Re: [obm-l] combinatoria dificil
Olá Johann,
observando sua solução, vi que H == -2 (mod 13)
mas, -2 == 11 (mod 13)
logo: H = 13x - 2 = 13(x-1) + 11
nao analisei sua solucao desta parte para baixo..
um abraço,
Salhab
2008/3/26 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[EMAIL PROTECTED]:
Não é tão escabroso quanto parece:
19H + 13M = 1000
Módulo 13, temos
19H=1000
7H=1000=-14
H=-2=(mod 13)
Entao H=13x+2
Substitui:
19(13x+2) + 13M = 1000
247x+13M=962
19x+M=74
M=74-19x
H=13x+2
Agora que parametrizou, faz com que ambos sejam positivos, ou 74-19x0
7419x
x74/194
Bem, daí é só testar!
Em 24/03/08, Fernando[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Oi João Victor, a questão é que eu já havia escrito esta equação.
Acontece
que ela é diofantina, admitindo infinitas soluções. Claro que, de
acordo
com as condições do exercício proposto deve-se conseguir restringir a
quantidade delas para um número bem menos (eu creio).
P.S.: Nem toda diofantiona tem infinitas soluções.
Diofantina significa somente `resolva em Z={0,1,-1,2,-2,3,-3,...}´
Ou seja, até mesmo x=2 pode ser diofantina, bem como x^3=5
Amplexo.
Fernando
- Original Message -
From: Joao Victor Brasil
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, March 24, 2008 1:08 PM
Subject: Re: [obm-l] combinatoria dificil
Fernando,
Infelizmente não tenho, mas tenta ver algo nesse sentido:
19H + 13M = 1000, H= Homem e M=Mulher
Joao Victor
On 3/24/08, Fernando [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá João Victor, boa tarde!
Você possui a solução do problema abaixo?
Se SIM, poderia enviá-la para mim?
Sociedade Brasileira de Matemática
EUREKA! N°14, 2002
VIII OLIMPÍADA DE MAIO
Enunciados e Resultado Brasileiro
PRIMEIRO NÍVEL
11/05/2002
PROBLEMA 1
Um grupo de homens, alguns dos quais acompanhados pelas esposas,
gastaram
1000
dólares num hotel. Cada homem gastou 19 dólares e cada mulher, 13
dólares.
Determine quantas mulheres e quantos homens estavam no hotel.
http://www.obm.org.br/eureka/eureka14.pdf
acesso em 23/03/2008
Agradeço sua atenção.
Amplexo.
Fernando Pinto
- Original Message -
From: Joao Victor Brasil
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, March 24, 2008 10:29 AM
Subject: Re: [obm-l] combinatoria dificil
É verdade pessoal. Errei e muito na minha resolução.
Mas olha só, concordo plenamente com a resposta do Henrique, 48
possibilidades.
Usando o princípio multiplicativo D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2 achei
72
possibilidades, me alertaram sobre as repetições e analisei um modo de
retirá-las.
D1H1:3 disc
D1H2: 2 disc
D2H1: 2 disc (repetir as mesmas disciplinas do dia 1)
D2H2: 1 disc
D3H1: 2 disc (apesar de sobrar somente uma disc, temos duas aulas)
D3H2: 1 disc
3*2*2*1*2*1 = 24. 72 - 24 = 48 poss.
Joao Victor
On 3/20/08, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal!
Acredito que a solução do Salhab está correta. Seja Di o dia i e Hj
o
horário j.
D1H1: 3 matérias
D1H2: 2 matérias (para não repetir a utilizada em D1H1)
D1: 6 possibilidades
Para D2, se escolhermos uma já utilizada em D1 então não poderemos
utilizar a outra matéria utilizada em D1, senão D3 teria as mesmas
matérias. Assim, para D2 teríamos uma já utilizada (2 matérias) e
uma
não utilizada. Logo, 2*1 = 2. Como a ordem importa, temos 2*2 = 4.
D3 só possui 2 formas, com as ordens das matérias trocadas.
Total: 6*4*2 = 48.
Essa é uma forma mais lógica de resolver o problema. Estive tentando
utilizar combinatória e também achei a resposta 48.
Sejam A,B,C as matérias. Quantas permutações diferentes existem
entre
A,A,B,B,C,C? Cada posição seria um horário em um dia, ou seja,
D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2. Bastaria calcular o número de
permutações com repetição, ou seja, 6!/(2!*2!*2!) = 720/8 = 90.
Sabemos que não podemos ter uma permutação do tipo AABCBC, pois AA
representa a mesma matéria em D1H1 e D1H2. Então sabemos que a
resposta é menor que 90.
As formas inválidas serão:
Se as 3 matérias do mesmo tipo estão juntas no mesmo dia, ex:
AABBCC.
Existem 3! = 6 formas, considerando AA,BB,CC como 3 elementos
permutados entre si.
Não há necessidade de verificar quando 2 matérias estão no mesmo dia
pois cai no caso acima.
Quando há apenas 1 matéria repetida em 1 dia, ex: AABCBC, então
temos
12 formas para cada par da mesma matéria utilizada no mesmo dia. Se
AA
está em D1 então D2 pode ser BC ou CB e D3 pode ser BC ou CB, 2*2 =
4.
AA pode estar em D1,D2,D3. Assim, 4*3 = 12. Para BB e CC seria o
mesmo, dando um total de 3*12 = 36
Re: [obm-l] combinatoria dificil
Por que seria -2 ? 19H + 13M = 1000 Aplicando (mod 13) em ambos os lados. 6H = 12 H = 2 H = 13x + 2, x = 0 2008/3/28 Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]: Olá Johann, observando sua solução, vi que H == -2 (mod 13) mas, -2 == 11 (mod 13) logo: H = 13x - 2 = 13(x-1) + 11 nao analisei sua solucao desta parte para baixo.. um abraço, Salhab 2008/3/26 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED]: Não é tão escabroso quanto parece: 19H + 13M = 1000 Módulo 13, temos 19H=1000 7H=1000=-14 H=-2=(mod 13) Entao H=13x+2 Substitui: 19(13x+2) + 13M = 1000 247x+13M=962 19x+M=74 M=74-19x H=13x+2 Agora que parametrizou, faz com que ambos sejam positivos, ou 74-19x0 7419x x74/194 Bem, daí é só testar! -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] combinatoria dificil
Terei a resposta oficial somente semana que vem. A questão foi proposta pelo Prof. Paulo Jorge Teixeira (UFF) na 1ª avaliação formativa de um curso em andamento na PUC-RJ. Mas tudo indica que é realmente 48 e, portanto, houve um erro nas alternativas. Em 20/03/08, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal! Acredito que a solução do Salhab está correta. Seja Di o dia i e Hj o horário j. D1H1: 3 matérias D1H2: 2 matérias (para não repetir a utilizada em D1H1) D1: 6 possibilidades Para D2, se escolhermos uma já utilizada em D1 então não poderemos utilizar a outra matéria utilizada em D1, senão D3 teria as mesmas matérias. Assim, para D2 teríamos uma já utilizada (2 matérias) e uma não utilizada. Logo, 2*1 = 2. Como a ordem importa, temos 2*2 = 4. D3 só possui 2 formas, com as ordens das matérias trocadas. Total: 6*4*2 = 48. Essa é uma forma mais lógica de resolver o problema. Estive tentando utilizar combinatória e também achei a resposta 48. Sejam A,B,C as matérias. Quantas permutações diferentes existem entre A,A,B,B,C,C? Cada posição seria um horário em um dia, ou seja, D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2. Bastaria calcular o número de permutações com repetição, ou seja, 6!/(2!*2!*2!) = 720/8 = 90. Sabemos que não podemos ter uma permutação do tipo AABCBC, pois AA representa a mesma matéria em D1H1 e D1H2. Então sabemos que a resposta é menor que 90. As formas inválidas serão: Se as 3 matérias do mesmo tipo estão juntas no mesmo dia, ex: AABBCC. Existem 3! = 6 formas, considerando AA,BB,CC como 3 elementos permutados entre si. Não há necessidade de verificar quando 2 matérias estão no mesmo dia pois cai no caso acima. Quando há apenas 1 matéria repetida em 1 dia, ex: AABCBC, então temos 12 formas para cada par da mesma matéria utilizada no mesmo dia. Se AA está em D1 então D2 pode ser BC ou CB e D3 pode ser BC ou CB, 2*2 = 4. AA pode estar em D1,D2,D3. Assim, 4*3 = 12. Para BB e CC seria o mesmo, dando um total de 3*12 = 36 formas quando há apenas uma matéria que se repete no mesmo dia. Assim, o total seria 90 - (6+36) = 90 - 42 = 48 formas distintas de compor o horário Thelio, você poderia passar a fonte do problema e verificar se as respostas são essas mesmo? On 3/13/08, Thelio Gama [EMAIL PROTECTED] wrote: É pessoal... Achei muito difícil esta questão. Agradeço se alguém puder explicá-la. Thelio uma turma tem aulas às 2ª, 4ª e 6ª feiras, de 8-9 horas e de 11-12 horas. As matérias são portugues, matemática e ingles, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? a)96 ; b) 144 ; c)192 ; d) 6!; e) 120 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] combinatoria dificil
Não é tão escabroso quanto parece:
19H + 13M = 1000
Módulo 13, temos
19H=1000
7H=1000=-14
H=-2=(mod 13)
Entao H=13x+2
Substitui:
19(13x+2) + 13M = 1000
247x+13M=962
19x+M=74
M=74-19x
H=13x+2
Agora que parametrizou, faz com que ambos sejam positivos, ou 74-19x0
7419x
x74/194
Bem, daí é só testar!
Em 24/03/08, Fernando[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Oi João Victor, a questão é que eu já havia escrito esta equação. Acontece
que ela é diofantina, admitindo infinitas soluções. Claro que, de acordo
com as condições do exercício proposto deve-se conseguir restringir a
quantidade delas para um número bem menos (eu creio).
P.S.: Nem toda diofantiona tem infinitas soluções.
Diofantina significa somente `resolva em Z={0,1,-1,2,-2,3,-3,...}´
Ou seja, até mesmo x=2 pode ser diofantina, bem como x^3=5
Amplexo.
Fernando
- Original Message -
From: Joao Victor Brasil
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, March 24, 2008 1:08 PM
Subject: Re: [obm-l] combinatoria dificil
Fernando,
Infelizmente não tenho, mas tenta ver algo nesse sentido:
19H + 13M = 1000, H= Homem e M=Mulher
Joao Victor
On 3/24/08, Fernando [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá João Victor, boa tarde!
Você possui a solução do problema abaixo?
Se SIM, poderia enviá-la para mim?
Sociedade Brasileira de Matemática
EUREKA! N°14, 2002
VIII OLIMPÍADA DE MAIO
Enunciados e Resultado Brasileiro
PRIMEIRO NÍVEL
11/05/2002
PROBLEMA 1
Um grupo de homens, alguns dos quais acompanhados pelas esposas, gastaram
1000
dólares num hotel. Cada homem gastou 19 dólares e cada mulher, 13 dólares.
Determine quantas mulheres e quantos homens estavam no hotel.
http://www.obm.org.br/eureka/eureka14.pdf
acesso em 23/03/2008
Agradeço sua atenção.
Amplexo.
Fernando Pinto
- Original Message -
From: Joao Victor Brasil
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, March 24, 2008 10:29 AM
Subject: Re: [obm-l] combinatoria dificil
É verdade pessoal. Errei e muito na minha resolução.
Mas olha só, concordo plenamente com a resposta do Henrique, 48
possibilidades.
Usando o princípio multiplicativo D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2 achei 72
possibilidades, me alertaram sobre as repetições e analisei um modo de
retirá-las.
D1H1:3 disc
D1H2: 2 disc
D2H1: 2 disc (repetir as mesmas disciplinas do dia 1)
D2H2: 1 disc
D3H1: 2 disc (apesar de sobrar somente uma disc, temos duas aulas)
D3H2: 1 disc
3*2*2*1*2*1 = 24. 72 - 24 = 48 poss.
Joao Victor
On 3/20/08, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal!
Acredito que a solução do Salhab está correta. Seja Di o dia i e Hj o
horário j.
D1H1: 3 matérias
D1H2: 2 matérias (para não repetir a utilizada em D1H1)
D1: 6 possibilidades
Para D2, se escolhermos uma já utilizada em D1 então não poderemos
utilizar a outra matéria utilizada em D1, senão D3 teria as mesmas
matérias. Assim, para D2 teríamos uma já utilizada (2 matérias) e uma
não utilizada. Logo, 2*1 = 2. Como a ordem importa, temos 2*2 = 4.
D3 só possui 2 formas, com as ordens das matérias trocadas.
Total: 6*4*2 = 48.
Essa é uma forma mais lógica de resolver o problema. Estive tentando
utilizar combinatória e também achei a resposta 48.
Sejam A,B,C as matérias. Quantas permutações diferentes existem entre
A,A,B,B,C,C? Cada posição seria um horário em um dia, ou seja,
D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2. Bastaria calcular o número de
permutações com repetição, ou seja, 6!/(2!*2!*2!) = 720/8 = 90.
Sabemos que não podemos ter uma permutação do tipo AABCBC, pois AA
representa a mesma matéria em D1H1 e D1H2. Então sabemos que a
resposta é menor que 90.
As formas inválidas serão:
Se as 3 matérias do mesmo tipo estão juntas no mesmo dia, ex: AABBCC.
Existem 3! = 6 formas, considerando AA,BB,CC como 3 elementos
permutados entre si.
Não há necessidade de verificar quando 2 matérias estão no mesmo dia
pois cai no caso acima.
Quando há apenas 1 matéria repetida em 1 dia, ex: AABCBC, então temos
12 formas para cada par da mesma matéria utilizada no mesmo dia. Se AA
está em D1 então D2 pode ser BC ou CB e D3 pode ser BC ou CB, 2*2 = 4.
AA pode estar em D1,D2,D3. Assim, 4*3 = 12. Para BB e CC seria o
mesmo, dando um total de 3*12 = 36 formas quando há apenas uma matéria
que se repete no mesmo dia.
Assim, o total seria 90 - (6+36) = 90 - 42 = 48 formas distintas de
compor o horário
Thelio, você poderia passar a fonte do problema e verificar se as
respostas são essas mesmo?
On 3/13/08, Thelio Gama [EMAIL PROTECTED] wrote:
É pessoal...
Achei muito difícil esta questão. Agradeço se alguém puder explicá-la.
Thelio
uma
Re: [obm-l] combinatoria dificil
É verdade pessoal. Errei e muito na minha resolução. Mas olha só, concordo plenamente com a resposta do Henrique, 48 possibilidades. Usando o princípio multiplicativo D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2 achei 72 possibilidades, me alertaram sobre as repetições e analisei um modo de retirá-las. D1H1:3 disc D1H2: 2 disc D2H1: 2 disc (repetir as mesmas disciplinas do dia 1) D2H2: 1 disc D3H1: 2 disc (apesar de sobrar somente uma disc, temos duas aulas) D3H2: 1 disc 3*2*2*1*2*1 = 24. 72 - 24 = 48 poss. Joao Victor On 3/20/08, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal! Acredito que a solução do Salhab está correta. Seja Di o dia i e Hj o horário j. D1H1: 3 matérias D1H2: 2 matérias (para não repetir a utilizada em D1H1) D1: 6 possibilidades Para D2, se escolhermos uma já utilizada em D1 então não poderemos utilizar a outra matéria utilizada em D1, senão D3 teria as mesmas matérias. Assim, para D2 teríamos uma já utilizada (2 matérias) e uma não utilizada. Logo, 2*1 = 2. Como a ordem importa, temos 2*2 = 4. D3 só possui 2 formas, com as ordens das matérias trocadas. Total: 6*4*2 = 48. Essa é uma forma mais lógica de resolver o problema. Estive tentando utilizar combinatória e também achei a resposta 48. Sejam A,B,C as matérias. Quantas permutações diferentes existem entre A,A,B,B,C,C? Cada posição seria um horário em um dia, ou seja, D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2. Bastaria calcular o número de permutações com repetição, ou seja, 6!/(2!*2!*2!) = 720/8 = 90. Sabemos que não podemos ter uma permutação do tipo AABCBC, pois AA representa a mesma matéria em D1H1 e D1H2. Então sabemos que a resposta é menor que 90. As formas inválidas serão: Se as 3 matérias do mesmo tipo estão juntas no mesmo dia, ex: AABBCC. Existem 3! = 6 formas, considerando AA,BB,CC como 3 elementos permutados entre si. Não há necessidade de verificar quando 2 matérias estão no mesmo dia pois cai no caso acima. Quando há apenas 1 matéria repetida em 1 dia, ex: AABCBC, então temos 12 formas para cada par da mesma matéria utilizada no mesmo dia. Se AA está em D1 então D2 pode ser BC ou CB e D3 pode ser BC ou CB, 2*2 = 4. AA pode estar em D1,D2,D3. Assim, 4*3 = 12. Para BB e CC seria o mesmo, dando um total de 3*12 = 36 formas quando há apenas uma matéria que se repete no mesmo dia. Assim, o total seria 90 - (6+36) = 90 - 42 = 48 formas distintas de compor o horário Thelio, você poderia passar a fonte do problema e verificar se as respostas são essas mesmo? On 3/13/08, Thelio Gama [EMAIL PROTECTED] wrote: É pessoal... Achei muito difícil esta questão. Agradeço se alguém puder explicá-la. Thelio uma turma tem aulas às 2ª, 4ª e 6ª feiras, de 8-9 horas e de 11-12 horas. As matérias são portugues, matemática e ingles, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? a)96 ; b) 144 ; c)192 ; d) 6!; e) 120 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] combinatoria dificil
Olá João Victor, boa tarde! Você possui a solução do problema abaixo? Se SIM, poderia enviá-la para mim? Sociedade Brasileira de Matemática EUREKA! N°14, 2002 VIII OLIMPÍADA DE MAIO Enunciados e Resultado Brasileiro PRIMEIRO NÍVEL 11/05/2002 PROBLEMA 1 Um grupo de homens, alguns dos quais acompanhados pelas esposas, gastaram 1000 dólares num hotel. Cada homem gastou 19 dólares e cada mulher, 13 dólares. Determine quantas mulheres e quantos homens estavam no hotel. http://www.obm.org.br/eureka/eureka14.pdf acesso em 23/03/2008 Agradeço sua atenção. Amplexo. Fernando Pinto - Original Message - From: Joao Victor Brasil To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, March 24, 2008 10:29 AM Subject: Re: [obm-l] combinatoria dificil É verdade pessoal. Errei e muito na minha resolução. Mas olha só, concordo plenamente com a resposta do Henrique, 48 possibilidades. Usando o princípio multiplicativo D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2 achei 72 possibilidades, me alertaram sobre as repetições e analisei um modo de retirá-las. D1H1:3 disc D1H2: 2 disc D2H1: 2 disc (repetir as mesmas disciplinas do dia 1) D2H2: 1 disc D3H1: 2 disc (apesar de sobrar somente uma disc, temos duas aulas) D3H2: 1 disc 3*2*2*1*2*1 = 24. 72 - 24 = 48 poss. Joao Victor On 3/20/08, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal! Acredito que a solução do Salhab está correta. Seja Di o dia i e Hj o horário j. D1H1: 3 matérias D1H2: 2 matérias (para não repetir a utilizada em D1H1) D1: 6 possibilidades Para D2, se escolhermos uma já utilizada em D1 então não poderemos utilizar a outra matéria utilizada em D1, senão D3 teria as mesmas matérias. Assim, para D2 teríamos uma já utilizada (2 matérias) e uma não utilizada. Logo, 2*1 = 2. Como a ordem importa, temos 2*2 = 4. D3 só possui 2 formas, com as ordens das matérias trocadas. Total: 6*4*2 = 48. Essa é uma forma mais lógica de resolver o problema. Estive tentando utilizar combinatória e também achei a resposta 48. Sejam A,B,C as matérias. Quantas permutações diferentes existem entre A,A,B,B,C,C? Cada posição seria um horário em um dia, ou seja, D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2. Bastaria calcular o número de permutações com repetição, ou seja, 6!/(2!*2!*2!) = 720/8 = 90. Sabemos que não podemos ter uma permutação do tipo AABCBC, pois AA representa a mesma matéria em D1H1 e D1H2. Então sabemos que a resposta é menor que 90. As formas inválidas serão: Se as 3 matérias do mesmo tipo estão juntas no mesmo dia, ex: AABBCC. Existem 3! = 6 formas, considerando AA,BB,CC como 3 elementos permutados entre si. Não há necessidade de verificar quando 2 matérias estão no mesmo dia pois cai no caso acima. Quando há apenas 1 matéria repetida em 1 dia, ex: AABCBC, então temos 12 formas para cada par da mesma matéria utilizada no mesmo dia. Se AA está em D1 então D2 pode ser BC ou CB e D3 pode ser BC ou CB, 2*2 = 4. AA pode estar em D1,D2,D3. Assim, 4*3 = 12. Para BB e CC seria o mesmo, dando um total de 3*12 = 36 formas quando há apenas uma matéria que se repete no mesmo dia. Assim, o total seria 90 - (6+36) = 90 - 42 = 48 formas distintas de compor o horário Thelio, você poderia passar a fonte do problema e verificar se as respostas são essas mesmo? On 3/13/08, Thelio Gama [EMAIL PROTECTED] wrote: É pessoal... Achei muito difícil esta questão. Agradeço se alguém puder explicá-la. Thelio uma turma tem aulas às 2ª, 4ª e 6ª feiras, de 8-9 horas e de 11-12 horas. As matérias são portugues, matemática e ingles, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? a)96 ; b) 144 ; c)192 ; d) 6!; e) 120 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] combinatoria dificil
Fernando, Infelizmente não tenho, mas tenta ver algo nesse sentido: 19H + 13M = 1000, H= Homem e M=Mulher Joao Victor On 3/24/08, Fernando [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá João Victor, boa tarde! Você possui a solução do problema abaixo? Se SIM, poderia enviá-la para mim? * Sociedade Brasileira de Matemática EUREKA! N°14, 2002 * *VIII OLIMPÍADA DE MAIO* * Enunciados e Resultado Brasileiro * *PRIMEIRO NÍVEL* *11/05/2002* *PROBLEMA 1* *Um grupo de homens, alguns dos quais acompanhados pelas esposas, gastaram 1000* *dólares num hotel. Cada homem gastou 19 dólares e cada mulher, 13 dólares.* *Determine quantas mulheres e quantos homens estavam no hotel.* ** *http://www.obm.org.br/eureka/eureka14.pdf* *acesso em 23/03/2008* ** Agradeço sua atenção. Amplexo. Fernando Pinto -- -- - Original Message - *From:* Joao Victor Brasil [EMAIL PROTECTED] *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Monday, March 24, 2008 10:29 AM *Subject:* Re: [obm-l] combinatoria dificil É verdade pessoal. Errei e muito na minha resolução. Mas olha só, concordo plenamente com a resposta do Henrique, 48 possibilidades. Usando o princípio multiplicativo D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2 achei 72 possibilidades, me alertaram sobre as repetições e analisei um modo de retirá-las. D1H1:3 disc D1H2: 2 disc D2H1: 2 disc (repetir as mesmas disciplinas do dia 1) D2H2: 1 disc D3H1: 2 disc (apesar de sobrar somente uma disc, temos duas aulas) D3H2: 1 disc 3*2*2*1*2*1 = 24. 72 - 24 = 48 poss. Joao Victor On 3/20/08, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal! Acredito que a solução do Salhab está correta. Seja Di o dia i e Hj o horário j. D1H1: 3 matérias D1H2: 2 matérias (para não repetir a utilizada em D1H1) D1: 6 possibilidades Para D2, se escolhermos uma já utilizada em D1 então não poderemos utilizar a outra matéria utilizada em D1, senão D3 teria as mesmas matérias. Assim, para D2 teríamos uma já utilizada (2 matérias) e uma não utilizada. Logo, 2*1 = 2. Como a ordem importa, temos 2*2 = 4. D3 só possui 2 formas, com as ordens das matérias trocadas. Total: 6*4*2 = 48. Essa é uma forma mais lógica de resolver o problema. Estive tentando utilizar combinatória e também achei a resposta 48. Sejam A,B,C as matérias. Quantas permutações diferentes existem entre A,A,B,B,C,C? Cada posição seria um horário em um dia, ou seja, D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2. Bastaria calcular o número de permutações com repetição, ou seja, 6!/(2!*2!*2!) = 720/8 = 90. Sabemos que não podemos ter uma permutação do tipo AABCBC, pois AA representa a mesma matéria em D1H1 e D1H2. Então sabemos que a resposta é menor que 90. As formas inválidas serão: Se as 3 matérias do mesmo tipo estão juntas no mesmo dia, ex: AABBCC. Existem 3! = 6 formas, considerando AA,BB,CC como 3 elementos permutados entre si. Não há necessidade de verificar quando 2 matérias estão no mesmo dia pois cai no caso acima. Quando há apenas 1 matéria repetida em 1 dia, ex: AABCBC, então temos 12 formas para cada par da mesma matéria utilizada no mesmo dia. Se AA está em D1 então D2 pode ser BC ou CB e D3 pode ser BC ou CB, 2*2 = 4. AA pode estar em D1,D2,D3. Assim, 4*3 = 12. Para BB e CC seria o mesmo, dando um total de 3*12 = 36 formas quando há apenas uma matéria que se repete no mesmo dia. Assim, o total seria 90 - (6+36) = 90 - 42 = 48 formas distintas de compor o horário Thelio, você poderia passar a fonte do problema e verificar se as respostas são essas mesmo? On 3/13/08, Thelio Gama [EMAIL PROTECTED] wrote: É pessoal... Achei muito difícil esta questão. Agradeço se alguém puder explicá-la. Thelio uma turma tem aulas às 2ª, 4ª e 6ª feiras, de 8-9 horas e de 11-12 horas. As matérias são portugues, matemática e ingles, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? a)96 ; b) 144 ; c)192 ; d) 6!; e) 120 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] combinatoria dificil
Oi João Victor, a questão é que eu já havia escrito esta equação. Acontece que ela é diofantina, admitindo infinitas soluções. Claro que, de acordo com as condições do exercício proposto deve-se conseguir restringir a quantidade delas para um número bem menos (eu creio). Amplexo. Fernando - Original Message - From: Joao Victor Brasil To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, March 24, 2008 1:08 PM Subject: Re: [obm-l] combinatoria dificil Fernando, Infelizmente não tenho, mas tenta ver algo nesse sentido: 19H + 13M = 1000, H= Homem e M=Mulher Joao Victor On 3/24/08, Fernando [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá João Victor, boa tarde! Você possui a solução do problema abaixo? Se SIM, poderia enviá-la para mim? Sociedade Brasileira de Matemática EUREKA! N°14, 2002 VIII OLIMPÍADA DE MAIO Enunciados e Resultado Brasileiro PRIMEIRO NÍVEL 11/05/2002 PROBLEMA 1 Um grupo de homens, alguns dos quais acompanhados pelas esposas, gastaram 1000 dólares num hotel. Cada homem gastou 19 dólares e cada mulher, 13 dólares. Determine quantas mulheres e quantos homens estavam no hotel. http://www.obm.org.br/eureka/eureka14.pdf acesso em 23/03/2008 Agradeço sua atenção. Amplexo. Fernando Pinto - Original Message - From: Joao Victor Brasil To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, March 24, 2008 10:29 AM Subject: Re: [obm-l] combinatoria dificil É verdade pessoal. Errei e muito na minha resolução. Mas olha só, concordo plenamente com a resposta do Henrique, 48 possibilidades. Usando o princípio multiplicativo D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2 achei 72 possibilidades, me alertaram sobre as repetições e analisei um modo de retirá-las. D1H1:3 disc D1H2: 2 disc D2H1: 2 disc (repetir as mesmas disciplinas do dia 1) D2H2: 1 disc D3H1: 2 disc (apesar de sobrar somente uma disc, temos duas aulas) D3H2: 1 disc 3*2*2*1*2*1 = 24. 72 - 24 = 48 poss. Joao Victor On 3/20/08, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal! Acredito que a solução do Salhab está correta. Seja Di o dia i e Hj o horário j. D1H1: 3 matérias D1H2: 2 matérias (para não repetir a utilizada em D1H1) D1: 6 possibilidades Para D2, se escolhermos uma já utilizada em D1 então não poderemos utilizar a outra matéria utilizada em D1, senão D3 teria as mesmas matérias. Assim, para D2 teríamos uma já utilizada (2 matérias) e uma não utilizada. Logo, 2*1 = 2. Como a ordem importa, temos 2*2 = 4. D3 só possui 2 formas, com as ordens das matérias trocadas. Total: 6*4*2 = 48. Essa é uma forma mais lógica de resolver o problema. Estive tentando utilizar combinatória e também achei a resposta 48. Sejam A,B,C as matérias. Quantas permutações diferentes existem entre A,A,B,B,C,C? Cada posição seria um horário em um dia, ou seja, D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2. Bastaria calcular o número de permutações com repetição, ou seja, 6!/(2!*2!*2!) = 720/8 = 90. Sabemos que não podemos ter uma permutação do tipo AABCBC, pois AA representa a mesma matéria em D1H1 e D1H2. Então sabemos que a resposta é menor que 90. As formas inválidas serão: Se as 3 matérias do mesmo tipo estão juntas no mesmo dia, ex: AABBCC. Existem 3! = 6 formas, considerando AA,BB,CC como 3 elementos permutados entre si. Não há necessidade de verificar quando 2 matérias estão no mesmo dia pois cai no caso acima. Quando há apenas 1 matéria repetida em 1 dia, ex: AABCBC, então temos 12 formas para cada par da mesma matéria utilizada no mesmo dia. Se AA está em D1 então D2 pode ser BC ou CB e D3 pode ser BC ou CB, 2*2 = 4. AA pode estar em D1,D2,D3. Assim, 4*3 = 12. Para BB e CC seria o mesmo, dando um total de 3*12 = 36 formas quando há apenas uma matéria que se repete no mesmo dia. Assim, o total seria 90 - (6+36) = 90 - 42 = 48 formas distintas de compor o horário Thelio, você poderia passar a fonte do problema e verificar se as respostas são essas mesmo? On 3/13/08, Thelio Gama [EMAIL PROTECTED] wrote: É pessoal... Achei muito difícil esta questão. Agradeço se alguém puder explicá-la. Thelio uma turma tem aulas às 2ª, 4ª e 6ª feiras, de 8-9 horas e de 11-12 horas
Re: [obm-l] combinatoria dificil
Pois é joão acho q dessa forma a gente acaba contando os casos em que há a mesma matéria duas vezes no dia. Por exemplo: D1: H1: 3 opções-- escolho M; H2 duas opções-- escolho F; D2 -- H1: 3 opções: escolho M H2 -- duas opções: escolho F. Assim, para d3, sobra apenas 2 opções Q, o q não pode ocorrer. Parece que realmente há um erro no gabarito. Veja que a árvore fornece todas as possibilidades. Como eu contei erroneamente duas vezes (conforme observou bem o rafael), a resposta parece ser mesmo 48, não? --- Joao Victor Brasil [EMAIL PROTECTED] escreveu: Estava pensando o seguinte, se D1 é segunda, D2 quarta e D3 sexta, e H1 aula de 8-9 hs e H2 aula de 11-12 hs, quantas possibilidades de matérias podemos ter por aula? D1 H1:3 matérias (MAT, FIS, QUI) H2:2 matérias (a que não foi escolhida antes) D2 H1:3 matérias (MAT, FIS, QUI, pode ser a segunda aula da semana, todas voltam) H2:2 matérias (a que não foi escolhida antes) D3 H1:2 matérias (Uma matéria já usou suas duas aulas semanais) H2:1 matérias Pelo princípio multiplicativo, teremos 3x2x3x2x2x1 = 72. Mas D1H1 pode trocar com D1H2 sem prejuízo, teremos então 72x2x2x2 (uma multiplicação para cada dia)=576. Com esse processo, contamos mais de uma vez os horários, devemos divir por 3! para corrigir nosso erro. Logo teremos 96 horários diferentes. Joao Victor Brasil On 3/19/08, Rafael Cano [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Antonio. Acho que você contou duas vezes cada horário possível. Da maneira que você fez você já tinha considerado a ordem das aulas em cada dia. A árvore de possibilidades já considera todas as formas de se preencher a primeira aula de cada dia. Por exemplo: suponha que a primeira aula de cada dia é MAT, FIS, QUI, nessa ordem, e que a segunda aula de cada dia é FIS, QUI, MAT. Mas o ramo da árvore que começa com FIS também considera que é possível formar um horário em que a primeira aula de cada dia é FIS, QUI, MAT, e a segunda aula de cada dia é MAT, FIS, QUI, ou seja, exatamente o horário anterior, mas com a ordem das matérias invertidas. Abraços - Original Message - From: Antonio Giansante [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, March 19, 2008 5:27 PM Subject: Re: [obm-l] combinatoria dificil Desculpem..depois que eu percebi: eu falei que foi pego a 1a opção, porém a ordem MAT QUI FIS é a 5a opção. --- Antonio Giansante [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá. Sempre que eu tenho dificuldades em resolver um problema de combinatória eu apelo para a árvore de possibilidades. Ficou assim(Obs: O tanso aqui fez como MAT, FIS e QUI, ao invés das disciplinas do enunciado, mas dá na mesma, ok? Desculpe pela viajada): segunda quarta sexta QUI FIS FIS MAT QUI MAT QUI FIS MAT QUI MAT FIS Dessa forma, se a 1a aula do 1o dia for FIS, tb teremos oito opçoes, e o mesmo para QUI, perfazendo um total de 24 possibilidades. Vamos analisar agora o que acontece com uma dessas escolhas. Supondo que tenhamos escolhido a primeira opção da árvore para as primeiras aulas: MAT QUI FIS Então, na segunda aula, só poderemos ter as opções FIS MAT QUI ou QUI FIS MAT. Observe que outras ordens destes não são possíveis devido à condição de nõ poder ser matérias iguais no mesmo dia. Sendo assim, temos duas opções de preenchimento das aulas da semana para cada opção da árvore. Como são 24 opções iniciais, dá um total de: 24x2=48. Entretanto, nós ainda não consideremaos o fato de que a ordem das duas aulas podem ser trocadas no dia. Assim, se começarmos a preencher as opções da segunda aula primeiro, teremos mais 48 possibildades, o que dá um total de 96 possibilidades de horário.Ou não, como diria Caetano! (posso ter errado também, ehehe). Espero ter ajudado. ABÇS 2008/3/13 Thelio Gama [EMAIL PROTECTED]: É pessoal... Achei muito difícil esta questão. Agradeço se alguém puder explicá-la. Thelio uma turma tem aulas às 2ª, 4ª e 6ª feiras, de 8-9 horas e de 11-12 horas. As matérias são portugues, matemática e ingles, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? a)96 ; b) 144 ; c)192 ; d) 6!; e) 120 Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com
Re: [obm-l] combinatoria dificil
Olá pessoal! Acredito que a solução do Salhab está correta. Seja Di o dia i e Hj o horário j. D1H1: 3 matérias D1H2: 2 matérias (para não repetir a utilizada em D1H1) D1: 6 possibilidades Para D2, se escolhermos uma já utilizada em D1 então não poderemos utilizar a outra matéria utilizada em D1, senão D3 teria as mesmas matérias. Assim, para D2 teríamos uma já utilizada (2 matérias) e uma não utilizada. Logo, 2*1 = 2. Como a ordem importa, temos 2*2 = 4. D3 só possui 2 formas, com as ordens das matérias trocadas. Total: 6*4*2 = 48. Essa é uma forma mais lógica de resolver o problema. Estive tentando utilizar combinatória e também achei a resposta 48. Sejam A,B,C as matérias. Quantas permutações diferentes existem entre A,A,B,B,C,C? Cada posição seria um horário em um dia, ou seja, D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2. Bastaria calcular o número de permutações com repetição, ou seja, 6!/(2!*2!*2!) = 720/8 = 90. Sabemos que não podemos ter uma permutação do tipo AABCBC, pois AA representa a mesma matéria em D1H1 e D1H2. Então sabemos que a resposta é menor que 90. As formas inválidas serão: Se as 3 matérias do mesmo tipo estão juntas no mesmo dia, ex: AABBCC. Existem 3! = 6 formas, considerando AA,BB,CC como 3 elementos permutados entre si. Não há necessidade de verificar quando 2 matérias estão no mesmo dia pois cai no caso acima. Quando há apenas 1 matéria repetida em 1 dia, ex: AABCBC, então temos 12 formas para cada par da mesma matéria utilizada no mesmo dia. Se AA está em D1 então D2 pode ser BC ou CB e D3 pode ser BC ou CB, 2*2 = 4. AA pode estar em D1,D2,D3. Assim, 4*3 = 12. Para BB e CC seria o mesmo, dando um total de 3*12 = 36 formas quando há apenas uma matéria que se repete no mesmo dia. Assim, o total seria 90 - (6+36) = 90 - 42 = 48 formas distintas de compor o horário Thelio, você poderia passar a fonte do problema e verificar se as respostas são essas mesmo? On 3/13/08, Thelio Gama [EMAIL PROTECTED] wrote: É pessoal... Achei muito difícil esta questão. Agradeço se alguém puder explicá-la. Thelio uma turma tem aulas às 2ª, 4ª e 6ª feiras, de 8-9 horas e de 11-12 horas. As matérias são portugues, matemática e ingles, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? a)96 ; b) 144 ; c)192 ; d) 6!; e) 120 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] combinatoria dificil
Olá. Sempre que eu tenho dificuldades em resolver um problema de combinatória eu apelo para a árvore de possibilidades. Ficou assim(Obs: O tanso aqui fez como MAT, FIS e QUI, ao invés das disciplinas do enunciado, mas dá na mesma, ok? Desculpe pela viajada): segunda quarta sexta QUI FIS FIS MAT QUI MAT QUI FIS MAT QUI MAT FIS Dessa forma, se a 1a aula do 1o dia for FIS, tb teremos oito opçoes, e o mesmo para QUI, perfazendo um total de 24 possibilidades. Vamos analisar agora o que acontece com uma dessas escolhas. Supondo que tenhamos escolhido a primeira opção da árvore para as primeiras aulas: MAT QUI FIS Então, na segunda aula, só poderemos ter as opções FIS MAT QUI ou QUI FIS MAT. Observe que outras ordens destes não são possíveis devido à condição de nõ poder ser matérias iguais no mesmo dia. Sendo assim, temos duas opções de preenchimento das aulas da semana para cada opção da árvore. Como são 24 opções iniciais, dá um total de: 24x2=48. Entretanto, nós ainda não consideremaos o fato de que a ordem das duas aulas podem ser trocadas no dia. Assim, se começarmos a preencher as opções da segunda aula primeiro, teremos mais 48 possibildades, o que dá um total de 96 possibilidades de horário.Ou não, como diria Caetano! (posso ter errado também, ehehe). Espero ter ajudado. ABÇS --- Rafael Cano [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, Salhab, eu não consegui encontrar nenhum erro na sua solução. Na verdade eu consegui resolver de outra forma e cheguei no mesmo resultado. Como nenhuma matéria pode repetir no mesmo dia então obrigatoriamente nos 3 dias os três pares têm que aparecer (vou chamar de A, B, C pra ficar mais fácil): (A,B), (B,C) e (C,A). Veja que há 3!=6 formas de escolher os pares para cada dia e em cada dia podemos inverter a ordem das matérias, ou seja, há 6 formas de escolher em qual dia fica cada par e 2 formas de organizar as matérias por dia. Logo: 6*2*2*2=48. Abraços - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, March 13, 2008 4:48 PM Subject: Re: [obm-l] combinatoria dificil Olá Thelio, Temos 3 matérias, cada uma com 2 aulas semanais em dias diferentes, e 3 dias. Para o primeiro dia, vamos escolher 2 das 3 matérias: 3*2 = 6 modos Para o segundo dia, só podemos repetir uma matéria, portanto temos: 2(devido a ordem)*2*1 = 4 modos Para o terceiro dia, as matérias já estão determinadas, temos apenas a ordem, portanto: 2 modos assim, temos: 6*4*2 = 48 modos mas não tem alternativa.. então devo ter errado. Vamos aguardar alguém me corrigir ;) abraços, Salhab 2008/3/13 Thelio Gama [EMAIL PROTECTED]: É pessoal... Achei muito difícil esta questão. Agradeço se alguém puder explicá-la. Thelio uma turma tem aulas às 2ª, 4ª e 6ª feiras, de 8-9 horas e de 11-12 horas. As matérias são portugues, matemática e ingles, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? a)96 ; b) 144 ; c)192 ; d) 6!; e) 120 Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] combinatoria dificil
Desculpem..depois que eu percebi: eu falei que foi pego a 1a opção, porém a ordem MAT QUI FIS é a 5a opção. --- Antonio Giansante [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá. Sempre que eu tenho dificuldades em resolver um problema de combinatória eu apelo para a árvore de possibilidades. Ficou assim(Obs: O tanso aqui fez como MAT, FIS e QUI, ao invés das disciplinas do enunciado, mas dá na mesma, ok? Desculpe pela viajada): segunda quarta sexta QUI FIS FIS MAT QUI MAT QUI FIS MAT QUI MAT FIS Dessa forma, se a 1a aula do 1o dia for FIS, tb teremos oito opçoes, e o mesmo para QUI, perfazendo um total de 24 possibilidades. Vamos analisar agora o que acontece com uma dessas escolhas. Supondo que tenhamos escolhido a primeira opção da árvore para as primeiras aulas: MAT QUI FIS Então, na segunda aula, só poderemos ter as opções FIS MAT QUI ou QUI FIS MAT. Observe que outras ordens destes não são possíveis devido à condição de nõ poder ser matérias iguais no mesmo dia. Sendo assim, temos duas opções de preenchimento das aulas da semana para cada opção da árvore. Como são 24 opções iniciais, dá um total de: 24x2=48. Entretanto, nós ainda não consideremaos o fato de que a ordem das duas aulas podem ser trocadas no dia. Assim, se começarmos a preencher as opções da segunda aula primeiro, teremos mais 48 possibildades, o que dá um total de 96 possibilidades de horário.Ou não, como diria Caetano! (posso ter errado também, ehehe). Espero ter ajudado. ABÇS --- Rafael Cano [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, Salhab, eu não consegui encontrar nenhum erro na sua solução. Na verdade eu consegui resolver de outra forma e cheguei no mesmo resultado. Como nenhuma matéria pode repetir no mesmo dia então obrigatoriamente nos 3 dias os três pares têm que aparecer (vou chamar de A, B, C pra ficar mais fácil): (A,B), (B,C) e (C,A). Veja que há 3!=6 formas de escolher os pares para cada dia e em cada dia podemos inverter a ordem das matérias, ou seja, há 6 formas de escolher em qual dia fica cada par e 2 formas de organizar as matérias por dia. Logo: 6*2*2*2=48. Abraços - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, March 13, 2008 4:48 PM Subject: Re: [obm-l] combinatoria dificil Olá Thelio, Temos 3 matérias, cada uma com 2 aulas semanais em dias diferentes, e 3 dias. Para o primeiro dia, vamos escolher 2 das 3 matérias: 3*2 = 6 modos Para o segundo dia, só podemos repetir uma matéria, portanto temos: 2(devido a ordem)*2*1 = 4 modos Para o terceiro dia, as matérias já estão determinadas, temos apenas a ordem, portanto: 2 modos assim, temos: 6*4*2 = 48 modos mas não tem alternativa.. então devo ter errado. Vamos aguardar alguém me corrigir ;) abraços, Salhab 2008/3/13 Thelio Gama [EMAIL PROTECTED]: É pessoal... Achei muito difícil esta questão. Agradeço se alguém puder explicá-la. Thelio uma turma tem aulas às 2ª, 4ª e 6ª feiras, de 8-9 horas e de 11-12 horas. As matérias são portugues, matemática e ingles, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? a)96 ; b) 144 ; c)192 ; d) 6!; e) 120 Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] combinatoria dificil
Olá Antonio. Acho que você contou duas vezes cada horário possível. Da maneira que você fez você já tinha considerado a ordem das aulas em cada dia. A árvore de possibilidades já considera todas as formas de se preencher a primeira aula de cada dia. Por exemplo: suponha que a primeira aula de cada dia é MAT, FIS, QUI, nessa ordem, e que a segunda aula de cada dia é FIS, QUI, MAT. Mas o ramo da árvore que começa com FIS também considera que é possível formar um horário em que a primeira aula de cada dia é FIS, QUI, MAT, e a segunda aula de cada dia é MAT, FIS, QUI, ou seja, exatamente o horário anterior, mas com a ordem das matérias invertidas. Abraços - Original Message - From: Antonio Giansante [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, March 19, 2008 5:27 PM Subject: Re: [obm-l] combinatoria dificil Desculpem..depois que eu percebi: eu falei que foi pego a 1a opção, porém a ordem MAT QUI FIS é a 5a opção. --- Antonio Giansante [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá. Sempre que eu tenho dificuldades em resolver um problema de combinatória eu apelo para a árvore de possibilidades. Ficou assim(Obs: O tanso aqui fez como MAT, FIS e QUI, ao invés das disciplinas do enunciado, mas dá na mesma, ok? Desculpe pela viajada): segunda quarta sexta QUI FIS FIS MAT QUI MAT QUI FIS MAT QUI MAT FIS Dessa forma, se a 1a aula do 1o dia for FIS, tb teremos oito opçoes, e o mesmo para QUI, perfazendo um total de 24 possibilidades. Vamos analisar agora o que acontece com uma dessas escolhas. Supondo que tenhamos escolhido a primeira opção da árvore para as primeiras aulas: MAT QUI FIS Então, na segunda aula, só poderemos ter as opções FIS MAT QUI ou QUI FIS MAT. Observe que outras ordens destes não são possíveis devido à condição de nõ poder ser matérias iguais no mesmo dia. Sendo assim, temos duas opções de preenchimento das aulas da semana para cada opção da árvore. Como são 24 opções iniciais, dá um total de: 24x2=48. Entretanto, nós ainda não consideremaos o fato de que a ordem das duas aulas podem ser trocadas no dia. Assim, se começarmos a preencher as opções da segunda aula primeiro, teremos mais 48 possibildades, o que dá um total de 96 possibilidades de horário.Ou não, como diria Caetano! (posso ter errado também, ehehe). Espero ter ajudado. ABÇS 2008/3/13 Thelio Gama [EMAIL PROTECTED]: É pessoal... Achei muito difícil esta questão. Agradeço se alguém puder explicá-la. Thelio uma turma tem aulas às 2ª, 4ª e 6ª feiras, de 8-9 horas e de 11-12 horas. As matérias são portugues, matemática e ingles, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? a)96 ; b) 144 ; c)192 ; d) 6!; e) 120 Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] combinatoria dificil
Estava pensando o seguinte, se D1 é segunda, D2 quarta e D3 sexta, e H1 aula de 8-9 hs e H2 aula de 11-12 hs, quantas possibilidades de matérias podemos ter por aula? D1 H1:3 matérias (MAT, FIS, QUI) H2:2 matérias (a que não foi escolhida antes) D2 H1:3 matérias (MAT, FIS, QUI, pode ser a segunda aula da semana, todas voltam) H2:2 matérias (a que não foi escolhida antes) D3 H1:2 matérias (Uma matéria já usou suas duas aulas semanais) H2:1 matérias Pelo princípio multiplicativo, teremos 3x2x3x2x2x1 = 72. Mas D1H1 pode trocar com D1H2 sem prejuízo, teremos então 72x2x2x2 (uma multiplicação para cada dia)=576. Com esse processo, contamos mais de uma vez os horários, devemos divir por 3! para corrigir nosso erro. Logo teremos 96 horários diferentes. Joao Victor Brasil On 3/19/08, Rafael Cano [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Antonio. Acho que você contou duas vezes cada horário possível. Da maneira que você fez você já tinha considerado a ordem das aulas em cada dia. A árvore de possibilidades já considera todas as formas de se preencher a primeira aula de cada dia. Por exemplo: suponha que a primeira aula de cada dia é MAT, FIS, QUI, nessa ordem, e que a segunda aula de cada dia é FIS, QUI, MAT. Mas o ramo da árvore que começa com FIS também considera que é possível formar um horário em que a primeira aula de cada dia é FIS, QUI, MAT, e a segunda aula de cada dia é MAT, FIS, QUI, ou seja, exatamente o horário anterior, mas com a ordem das matérias invertidas. Abraços - Original Message - From: Antonio Giansante [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, March 19, 2008 5:27 PM Subject: Re: [obm-l] combinatoria dificil Desculpem..depois que eu percebi: eu falei que foi pego a 1a opção, porém a ordem MAT QUI FIS é a 5a opção. --- Antonio Giansante [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá. Sempre que eu tenho dificuldades em resolver um problema de combinatória eu apelo para a árvore de possibilidades. Ficou assim(Obs: O tanso aqui fez como MAT, FIS e QUI, ao invés das disciplinas do enunciado, mas dá na mesma, ok? Desculpe pela viajada): segunda quarta sexta QUI FIS FIS MAT QUI MAT QUI FIS MAT QUI MAT FIS Dessa forma, se a 1a aula do 1o dia for FIS, tb teremos oito opçoes, e o mesmo para QUI, perfazendo um total de 24 possibilidades. Vamos analisar agora o que acontece com uma dessas escolhas. Supondo que tenhamos escolhido a primeira opção da árvore para as primeiras aulas: MAT QUI FIS Então, na segunda aula, só poderemos ter as opções FIS MAT QUI ou QUI FIS MAT. Observe que outras ordens destes não são possíveis devido à condição de nõ poder ser matérias iguais no mesmo dia. Sendo assim, temos duas opções de preenchimento das aulas da semana para cada opção da árvore. Como são 24 opções iniciais, dá um total de: 24x2=48. Entretanto, nós ainda não consideremaos o fato de que a ordem das duas aulas podem ser trocadas no dia. Assim, se começarmos a preencher as opções da segunda aula primeiro, teremos mais 48 possibildades, o que dá um total de 96 possibilidades de horário.Ou não, como diria Caetano! (posso ter errado também, ehehe). Espero ter ajudado. ABÇS 2008/3/13 Thelio Gama [EMAIL PROTECTED]: É pessoal... Achei muito difícil esta questão. Agradeço se alguém puder explicá-la. Thelio uma turma tem aulas às 2ª, 4ª e 6ª feiras, de 8-9 horas e de 11-12 horas. As matérias são portugues, matemática e ingles, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? a)96 ; b) 144 ; c)192 ; d) 6!; e) 120 Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para
Re: [obm-l] combinatoria dificil
Olá, Salhab, eu não consegui encontrar nenhum erro na sua solução. Na verdade eu consegui resolver de outra forma e cheguei no mesmo resultado. Como nenhuma matéria pode repetir no mesmo dia então obrigatoriamente nos 3 dias os três pares têm que aparecer (vou chamar de A, B, C pra ficar mais fácil): (A,B), (B,C) e (C,A). Veja que há 3!=6 formas de escolher os pares para cada dia e em cada dia podemos inverter a ordem das matérias, ou seja, há 6 formas de escolher em qual dia fica cada par e 2 formas de organizar as matérias por dia. Logo: 6*2*2*2=48. Abraços - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, March 13, 2008 4:48 PM Subject: Re: [obm-l] combinatoria dificil Olá Thelio, Temos 3 matérias, cada uma com 2 aulas semanais em dias diferentes, e 3 dias. Para o primeiro dia, vamos escolher 2 das 3 matérias: 3*2 = 6 modos Para o segundo dia, só podemos repetir uma matéria, portanto temos: 2(devido a ordem)*2*1 = 4 modos Para o terceiro dia, as matérias já estão determinadas, temos apenas a ordem, portanto: 2 modos assim, temos: 6*4*2 = 48 modos mas não tem alternativa.. então devo ter errado. Vamos aguardar alguém me corrigir ;) abraços, Salhab 2008/3/13 Thelio Gama [EMAIL PROTECTED]: É pessoal... Achei muito difícil esta questão. Agradeço se alguém puder explicá-la. Thelio uma turma tem aulas às 2ª, 4ª e 6ª feiras, de 8-9 horas e de 11-12 horas. As matérias são portugues, matemática e ingles, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? a)96 ; b) 144 ; c)192 ; d) 6!; e) 120
