Re: [obm-l] conjectura sobre colinearidade
Quero sair da lista
Enviado via iPhone
Em 29/05/2012, às 19:10, Luís Lopes qed_te...@hotmail.com escreveu:
Sauda,c~oes,
Retomo uma (muito) velha mensagem.
Continuo ao final das mensagens (nada como um
bom sistema de arquivamento).
O Claudio Buffara ainda acessa a lista?
-Mensagem Original-
De: Claudio Buffara claudio.buff...@terra.com.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviada em: sábado, 6 de março de 2004 01:42
Assunto: Re: [obm-l] conjectura sobre colinearidade
Sauda,c~oes,
Seja dado o triangulo AP_0Q_0 .
Em AP_0 e AQ_0 marcamos P_0Q_i,
e Q_0P_i tais que P_0Q_i = Q_0P_i = m_i,
i = 1,2, e m_i m_{i+1} (todos diferentes
entre si). Unimos P_0P_i e Q_0Q_i,
obtendo a interseção R_i.
Conjectura: os R_i são colineares.
Como provar? Qual a teoria que suporta
tal resultado? Teorema de Desargue?
Se a conjectura vira um teorema, temos
uma solução para os problemas
A,a+b,a-c e A,a-b,a-c.
Typo: A,a+b,a+c e A,a-b,a-c.
[]'s
Luís
Oi, Luis:
A conjectura eh verdadeira. Veja a seguir...
Considere o triangulo APQ e vetores unitarios u e v
nas direcoes PA e QA, respectivamente. Se |PA| = b e
|QA| = c, entao teremos que o vetor PQ serah bu - cv.
Sejam Q' sobre AP e P' sobre AQ tais que |PQ'| = |QP'| = m.
Entao, PQ' = mu e QP' = mv.
PP' = bu - cv + mv = bu + (m-c)v
QQ' = mu - (bu - cv) = (m-b)u + cv
Interseccao de PP' e QQ' == existem x e y reais tais que:
R = PQ + x*QQ' = y*PP' ==
bu - cv + x*((m-b)u + cv) = y*(bu + (m-c)v) ==
(b + (m-b)x - by)u + (-c + cx - (m-c)y)v = 0
Como o triangulo APQ eh nao degenerado, u e v sao L.I.
Assim:
(m-b)x - by = -b
cx - (m-c)y = c
Resolvendo este sistema, obtemos:
x = b/(b+c-m) e y = c/(b+c-m)
O ponto de interseccao serah:
R = y*PP' = c(bu + (m-c)v)/(b+c-m)
dR/dm = bc(u + v)/(b+c-m) = multiplo de um
vetor constante (u + v) == ao se variar m,
R percorre uma linha reta == CQD
Um abraco,
Claudio.
Tudo muito bem. Hoje sei (ver a mensagem de 08/03/04)
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200403/msg00294.html
que a conjectura é verdadeira usando feixes anarmônicos,
razões anarmônicas (cross-ratios), raios homólogos
e feixes perspectivos.
Tudo isso é geometria projetiva com uma abordagem cearense.
A reta suporte dos pontos R (interseção de raios homólogos)
é o eixo da perspectiva.
Ou da homologia. E o vértice A, o centro da homologia.
Acompanhei a demonstração do Buffara e acho que tá
tudo ok. Ou quase.
Empaquei aqui.
O ponto de interseccao serah:
R = y*PP' = c(bu + (m-c)v)/(b+c-m)
Ok. Então R=f(m), como esperado.
dR/dm = bc(u + v)/(b+c-m) = multiplo de um
vetor constante (u + v) == ao se variar m,
R percorre uma linha reta == CQD
Não seria dR/dm = bc(u + v)/(b+c-m)^2 ??
E como R percorre uma linha reta?
dR/dm = k(u+v) múltiplo de um vetor constante
(u+v). Onde k=bc/(b+c-m)^2.
Para R percorrer uma reta, k não teria que ser
independente de m também???
Gostaria de comentários, correção, confirmação
sobre o final da mensagem do Buffara.
Obrigado.
Luís
Re: [obm-l] conjectura sobre colinearidade
Sauda,c~oes,
Oi Claudio,
Vc escreveu num outro email:
===
Acho que, se a conjectura for verdadeira, a demonstracao nao deve sair via
geometria projetiva, pois ela envolve comprimentos fixos, que nao se mantem
apos uma transformacao projetiva.
===
Gostei da prova abaixo. Obrigado.
Na verdade eu sabia que a conjectura era
verdadeira mas procurava uma demonstracao
ou comentários via geometria projetiva.
Esta reta aparece na tradução do alemão pro
inglês de uma solução pro problema construir
o triângulo ABC dados A,a+b,a+c.
.. The first place of the point O is therefore the
arc of the circle with the segment HK
(o meu P_0Q_0) and the angle omega (arco
capaz de 90+A/2 sobre o segmento P_0Q_0).
Let we now two points P and Q running on the lines HA and KA such that
always KQ=HP we describe two projective point series and the half lines KP
and HQ produce two projective pencils of lines. Since the connencting line
HK of the centers K and H of the two pencils contain two homological lines
the pencils are perspective. I.e. the intersection of any two homological
lines KP and HQ lies on one line, the axis of perspectivity.
The second place of the point O (the intersection of homological lines KA
and HB) is this axis of perspectivity.
To get easely this axis we construct M on HA
by HM=KA and N on KA by KN=HA.
Then MN is the axis of perspectivity. After O is determined by the
intersection of the two places, we find B resp. C as intersection of AH and
KO resp. AK and HO.
[My remark: Best greetings Gerd Baron]
Gostaria de uma referência onde pudesse
aprender sobre o que está escrito (homological
lines, the axis of perspectivity etc).
Alguma Eureka já tocou neste assunto?
[]'s
Luis
-Mensagem Original-
De: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: sábado, 6 de março de 2004 01:42
Assunto: Re: [obm-l] conjectura sobre colinearidade
Sauda,c~oes,
Seja dado o triangulo AP_0Q_0 .
Em AP_0 e AQ_0 marcamos P_0Q_i,
e Q_0P_i tais que P_0Q_i = Q_0P_i = m_i,
i = 1,2, e m_i m_{i+1} (todos diferentes
entre si). Unimos P_0P_i e Q_0Q_i,
obtendo a interseção R_i.
Conjectura: os R_i são colineares.
Como provar? Qual a teoria que suporta
tal resultado? Teorema de Desargue?
Se a conjectura vira um teorema, temos
uma solução para os problemas
A,a+b,a-c e A,a-b,a-c.
[]'s
Luís
Oi, Luis:
A conjectura eh verdadeira. Veja a seguir...
Considere o triangulo APQ e vetores unitarios u e v nas direcoes PA e QA,
respectivamente. Se |PA| = b e |QA| = c, entao teremos que o vetor PQ
serah
bu - cv.
Sejam Q' sobre AP e P' sobre AQ tais que |PQ'| = |QP'| = m.
Entao, PQ' = mu e QP' = mv.
PP' = bu - cv + mv = bu + (m-c)v
QQ' = mu - (bu - cv) = (m-b)u + cv
Interseccao de PP' e QQ' == existem x e y reais tais que:
R = PQ + x*QQ' = y*PP' ==
bu - cv + x*((m-b)u + cv) = y*(bu + (m-c)v) ==
(b + (m-b)x - by)u + (-c + cx - (m-c)y)v = 0
Como o triangulo APQ eh nao degenerado, u e v sao L.I.
Assim:
(m-b)x - by = -b
cx - (m-c)y = c
Resolvendo este sistema, obtemos:
x = b/(b+c-m) e y = c/(b+c-m)
O ponto de interseccao serah:
R = y*PP' = c(bu + (m-c)v)/(b+c-m)
dR/dm = bc(u + v)/(b+c-m) = multiplo de um vetor constante (u + v) ==
ao se variar m, R percorre uma linha reta == CQD
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] conjectura sobre colinearidade
Que problemas sao esses?
Eu nao entendi nada?Luis Lopes [EMAIL PROTECTED] wrote:
Sauda,c~oes,Seja dado o triangulo AP_0Q_0 .Em AP_0 e AQ_0 marcamos P_0Q_i,e Q_0P_i tais que P_0Q_i = Q_0P_i = m_i,i = 1,2, e m_i m_{i+1} (todos diferentesentre si). Unimos P_0P_i e Q_0Q_i,obtendo a interseção R_i.Conjectura: os R_i são colineares.Como provar? Qual a teoria que suportatal resultado? Teorema de Desargue?Se a conjectura vira um teorema, temosuma solução para os problemasA,a+b,a-c e A,a-b,a-c.[]'sLuís=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] conjectura sobre colinearidade
Sauda,c~oes, Olah Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Dou a mão à palmatória: não disse o que são os problemas!!! Se a conjectura vira um teorema, temosuma solução para os problemasA,a+b,a-c e A,a-b,a-c. Construir um triângulo ABC dados o vértice A (medida do ângulo A), e a soma (diferença)dos lados a,b; a,c. []'s Luis -Mensagem Original- De: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: sexta-feira, 5 de março de 2004 14:59 Assunto: Re: [obm-l] conjectura sobre colinearidade Que problemas sao esses? Eu nao entendi nada?
Re: [obm-l] conjectura sobre colinearidade
on 05.03.04 12:06, Luis Lopes at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Sauda,c~oes,
Seja dado o triangulo AP_0Q_0 .
Em AP_0 e AQ_0 marcamos P_0Q_i,
e Q_0P_i tais que P_0Q_i = Q_0P_i = m_i,
i = 1,2, e m_i m_{i+1} (todos diferentes
entre si). Unimos P_0P_i e Q_0Q_i,
obtendo a interseção R_i.
Conjectura: os R_i são colineares.
Como provar? Qual a teoria que suporta
tal resultado? Teorema de Desargue?
Se a conjectura vira um teorema, temos
uma solução para os problemas
A,a+b,a-c e A,a-b,a-c.
[]'s
Luís
Oi, Luis:
Acho que, se a conjectura for verdadeira, a demonstracao nao deve sair via
geometria projetiva, pois ela envolve comprimentos fixos, que nao se mantem
apos uma transformacao projetiva.
Voce testou esta conjectura (empiricamente, com papel, lapis, regua e
compasso) para AP_0Q_0 nao isosceles?
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] conjectura sobre colinearidade
Se for possivel fazer alguns ajustes na Projetiva, usando harmonicos, talvez
saia.
Por favor alguem mande um desenho?Eu nao entendi esse problema
-- Mensagem original --
on 05.03.04 12:06, Luis Lopes at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Sauda,c~oes,
Seja dado o triangulo AP_0Q_0 .
Em AP_0 e AQ_0 marcamos P_0Q_i,
e Q_0P_i tais que P_0Q_i = Q_0P_i = m_i,
i = 1,2, e m_i m_{i+1} (todos diferentes
entre si). Unimos P_0P_i e Q_0Q_i,
obtendo a interseção R_i.
Conjectura: os R_i são colineares.
Como provar? Qual a teoria que suporta
tal resultado? Teorema de Desargue?
Se a conjectura vira um teorema, temos
uma solução para os problemas
A,a+b,a-c e A,a-b,a-c.
[]'s
Luís
Oi, Luis:
Acho que, se a conjectura for verdadeira, a demonstracao nao deve sair
via
geometria projetiva, pois ela envolve comprimentos fixos, que nao se mantem
apos uma transformacao projetiva.
Voce testou esta conjectura (empiricamente, com papel, lapis, regua e
compasso) para AP_0Q_0 nao isosceles?
Um abraco,
Claudio.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] conjectura sobre colinearidade
on 05.03.04 12:06, Luis Lopes at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Sauda,c~oes,
Seja dado o triangulo AP_0Q_0 .
Em AP_0 e AQ_0 marcamos P_0Q_i,
e Q_0P_i tais que P_0Q_i = Q_0P_i = m_i,
i = 1,2, e m_i m_{i+1} (todos diferentes
entre si). Unimos P_0P_i e Q_0Q_i,
obtendo a interseção R_i.
Conjectura: os R_i são colineares.
Como provar? Qual a teoria que suporta
tal resultado? Teorema de Desargue?
Se a conjectura vira um teorema, temos
uma solução para os problemas
A,a+b,a-c e A,a-b,a-c.
[]'s
Luís
Oi, Luis:
A conjectura eh verdadeira. Veja a seguir...
Considere o triangulo APQ e vetores unitarios u e v nas direcoes PA e QA,
respectivamente. Se |PA| = b e |QA| = c, entao teremos que o vetor PQ serah
bu - cv.
Sejam Q' sobre AP e P' sobre AQ tais que |PQ'| = |QP'| = m.
Entao, PQ' = mu e QP' = mv.
PP' = bu - cv + mv = bu + (m-c)v
QQ' = mu - (bu - cv) = (m-b)u + cv
Interseccao de PP' e QQ' == existem x e y reais tais que:
R = PQ + x*QQ' = y*PP' ==
bu - cv + x*((m-b)u + cv) = y*(bu + (m-c)v) ==
(b + (m-b)x - by)u + (-c + cx - (m-c)y)v = 0
Como o triangulo APQ eh nao degenerado, u e v sao L.I.
Assim:
(m-b)x - by = -b
cx - (m-c)y = c
Resolvendo este sistema, obtemos:
x = b/(b+c-m) e y = c/(b+c-m)
O ponto de interseccao serah:
R = y*PP' = c(bu + (m-c)v)/(b+c-m)
dR/dm = bc(u + v)/(b+c-m) = multiplo de um vetor constante (u + v) ==
ao se variar m, R percorre uma linha reta == CQD
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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