Re: [obm-l] autovalores , autovetores
Vamos passar a limpo.
Os resultados seguintes sao do livro de R.A Johnson e Dean W. Wichern
(Applied Multivariate Statistical Analysis)
I - Seja A uma matriz kxk simetrica. Entao A tem k pares de autovalores
e autovetores, a saber:
c1, e1, ..., ck, ek
Os autovetores podem ser escolhidos de forma a satisfazer
1 = e1'*e1 = ... = ek'ek e serem mutalmente perpendiculares. Os
autovetores sao unicos a menos que dois ou mais autovalores sejam iguais
II - A decomposicao espectral de uma matriz kxk simetrica A é dada por
A = c1 e1'*e1 + ... + ck ek'*ek
Dei um append nas suas duas mensagens e vou comenta-las abaixo.
Claudio Buffara wrote:
on 29.04.05 17:56, Fabio Niski at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Obrigado Claudio.
Alias, sobre a sua afirmativa u*u'tem posto 1 e, portanto, n-1
autovalores são iguais a 0. veja, por gentileza, se o meu argumento
esta correto:
Como A é simetrica podemos escreve-la da seguinte maneira
A = c1*e1'*e1 + ... + cn*en'*en
onde os ci sao os autovalores e os ei os autovetores correspondentes.
Como A tem posto 1 e os autovETORES sao l.i só se pode ter um autovalor
diferente de 0.
Essa expressao para A nao me parece obvia a priori.
Alem disso, como voce prova que os autovetores (nao autovalores) sao L.I.?
Eles soh serao L.I. a priori se os autovalores correspondentes forem
distintos, o que nao ocorre nesse caso (n-1 deles sao iguais a 0).
Quando voce diz que os autovetores serao LI se os autovalores
correspondentes forem distintos, considere
u' = (4 2 7 6)
Fiz as continhas no Mathematica, e veja
u'*u =
{{16, 8, 28, 24}, {8, 4, 14, 12}, {28, 14, 49, 42}, {24, 12, 42, 36}}
eigenvalues = {105, 0, 0, 0}
eigenvectors = {{4, 2, 7, 6}, {-3, 0, 0, 2}, {-7, 0, 4, 0}, {-1, 2, 0, 0}}
MatrixRank[eigenvectors] = 4 (!)
Veja que autovalores iguais deram origem a autovalores L.I (pois a
matriz formada pelos 4 autovetores tem posto = 4).
O que eu falei estava errado pois na expressao
A = c1*e1'*e1 + ... + cn*en'*en
eu estava interpretando (talvez por bebedeira) como a compoiscao de A
coluna por coluna, ou seja ignorando o fato de que em'*em é uma matriz.
A sua formula nao estah certa.
Se e1 eh um autovetor, entao, para qualquer escalar k 0, k*e1
tambem eh
autovetor associado ao mesmo autovalor, mas (k*e1)*(k*e1') = k2*(e1*e1').
Logo, a sua expressao para A nao pode estar certa, a menos que A = 0 e,
portanto, cada ei = 0.
Por exemplo, seja A =
5 2
2 2
Polinomio caracteristico: t2 - 7t + 6 == autovalores: 1 e 6.
Os autovetores associados sao, respectivamente:
(1,-2)^t e (2,1)^t
Pela sua formula, teriamos:
A =
13 22
4 16
mesmo normalizando os autovetores (no caso, multiplicando-os por
1/raiz(5)),
ainda nao obteriamos a expressao correta.
De onde voce tirou isso?
Os autovetores sao
{2,1} e {-1,2}
Tirando o fato que eu esqueci de omitir (e voce citou) que os
autovetores deveriam ser normalizados o resultado (II) é confirmado pelo
Mathematica (ao que parece voce apenas errou ao calcular os autovetores)
Concorda?
Abraços
Niski
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] autovalores , autovetores
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Mon, 02 May 2005 13:44:25 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] autovalores , autovetores
Vamos passar a limpo.
Os resultados seguintes sao do livro de R.A Johnson e Dean W. Wichern
(Applied Multivariate Statistical Analysis)
I - Seja A uma matriz kxk simetrica. Entao A tem k pares de autovalores
e autovetores, a saber:
c1, e1, ..., ck, ek
Os autovetores podem ser escolhidos de forma a satisfazer
1 = e1'*e1 = ... = ek'ek e serem mutalmente perpendiculares. Os
autovetores sao unicos a menos que dois ou mais autovalores sejam iguais
Ou seja, existe uma base ortonormal do R^n formada por autovetores de A.
Isso é verdade mas não é tão básico quanto o argumento que eu usei, que só envolve o teorema da imagem e do núcleo e, de fato, vale pra qualquer matriz de posto 1 e não apenas uma da forma u*u'.
II - A decomposicao espectral de uma matriz kxk simetrica A é dada por
A = c1 e1'*e1 + ... + ck ek'*ek
Eu não sabia disso, mas chequei meus alfarrábios e é verdade sim.
É uma consequencia do teorema espectral.
Nesse caso, eu costumo supor que os ei's são vetores-coluna, de modo que o produto que resulta numa matriz nxn é ei*ei' = matriz cujas linhas são múltiplos escalares de ei, onde o escalar da i-ésima linha é a i-ésima componente de ei.
Assim, (ei*ei')*ej = 0 (vetor coluna) e (ei*ei')*ei = |ei|^2*ei = ei.
Dei um append nas suas duas mensagens e vou comenta-las abaixo.
Claudio Buffara wrote:
on 29.04.05 17:56, Fabio Niski at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Obrigado Claudio.
Alias, sobre a sua afirmativa "u*u'tem posto 1 e, portanto, n-1
autovalores são iguais a 0." veja, por gentileza, se o meu argumento
esta correto:
Como A é simetrica podemos escreve-la da seguinte maneira
A = c1*e1'*e1 + ... + cn*en'*en
onde os ci sao os autovalores e os ei os autovetores correspondentes.
Como A tem posto 1 e os autovETORES sao l.i só se pode ter um autovalor
diferente de 0.
Essa expressao para A nao me parece obvia a priori.
Alem disso, como voce prova que os autovetores (nao autovalores) sao L.I.?
Eles soh serao L.I. a priori se os autovalores correspondentes forem
distintos, o que nao ocorre nesse caso (n-1 deles sao iguais a 0).
Quando voce diz que os autovetores serao LI se os autovalores
correspondentes forem distintos, considere
u' = (4 2 7 6)
Fiz as continhas no Mathematica, e veja
u'*u =
{{16, 8, 28, 24}, {8, 4, 14, 12}, {28, 14, 49, 42}, {24, 12, 42, 36}}
eigenvalues = {105, 0, 0, 0}
eigenvectors = {{4, 2, 7, 6}, {-3, 0, 0, 2}, {-7, 0, 4, 0}, {-1, 2, 0, 0}}
MatrixRank[eigenvectors] = 4 (!)
Veja que autovalores iguais deram origem a autovalores L.I (pois a
matriz formada pelos 4 autovetores tem posto = 4).
Isso pode. Um exemplo mais simples ainda seria a matriz identidade, onde cada vetor do R^n é um autovetor correspondente ao autovalor 1.
O que não pode é autovalores distintos darem origem a autovetores correspondentes L.D.
O que eu falei estava errado pois na expressao
A = c1*e1'*e1 + ... + cn*en'*en
eu estava interpretando (talvez por bebedeira) como a compoiscao de A
coluna por coluna, ou seja ignorando o fato de que em'*em é uma matriz.
A sua formula nao estah certa.
Se e1 eh um autovetor, entao, para qualquer escalar k 0, k*e1
tambem eh
autovetor associado ao mesmo autovalor, mas (k*e1)*(k*e1') = k2*(e1*e1').
Logo, a sua expressao para A nao pode estar certa, a menos que A = 0 e,
portanto, cada ei = 0.
Por exemplo, seja A =
5 2
2 2
Polinomio caracteristico: t2 - 7t + 6 == autovalores: 1 e 6.
Os autovetores associados sao, respectivamente:
(1,-2)^t e (2,1)^t
Pela sua formula, teriamos:
A =
13 22
4 16
mesmo normalizando os autovetores (no caso, multiplicando-os por
1/raiz(5)),
ainda nao obteriamos a expressao correta.
De onde voce tirou isso?
autovalor 1 == autovetor (-1,2)^t
autovalor 6 == autovetor (2,1)^t
[-1]*[-1 2] = [ 1 -2 ] = A(1)
[ 2 ] [-2 4 ]
[ 2 ]*[ 2 1] = [ 4 2 ]= A(6)
[ 1 ] [ 2 1 ]
1*A(1) + 6*A(6) = [ 25 10 ]
[ 10 10 ]
Normalizando (ou seja, dividindo por 5), obtemos A.
Conclusão: eu errei nas contas...
Os autovetores sao
{2,1} e {-1,2}
Tirando o fato que eu esqueci de omitir (e voce citou)
"esqueci de omitir?"
que os
autovetores deveriam ser normalizados o resultado (II) é confirmado pelo
Mathematica (ao que parece voce apenas errou ao calcular os autovetores)
Concorda?
Yes, sir!
[]s,
Claudio.
Re: [obm-l] autovalores , autovetores
on 29.04.05 17:56, Fabio Niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: Obrigado Claudio. Alias, sobre a sua afirmativa u*u'tem posto 1 e, portanto, n-1 autovalores são iguais a 0. veja, por gentileza, se o meu argumento esta correto: Como A é simetrica podemos escreve-la da seguinte maneira A = c1*e1'*e1 + ... + cn*en'*en onde os ci sao os autovalores e os ei os autovetores correspondentes. Como A tem posto 1 e os autovalores sao l.i só se pode ter um autovalor diferente de 0. Essa expressao para A nao me parece obvia a priori. Alem disso, como voce prova que os autovetores (nao autovalores) sao L.I.? Eles soh serao L.I. a priori se os autovalores correspondentes forem distintos, o que nao ocorre nesse caso (n-1 deles sao iguais a 0). Voce provaria de outra maneira? O nucleo de A eh um subespaco de R^n. Posto(A) = 1 == dim(Nucleo(A)) = n-1 (teorema do nucleo e da imagem) Logo, Nucleo(A) tem uma base (de fato, uma infinidade de bases) com n-1 vetores. Para qualquer vetor v dessa base (de fato, qualquer vetor do nucleo), vale Av = 0 = 0v, ou seja, cada vetor da base eh um autovetor associado ao autovalor 0. Como a base tem n-1 vetores L.I., o autovalor 0 tem multiplicidade = n-1. O n-esimo autovetor eh u (ou qualquer multiplo escalar nao nulo de u), com autovalor associado igual a |u|^2 0 (a menos que u = 0, mas nesse caso A seria a matriz nula). Logo, a multiplicidade do autovalor 0 eh n-1. Se A = 0, entao 0 eh autovalor de multiplicidade n e o auto-espaco associado eh todo o R^n. []s, Claudio. Abraços claudio.buffara wrote: Oi, Niski: Estou supondo que u é um vetor coluna do R^n. Nesse caso, a matriz u*u' tem o elemento (i,j) igual a u(i)*u(j) (produto da i-ésima e j-ésima componentes de u). Ou seja, a i-ésima linha de u*u' é igual a u(i)*u. Logo, u*u' tem posto 1 e, portanto, n-1 autovalores são iguais a 0. Multiplicando u*u' por u, obtemos (u(1)^2 + ... + u(n)^2)*u. Logo, u é autovetor com o autovalor associado igual a: u(1)^2 + ... + u(n)^2 = |u|^2. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 29 Apr 2005 15:22:27 -0300 Assunto: [obm-l] autovalores , autovetores Pessoal, como eu resolvo este problema: Encontre os autovalores e autovetores de uma matriz A = u.u', onde u pert R^n (notacao: u' = u transposto) Sem precisar recorer a resolver equacoes genericas escabrosas (isto é sem recorrer ao artificio das raizes da eq. det|A - cI| = 0) Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] autovalores , autovetores
Oi, Niski: Estou supondo que u é um vetor coluna do R^n. Nesse caso, a matriz u*u' tem o elemento (i,j) igual a u(i)*u(j) (produto da i-ésima e j-ésima componentes de u). Ou seja, a i-ésima linha de u*u' é igual a u(i)*u. Logo, u*u' temposto 1 e, portanto, n-1 autovalores são iguais a 0. Multiplicando u*u' por u, obtemos (u(1)^2 + ... + u(n)^2)*u. Logo, u é autovetor com o autovalor associado igual a: u(1)^2 +... + u(n)^2 = |u|^2. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 29 Apr 2005 15:22:27 -0300 Assunto: [obm-l] autovalores , autovetores Pessoal, como eu resolvo este problema: "Encontre os autovalores e autovetores de uma matriz A = u.u', onde u pert R^n" (notacao: u' = "u transposto") Sem precisar recorer a resolver equacoes genericas escabrosas (isto é sem recorrer ao artificio das raizes da eq. det|A - cI| = 0) Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] autovalores , autovetores
Obrigado Claudio. Alias, sobre a sua afirmativa u*u'tem posto 1 e, portanto, n-1 autovalores são iguais a 0. veja, por gentileza, se o meu argumento esta correto: Como A é simetrica podemos escreve-la da seguinte maneira A = c1*e1'*e1 + ... + cn*en'*en onde os ci sao os autovalores e os ei os autovetores correspondentes. Como A tem posto 1 e os autovalores sao l.i só se pode ter um autovalor diferente de 0. Voce provaria de outra maneira? Abraços claudio.buffara wrote: Oi, Niski: Estou supondo que u é um vetor coluna do R^n. Nesse caso, a matriz u*u' tem o elemento (i,j) igual a u(i)*u(j) (produto da i-ésima e j-ésima componentes de u). Ou seja, a i-ésima linha de u*u' é igual a u(i)*u. Logo, u*u' tem posto 1 e, portanto, n-1 autovalores são iguais a 0. Multiplicando u*u' por u, obtemos (u(1)^2 + ... + u(n)^2)*u. Logo, u é autovetor com o autovalor associado igual a: u(1)^2 + ... + u(n)^2 = |u|^2. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 29 Apr 2005 15:22:27 -0300 Assunto:[obm-l] autovalores , autovetores Pessoal, como eu resolvo este problema: Encontre os autovalores e autovetores de uma matriz A = u.u', onde u pert R^n (notacao: u' = u transposto) Sem precisar recorer a resolver equacoes genericas escabrosas (isto é sem recorrer ao artificio das raizes da eq. det|A - cI| = 0) Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
