacto com um fechado
> eh compacta. A
> conclusao a que chegamos e que todo conjunto fechado
> de S eh dado por uma
> uniao enumeravel de conjuntos compactos.
> Se M eh a sigma-algebra gerada em S pelos seus
> conjuntos compactos, enato a
> definicao de sigma-algebra implica que M contem a
> colecao dos fechados de S
> e , portanto, contem a sigma-algebra de Borel, pois
> esta ultima eh tambem
> gerada pelos conjuntos fechados S. . Por outro lado
> a sigma-algebra de
> Borel contem a colecao dos compactos, pois todo
> compacto eh fechado. Assim a
> colecao dos compactos, a dos abertos e a dos
> fechados, todas geram a mesma
> sigma-algebra de Borel.
> Eu estava a ponto de dizer que isto pode ser
> extendido a espacos de
> Hausdorff, mas era um equivoco. Em espacos nao
> metricos, separabilidade nao
> implica a existencia de base topologica enumeravel.
> Mas se o espaco for
> Hausdorff e tiver uma base enumeravel, acho que a
> conclusao eh preservada.
> Este raciocinio esta OK?
> Artur
>
>
>
___
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
Beleza cara, valeu...e ai procurou no livro do Oxtoby?alencar1980 <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Segundo o site: http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.html a igualdade da sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por compactos ocorrem quando "the topological space is a locally compact separable metric space". E não apenas na reta. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
Re: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
Muito obrigado Cláudio. Vou dar uma olhada no livro do Elon. Estou certo de que isto resolverá a primeira parte da minha dúvida. []'s -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Wed, 26 Jan 2005 14:44:34 -0200 Assunto: Re: [obm-l] Sigma-Algebra Borel > on 26.01.05 13:35, alencar1980 at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Estou começando a estudar teoria da medida e fiquei confuso em um certo > ponto. > > Nos livros que li a algebra de borel era considerada (definida) apenas para > a reta (números reais) ou um subintervalo da reta; sendo a sigma-algebra de > borel (dos reais ou de um subintervalo dos reais) definida como a menor > sigma algebra que contém os conjuntos abertos. > > Os livros que consultei não entram em detalhes mas existem diversas > possibilidades para os subconjuntos abertos da reta, não? > > *** Obviamente, ha uma infinidade nao enumeravel deles, mas cada um pode ser > expresso, de forma unica, como uma uniao no maximo enumeravel de intervalos > abertos disjuntos dois a dois. Veja o Curso de Analise - vol.1 do Elon Lages > Lima para uma demonstracao disso. > > []s, > Claudio. > >
Re: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
Caro Bruno, Obrigado pelo seu interesse em tentar ajudar. Eu já tinha olhado no livro do Bartle (Elements of Integration - 1966) e neste livro, até onde pude ler, ele trata apenas como algebra de Borel aquela gerado pelos intervalos abertos da reta. Na página 7, capítulo 2, (edição de 1966) ele fala: "(g) Let X be the set R of real numbers. The Borel algebra is the sigma-algebra B generated by all open intervals (a, b) in R. Observe that the Borel algebra B is also the a-algebra generated by all closed intervals [a, b] in R. Any set in B is called a Borel set" Até onde pude ir no livro do Bartle percebi que ele trata apenas da álgebra de borel gerado por conjuntos abertos da reta. Ele não trata, até onde percebi, de espaços topológicos quaisquer, nem mesmo trato da sigma-algebra de borel gerada por conjuntos compactos (geralmente, segundo o site, diferente da sigma-algebra de borel gerada por abertos). O livro do Fernandez da SBM eu não tenho em mãos mas acredito, pelo que lembro dele, que ele trate a álgebra de borel analogamente ao Bartle. O outro livro eu não conheço. Vou procurar em alguma biblioteca; Espero que ele possa clarificar algumas das minhas dúvidas. []'s -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Wed, 26 Jan 2005 13:19:14 -0300 (ART) Assunto: Re: [obm-l] Sigma-Algebra Borel > Dá uma olhada no Bartle (deve ser Elements of Integration ) ou entao Fernandez da Sbm , esse é em portugues... > Agora tem um livro, que eu so folhiei uma vez do Oxtoby, é um fininho acho que é Measure and Category talvez tenha > > alencar1980 <[EMAIL PROTECTED]>wrote: > Estou começando a estudar teoria da medida e fiquei confuso em um certo ponto. > > Nos livros que li a algebra de borel era considerada (definida) apenas para > a reta (números reais) ou um subintervalo da reta; sendo a sigma-algebra de > borel (dos reais ou de um subintervalo dos reais) definida como a menor > sigma algebra que contém os conjuntos abertos. > > Os livros que consultei não entram em detalhes mas existem diversas possibilidades para os subconjuntos abertos da reta, não? > > Procurando na internet encontrei a página: > http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.html > > Que fala: > "In mathematics, the Borel algebra (or Borel #963;-algebra) on a topological space is either of two #963;-algebras;s on a topological space X: > > The minimal #963;-algebra containing the open sets. > The minimal #963;-algebra containing the compact sets. " > > Achei interessante o site mencionar DUAS possibilidades para a algebra de borel de um espaço topológico. Nos livros que tenho lido não achei nenhuma menção a este fato. > > > > Além disso achei interessante a afirmação: > > "In general topological spaces, even locally compact ones, the two structures are different. They are however identical whenever the topological space is a locally compact separable metric space." > > Alguém poderia me indicar algumas referências (ou comentar as referências que o autor do site cita) onde posso encontrar detalhes sobre estas algebras de Borel? Gostaria de entender com mais detalhes este assunto (algebra de borel) no caso em que eu tenho um espaço topológico qualquer e não apenas no caso da reta. > > Qualquer ajuda (comentário) será bem vindo. > > []'s > > Alencar > > > > - > Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
Re: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
Title: Re: [obm-l] Sigma-Algebra Borel on 26.01.05 13:35, alencar1980 at [EMAIL PROTECTED] wrote: Estou começando a estudar teoria da medida e fiquei confuso em um certo ponto. Nos livros que li a algebra de borel era considerada (definida) apenas para a reta (números reais) ou um subintervalo da reta; sendo a sigma-algebra de borel (dos reais ou de um subintervalo dos reais) definida como a menor sigma algebra que contém os conjuntos abertos. Os livros que consultei não entram em detalhes mas existem diversas possibilidades para os subconjuntos abertos da reta, não? *** Obviamente, ha uma infinidade nao enumeravel deles, mas cada um pode ser expresso, de forma unica, como uma uniao no maximo enumeravel de intervalos abertos disjuntos dois a dois. Veja o Curso de Analise - vol.1 do Elon Lages Lima para uma demonstracao disso. []s, Claudio.
Re: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
Dá uma olhada no Bartle (deve ser Elements of Integration ) ou entao Fernandez da Sbm , esse é em portugues... Agora tem um livro, que eu so folhiei uma vez do Oxtoby, é um fininho acho que é Measure and Category talvez tenha alencar1980 <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Estou começando a estudar teoria da medida e fiquei confuso em um certo ponto. Nos livros que li a algebra de borel era considerada (definida) apenas para a reta (números reais) ou um subintervalo da reta; sendo a sigma-algebra de borel (dos reais ou de um subintervalo dos reais) definida como a menor sigma algebra que contém os conjuntos abertos. Os livros que consultei não entram em detalhes mas existem diversas possibilidades para os subconjuntos abertos da reta, não? Procurando na internet encontrei a página: http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.html Que fala: "In mathematics, the Borel algebra (or Borel σ-algebra) on a topological space is either of two σ-algebras;s on a topological space X: The minimal σ-algebra containing the open sets. The minimal σ-algebra containing the compact sets. " Achei interessante o site mencionar DUAS possibilidades para a algebra de borel de um espaço topológico. Nos livros que tenho lido não achei nenhuma menção a este fato. Além disso achei interessante a afirmação: "In general topological spaces, even locally compact ones, the two structures are different. They are however identical whenever the topological space is a locally compact separable metric space." Alguém poderia me indicar algumas referências (ou comentar as referências que o autor do site cita) onde posso encontrar detalhes sobre estas algebras de Borel? Gostaria de entender com mais detalhes este assunto (algebra de borel) no caso em que eu tenho um espaço topológico qualquer e não apenas no caso da reta. Qualquer ajuda (comentário) será bem vindo. []'s Alencar Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
