Re: [obm-l] Z[i] e Teorema dos 2 Quadrados
Chicao Valadares wrote:
Ficarei feliz se responderem pelo menos duas dessas:
1-Sendo K um corpo finito, mostre que todo elemento de
K é soma dos quadrados de 2 elementos de
K.Sugestão:Conte os quadrados em K.
para todo x, elemento do corpo finito, x^2 = (-x)^2 que, por definição é
um quadrado.
veja que x^2 = y^2 = x^2 - y^2 = 0 = (x + y)(x - y) = 0 =
x + y = 0 ou x - y = 0 (pois estamos num corpo e vale a regra do
cancelamento)
= x = +/-y
então temos pelo menos (q - 1)/2 quadrados (não nulos) no corpo... dá
pra mostrar que
isso é exato e que os demais elementos são não-quadrados, mas isso eu
deixo pra vc.
2-Seja n=2 natural.Mostre a equivalencia das
condiçoes:
i) -1 é um quadrado em Zn.
ii)n = x^2 + y^2 sendo x,y coprimos.
iii)n=(2^w).Prod_k=1_n(p^(e_p)), p congruente a 1 mod
4 , e_p={0,1}, w um natural.
Notaçao:
e_p- Expoente de p
Prod_k=1_n(s)- Produtorio de k=1 a n dos elementos de
s indexados por k(Na questao, ele nao indexa o k em
p^(e_p)).
3-Seja p primo natural e p congruente a 1 mod 4.Mostre
que, a menos de associados,existem 2 primos de Z[i]
conjugados de norma p.Como isso se expressa em termos
do numero de representaçoes de p como soma de 2
quadrados de inteiros??O que ocorre se p=2
4-Demonstre que os n que sao da foram a^2 + b^2, sendo
a e b naturais, tais que a equaçao n=x^2 + y^2 admite
somente as soluçoes (a,b) e (b,a) sao aqueles que
admitem um unico fator primo congruente a 1 mod 4.
tá isso tudo você vai encontrar no seguinte livro:
Introduction to the Theory of Numbers, do Hardy
a leitura não é das mais simples mas as suas questões também não são
bobas...
este livro demonstra quem são os primos em Z[i] e a partir daí você pode
matar suas dúvidas, em especial, o item 4 vai sair bem fácil.
[ ]'s
Domingos.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Z[i] e Teorema dos 2 Quadrados
Domingos Jr. wrote: Chicao Valadares wrote: Ficarei feliz se responderem pelo menos duas dessas: 1-Sendo K um corpo finito, mostre que todo elemento de K é soma dos quadrados de 2 elementos de K.Sugestão:Conte os quadrados em K. para todo x, elemento do corpo finito, x^2 = (-x)^2 que, por definição é um quadrado. veja que x^2 = y^2 = x^2 - y^2 = 0 = (x + y)(x - y) = 0 = x + y = 0 ou x - y = 0 (pois estamos num corpo e vale a regra do cancelamento) = x = +/-y então temos pelo menos (q - 1)/2 quadrados (não nulos) no corpo... dá pra mostrar que isso é exato e que os demais elementos são não-quadrados, mas isso eu deixo pra vc. putz, esqueci de argumentar porque isso mata o problema... além disso, não precisa provar nada pra ver que o número de quadrados é exatamente (q - 1)/2 (sem contar o 0), pois é claro que todos os quadrados foram contados! deixa eu tentar me redimir! claramente x^2 = x^2 + 0^2, então pra quadrados a afirmação é trivial. fixe um elemento a em K, a^2 + b^2 não pode ser quadrado para todo b em K^*, caso contrário teríamos mais de (q-1)/2 quadrados. sendo assim seja z um não-quadrado. dá pra ver que para todo par de não-quadrados c, d, temos que cd é um quadrado... a idéia é utilizar contagem. veja que o produto de quadrados é claramente um quadrado e o produto de um quadrado e um não-quadrado é não quadrado, pois se x^2*z = y^2 = z = y^2 *(x^(-1))^2 = (y.x^(-1))^2 = z é quadrado. então, para todo y não quadrado, temos que existe um x, com x^2 = y.z^(-1) = y = z.x^2 = y = (a^2 + b^2)x^2 = (xa)^2 + (bx)^2 game over! [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Z[i] e Teorema dos 2 Quadrados
Valeu Domingos...Observando o artigo da Eureka
inteiros de gauss e inteiros de eisenstein nao
entendi o topico 1.9 no ultimo paragrafo:
Portanto, conseguimos identificar que se algum alfa_i
for impar, o numero de d´s da forma 4k +3 será
igual...
Como eu faço para contar, dentre os divisores impares
de um número, os que sao da forma 4k + 1 e os que sao
da forma 4k + 3??
--- Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Chicao Valadares wrote:
Ficarei feliz se responderem pelo menos duas
dessas:
1-Sendo K um corpo finito, mostre que todo elemento
de
K é soma dos quadrados de 2 elementos de
K.Sugestão:Conte os quadrados em K.
para todo x, elemento do corpo finito, x^2 = (-x)^2
que, por definição é
um quadrado.
veja que x^2 = y^2 = x^2 - y^2 = 0 = (x + y)(x -
y) = 0 =
x + y = 0 ou x - y = 0 (pois estamos num corpo e
vale a regra do
cancelamento)
= x = +/-y
então temos pelo menos (q - 1)/2 quadrados (não
nulos) no corpo... dá
pra mostrar que
isso é exato e que os demais elementos são
não-quadrados, mas isso eu
deixo pra vc.
2-Seja n=2 natural.Mostre a equivalencia das
condiçoes:
i) -1 é um quadrado em Zn.
ii)n = x^2 + y^2 sendo x,y coprimos.
iii)n=(2^w).Prod_k=1_n(p^(e_p)), p congruente a 1
mod
4 , e_p={0,1}, w um natural.
Notaçao:
e_p- Expoente de p
Prod_k=1_n(s)- Produtorio de k=1 a n dos elementos
de
s indexados por k(Na questao, ele nao indexa o k em
p^(e_p)).
3-Seja p primo natural e p congruente a 1 mod
4.Mostre
que, a menos de associados,existem 2 primos de Z[i]
conjugados de norma p.Como isso se expressa em
termos
do numero de representaçoes de p como soma de 2
quadrados de inteiros??O que ocorre se p=2
4-Demonstre que os n que sao da foram a^2 + b^2,
sendo
a e b naturais, tais que a equaçao n=x^2 + y^2
admite
somente as soluçoes (a,b) e (b,a) sao aqueles que
admitem um unico fator primo congruente a 1 mod 4.
tá isso tudo você vai encontrar no seguinte livro:
Introduction to the Theory of Numbers, do Hardy
a leitura não é das mais simples mas as suas
questões também não são
bobas...
este livro demonstra quem são os primos em Z[i] e a
partir daí você pode
matar suas dúvidas, em especial, o item 4 vai sair
bem fácil.
[ ]'s
Domingos.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso...
Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos
_
As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s)
são
para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja
destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas.
Favor
apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será
tratado
conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua
colaboração.
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of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not
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tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Z[i] e Teorema dos 2 Quadrados
Só, um detalhe:Vc provou que todo quadrado é uma soma de quadrados mas o que a questao pede é que todo elemento(quadrado ou nao) é soma de quadrados. []´s --- Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] escreveu: Domingos Jr. wrote: Chicao Valadares wrote: Ficarei feliz se responderem pelo menos duas dessas: 1-Sendo K um corpo finito, mostre que todo elemento de K é soma dos quadrados de 2 elementos de K.Sugestão:Conte os quadrados em K. para todo x, elemento do corpo finito, x^2 = (-x)^2 que, por definição é um quadrado. veja que x^2 = y^2 = x^2 - y^2 = 0 = (x + y)(x - y) = 0 = x + y = 0 ou x - y = 0 (pois estamos num corpo e vale a regra do cancelamento) = x = +/-y então temos pelo menos (q - 1)/2 quadrados (não nulos) no corpo... dá pra mostrar que isso é exato e que os demais elementos são não-quadrados, mas isso eu deixo pra vc. putz, esqueci de argumentar porque isso mata o problema... além disso, não precisa provar nada pra ver que o número de quadrados é exatamente (q - 1)/2 (sem contar o 0), pois é claro que todos os quadrados foram contados! deixa eu tentar me redimir! claramente x^2 = x^2 + 0^2, então pra quadrados a afirmação é trivial. fixe um elemento a em K, a^2 + b^2 não pode ser quadrado para todo b em K^*, caso contrário teríamos mais de (q-1)/2 quadrados. sendo assim seja z um não-quadrado. dá pra ver que para todo par de não-quadrados c, d, temos que cd é um quadrado... a idéia é utilizar contagem. veja que o produto de quadrados é claramente um quadrado e o produto de um quadrado e um não-quadrado é não quadrado, pois se x^2*z = y^2 = z = y^2 *(x^(-1))^2 = (y.x^(-1))^2 = z é quadrado. então, para todo y não quadrado, temos que existe um x, com x^2 = y.z^(-1) = y = z.x^2 = y = (a^2 + b^2)x^2 = (xa)^2 + (bx)^2 game over! [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. ___ Yahoo! Mail agora com 100MB, anti-spam e antivírus grátis! http://br.info.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Z[i] e Teorema dos 2 Quadrados
Chicao Valadares wrote: Só, um detalhe:Vc provou que todo quadrado é uma soma de quadrados mas o que a questao pede é que todo elemento(quadrado ou nao) é soma de quadrados. []´s Você leu tudo? O caso em que o elemento é um quadrado é trivial, o outro caso tá demonstrado. A única afirmação que eu joguei sem demonstrar é que o produto de dois não-quadrados é um quadrado, mas era pra vc pensar um pouco... A idéia é bem simples: seja y um elemento de K que não é quadrado. Considere o mapa x - y*x. Como x^2 - y*x^2 e y*x^2 não é quadrado, temos que este mapa leva quadrados em não-quadrados e 0 em 0, para onde devem ir os não quadrados? claramente, por um argumento de contagem vemos que todos os não-quadrados devem ser levados em quadrados, ok? Ok, agora com um simples argumento você verifica que para um elemento a fixo, a^2 + b^2, com b em K* pode assumir (q-1)/2 valores distintos (e nenhum deles é a^2), como há exatamente (q-1)/2 quadrados e a^2 está de fora, é evidente que existe um elemento não-quadrado w = a^2 + b^2 para algum valor de b. Sendo assim, tome um y não quadrado, sabemos que w^(-1) é não-quadrado e, como já provamos, y*w^(-1) = x^2 para algum x e, portanto, y = x^2 * w, mas isso mata o problema, pois w é soma de quadrados, mais especificamente y = x^2(a^2 + b^2) = (ax)^2 + (bx)^2. Espero que tenha sido claro! [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Z[i] e Teorema dos 2 Quadrados
Oi,
Você pode ver tudo isso no artigo Inteiros de Gauss e
Inteiros de Eisenstein na Eureka! 14. O autor é um
ex-olímpico, o Guilherme Fujiwara, bronze na IMO 2002.
Ele está em
http://www.obm.org.br/eureka/artigos/gauss.doc
(Word) ou
http://www.obm.org.br/eureka/artigos/gauss.ps
(PS) ou
http://www.obm.org.br/eureka/artigos/gauss.pdf
(PDF).
Procure tudo isso na parte que fala de inteiros de
Gauss.
Vale citar que inteiros de Eisenstein podem ser
utilizados para resolver o problema 6 da IMO 2001.
[]'s
Shine
--- Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Ficarei feliz se responderem pelo menos duas dessas:
1-Sendo K um corpo finito, mostre que todo elemento
de
K é soma dos quadrados de 2 elementos de
K.Sugestão:Conte os quadrados em K.
2-Seja n=2 natural.Mostre a equivalencia das
condiçoes:
i) -1 é um quadrado em Zn.
ii)n = x^2 + y^2 sendo x,y coprimos.
iii)n=(2^w).Prod_k=1_n(p^(e_p)), p congruente a 1
mod
4 , e_p={0,1}, w um natural.
Notaçao:
e_p- Expoente de p
Prod_k=1_n(s)- Produtorio de k=1 a n dos elementos
de
s indexados por k(Na questao, ele nao indexa o k em
p^(e_p)).
3-Seja p primo natural e p congruente a 1 mod
4.Mostre
que, a menos de associados,existem 2 primos de Z[i]
conjugados de norma p.Como isso se expressa em
termos
do numero de representaçoes de p como soma de 2
quadrados de inteiros??O que ocorre se p=2
4-Demonstre que os n que sao da foram a^2 + b^2,
sendo
a e b naturais, tais que a equaçao n=x^2 + y^2
admite
somente as soluçoes (a,b) e (b,a) sao aqueles que
admitem um unico fator primo congruente a 1 mod 4.
=
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Re: [obm-l] Z[i] e Teorema dos 2 Quadrados
muito obrigado, mas alguns desses problemas eu ja
venho matutando...se alguem puder resolve-los para que
eu possa ver como é fico agradecido...:)
--- Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Oi,
Você pode ver tudo isso no artigo Inteiros de Gauss
e
Inteiros de Eisenstein na Eureka! 14. O autor é um
ex-olímpico, o Guilherme Fujiwara, bronze na IMO
2002.
Ele está em
http://www.obm.org.br/eureka/artigos/gauss.doc
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(PS) ou
http://www.obm.org.br/eureka/artigos/gauss.pdf
(PDF).
Procure tudo isso na parte que fala de inteiros de
Gauss.
Vale citar que inteiros de Eisenstein podem ser
utilizados para resolver o problema 6 da IMO 2001.
[]'s
Shine
--- Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Ficarei feliz se responderem pelo menos duas
dessas:
1-Sendo K um corpo finito, mostre que todo
elemento
de
K é soma dos quadrados de 2 elementos de
K.Sugestão:Conte os quadrados em K.
2-Seja n=2 natural.Mostre a equivalencia das
condiçoes:
i) -1 é um quadrado em Zn.
ii)n = x^2 + y^2 sendo x,y coprimos.
iii)n=(2^w).Prod_k=1_n(p^(e_p)), p congruente a 1
mod
4 , e_p={0,1}, w um natural.
Notaçao:
e_p- Expoente de p
Prod_k=1_n(s)- Produtorio de k=1 a n dos
elementos
de
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em
p^(e_p)).
3-Seja p primo natural e p congruente a 1 mod
4.Mostre
que, a menos de associados,existem 2 primos de
Z[i]
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termos
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quadrados de inteiros??O que ocorre se p=2
4-Demonstre que os n que sao da foram a^2 + b^2,
sendo
a e b naturais, tais que a equaçao n=x^2 + y^2
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