Re: [obm-l] Conjuntos
Boa tarde!
Vou considerar 3 números mesmo.
3, 3, 3 é um número só repetido três vezes.
Os três números obrigatoriamente estarão em P.A. Então usando a menor razão
r <>0;
temos r=1
{1,2,3} {2,3,4}...{2020, 2021, 2022}
{2021, 2022, 2023} temos 2021 conjuntos para r=1.
É fácil observar que para r=2 o último
conjunto será {2019, 2021, 2023} assim sendo teremos 2019 conjuntos.
E a cada unidade que aumentamos em r diminuímos em 2 o número de conjuntos
Até que chegaremos a um conjunto apenas. {1, 1012, 2023}
Logo o número de conjuntos N será a soma de:
N= 1 + 3 +5+..2019+2021, que é uma PA de razão 2.
seja n o número de termos da PA
n=(2021-1)/2+1=1011
N=(1+2021)*1011/2=1.022.121
Cordialmente,
PJMS
Em ter., 8 de ago. de 2023 19:53, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
> mande uma vez somente.
>
> Em ter, 8 de ago de 2023 12:33, Jamil Silva
> escreveu:
>
>> Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a
>> 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Conjuntos
mande uma vez somente. Em ter, 8 de ago de 2023 12:33, Jamil Silva escreveu: > Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a > 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Conjuntos
10% Em 26/09/2021 3:47, marcone augusto araújo borges escreveu: > Uma pessoa cética em relação às boas intenções da humanidade acredita que 70% > dos homens são violentos, 70% são desonestos e 70% são intolerantes. Se essa > pessoa estiver certa, em uma amostra ideal de 100 homens, quantos são, no > mínimo, simultaneamente desonestos, violentos e intolerantes? > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos não enumeráveis
Em seg., 15 de jun. de 2020 às 23:31, Israel Meireles Chrisostomo escreveu: > > usa a bijeção da tangente no intervalo 0 a pi sobre 2 Sim, e o que isso implica? Que a tangente mapeia esse intervalo nos reais, logo ambos terão o mesmo tamanho - mas onde você demonstrou que um desses não é enumerável? No máximo você demonstrou que um certo conjunto tem bijeção com um subconjunto de si mesmo - que é meio que uma definição de infinito. > > Em seg., 15 de jun. de 2020 às 21:38, Anderson Torres > escreveu: >> >> Não entendi a última parte. >> >> Em dom., 14 de jun. de 2020 à s 18:24, Israel Meireles Chrisostomo >> escreveu: >> > >> > >> > https://www.overleaf.com/read/cwxhsnctfxcf >> > Nesse link eu demostro trigonmetricamente que o conjunto dos irracionais >> > é não enumerável. >> > -- >> > Israel Meireles Chrisostomo >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = > > > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos não enumeráveis
usa a bijeção da tangente no intervalo 0 a pi sobre 2 Em seg., 15 de jun. de 2020 às 21:38, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Não entendi a última parte. > > Em dom., 14 de jun. de 2020 à s 18:24, Israel Meireles Chrisostomo > escreveu: > > > > > > https://www.overleaf.com/read/cwxhsnctfxcf > > Nesse link eu demostro trigonmetricamente que o conjunto dos irracionais > é não enumerável. > > -- > > Israel Meireles Chrisostomo > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos não enumeráveis
Não entendi a última parte. Em dom., 14 de jun. de 2020 às 18:24, Israel Meireles Chrisostomo escreveu: > > > https://www.overleaf.com/read/cwxhsnctfxcf > Nesse link eu demostro trigonmetricamente que o conjunto dos irracionais é > não enumerável. > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos
Matheus, como não pensei nisso?
hehehehe
Muito obrigado, bela solução!
Em sáb., 28 de mar. de 2020 às 10:48, Matheus Henrique <
matheushss2...@gmail.com> escreveu:
> Note que a soma dos elementos do conjunto é igual a 30*31/2=465
> 465-232=233,
> Denotemos por A um subconjunto de {1,2,3...30} e por A' os complemento
> desse subconjunto,isto é,os elementos que não fazem parte de A.
> Chamemos S(A) a soma dos elementos do conjunto A.
> É fácil ver que S(A)+S(A')=435.
> Mas se S(A)>232,logo,S(A')<=232,desse maneira,para conjunto o qual
> S(A)>232,existe um conjunto A',tal que S(A')<=232.
> Conclue-se assim, que o número de elementos que satisfazem o enunciado é
> igual à metade do total de subconjuntos,como existem 2^30 subconjuntos,há
> 2^29 conjuntos que satisfazem o enunciado.
>
> Em sáb., 28 de mar. de 2020 às 07:42, Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> escreveu:
>
>> Bom dia, pessoal!
>> Alguém teria uma ideia bacana para esse problema?
>> Muito obrigado!
>>
>> *Quantos subconjuntos do conjunto {1, 2, 3, ..., 30} têm a propriedade de
>> que a soma de seus elementos seja maior do que 232?*
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Conjuntos
Note que a soma dos elementos do conjunto é igual a 30*31/2=465
465-232=233,
Denotemos por A um subconjunto de {1,2,3...30} e por A' os complemento
desse subconjunto,isto é,os elementos que não fazem parte de A.
Chamemos S(A) a soma dos elementos do conjunto A.
É fácil ver que S(A)+S(A')=435.
Mas se S(A)>232,logo,S(A')<=232,desse maneira,para conjunto o qual
S(A)>232,existe um conjunto A',tal que S(A')<=232.
Conclue-se assim, que o número de elementos que satisfazem o enunciado é
igual à metade do total de subconjuntos,como existem 2^30 subconjuntos,há
2^29 conjuntos que satisfazem o enunciado.
Em sáb., 28 de mar. de 2020 às 07:42, Vanderlei Nemitz <
vanderma...@gmail.com> escreveu:
> Bom dia, pessoal!
> Alguém teria uma ideia bacana para esse problema?
> Muito obrigado!
>
> *Quantos subconjuntos do conjunto {1, 2, 3, ..., 30} têm a propriedade de
> que a soma de seus elementos seja maior do que 232?*
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Conjuntos
Vou escrever n(A)=a e n(B)=b para facilitar. Voce sabe que n(P(A))=2^a e n(P(B))=2^b, sim? Como A e B sao disjuntos, entao P(A) e P(B) sao disjuntos EXCETO pelo conjunto vazio que aparece em ambos. Assim: n(P(A) U P(B))=n(P(A)) + n(P(B)) - 1 = 2^a+2^b-1 Juntando tudo, temos: 2^a+2^b=2^(a+b) 2^(a+b)-2^a-2^b=0 (2^a-1)(2^b-1)=1 Como sao inteiros: 2^a-1=2^b-1=1 (pois -1 cada nao seria possivel) a=b=1 a-b=0 Ou seja, se eu nao errei bobagem, a resposta eh (a). On Sat, Aug 3, 2019 at 5:07 PM Joao Breno wrote: > Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não vazios, tais que > n(P(A) ∪ P(B)) + 1 = n(P(A∪B)). Então, a diferença n(A) - n(B) pode assumir: > > a)um unico valor > > b)dois valores distintos > > c)tres valores distintos > > d)quatro valores distintos > > e)mais que quatro valores distintos > > OBS: P(A) é o conjunto de partes de A. > > Alquem pode me ajudar nessa questao? > Att. Breno. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Conjuntos
E ae Marcus. Considera pelo diagrama os conjuntos A e B. Ficando com: x para quem so foi ao A. y para quem so foi ao B. z para a interseçao entre A e B. Se pelo menos 48 foram a um deles, entao sera a soma de todas as regioes ja que x, y e z foram no minimo em um dos museus. Logo: x mais y mais z igual a 48 Se 20 porcento foram ao A e tbm ao B essa regiao significa a interseçao entre os conjuntos = z Logo: z igual a 20 porcento de x mais z (numero dos que foram ao A). Se 25 porcento foram em B e tbm emA. z igual a 25 porcento de z mais y. Ficando com o sistema. x+y+z=48 z=20/100(x+z) z=25/100(z+y) abraço. Felipe Araujo Costa E-mail: faraujoco...@yahoo.com.br faco...@metalmat.ufrj.br De: Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues marcusaureli...@globo.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Segunda-feira, 16 de Abril de 2012 11:37 Assunto: [obm-l] Conjuntos Um grupo de alunos foi visitar dois museus. Sabe-se que 48 foram pelo menos ao um deles, e que 20% que foram ao museu A também foram ao B, e que 25% dos que foram ao B foram também ao A. Quantos foram aos dois museus. -- Prof Marcus
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil
2011/4/2 Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe: Oi Samuel, Na verdade não entendo muito de este tema, e queria te perguntar se os círculos no plano são subconjuntos compactos do plano? Sim, círculos são subconjuntos compactos do plano. Se for assim, se me ocurre um exemplo onde não é verdade: h(A,C) = h(A,B) + h(B,C) suponha que tem tres círculos com os centros colineales (na mesma reta). Nesse caso a distancia entre os mais afastados é maior que a soma das distancias entre eles e o terceiro: h(A,C) h(A,B) + h(B,C) Isso está certo ou o exemplo não tem nada a ver com o que se quer demostrar? Eu não entendi o seu exemplo... Você pode dar os centros dos círculos (três pontos numa reta) e os respectivos raios? E ajudaria a mim e o Samuel se você calculasse explicitamente quanto valem cada um dos h(A,B), h(B,C) e h(A,C). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil
Oi Samuel e Bernardo, desculpem , acho que eu tinha entendido mal o conceito de distância. Só para conferir Se tenho dos círculos de radio 1, e os centros etão ém (0,0) e (0,3), então a distância entre eles seria: 5, isso é correto? Acho que eu tinha interpretado errado e achava que distância nesse exemplo é 1. Agradeço sua explicação Abraços Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Mon, 4 Apr 2011 14:28:00 +0200 Asunto : [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil 2011/4/2 Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe: Oi Samuel, Na verdade não entendo muito de este tema, e queria te perguntar se os círculos no plano são subconjuntos compactos do plano? Sim, círculos são subconjuntos compactos do plano. Se for assim, se me ocurre um exemplo onde não é verdade: h(A,C) = h(A,B) + h(B,C) suponha que tem tres círculos com os centros colineales (na mesma reta). Nesse caso a distancia entre os mais afastados é maior que a soma das distancias entre eles e o terceiro: h(A,C) h(A,B) + h(B,C) Isso está certo ou o exemplo não tem nada a ver com o que se quer demostrar? Eu não entendi o seu exemplo... Você pode dar os centros dos círculos (três pontos numa reta) e os respectivos raios? E ajudaria a mim e o Samuel se você calculasse explicitamente quanto valem cada um dos h(A,B), h(B,C) e h(A,C). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil
2011/4/4 Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe:
Oi Samuel e Bernardo, desculpem , acho que eu tinha entendido mal o conceito
de
distância.
Oi Julio,
Só para conferir
Se tenho dos círculos de radio 1, e os centros etão ém (0,0) e (0,3), então a
distância entre eles seria: 5, isso é correto?
Acho que eu tinha interpretado errado e achava que distância nesse exemplo é
1.
Vamos lá, com calma. A definição, pra começar:
h(A,B) = inf { r , para cada x em A, existe y em B tq d(x,y) r e
para cada y em B, existe x em A tq d(x,y) r}
Ou seja, para todo ponto a de A, você tem um ponto b_a (ou seja, que
pode mudar em função de a) em B a distância menor ou igual a h(A,B) (o
problema do inf é que muda os quantificadores), e o mesmo com b em B,
e um ponto a_b em A. (Aqui, você usa que os conjuntos são compactos
para garantir a desigualdade no limite). O melhor é separar a
definição em distância de A até B e distância de B até A, cada uma
sendo uma das metades, e ver que como a gente exige que o r valha
para os dois, então temos que h(A,B) é o máximo dessas duas distâncias
(que não são simétricas, por isso que a gente não as usa)
Se você tem o seu círculo em (0,0) de raio 1 (ele é o meu A), o ponto
mais longe do outro círculo (o B) é (-1,0), mas para todo r 3
existe um ponto (o (2,0) para ser mais exato) que está a uma distância
menor do que r de (-1,0). Os outros pontos (a,b) têm pontos (a+3,b)
correspondentes no outro círculo também, de forma que a distância de
A até B é 3. Como a figura é simétrica, a distância (tal como
definida pelo Samuel) é 3.
Para dar um exemplo um pouco mais interessante, veja que se A =
segmento [0,1] e B = segmento [2,20], a distância de A até B como eu
defini é 2 porque todo ponto em A está a uma distância = a 2 do
[2,20]. Por outro lado, a distância de B até A é 19, porque o ponto
20 está a uma distância de 19 do 1, que é o ponto mais próximo do A.
Agora, de volta ao problema:
Uma forma interessante de ver essa definição da h(A,B) é a seguinte:
defina a distância entre x e A (um conjunto) como a menor distância
entre x e um ponto de A, ou seja, d(x, A) = inf{ d(x,a) / a pertence a
A}. Note que essa distância é sempre realizada quando A é um conjunto
fechado, porque você pode pegar uma seqüência decrescente de
distâncias, e os pontos que as realizam formam uma seqüência em A,
logo qualquer limite está em A, e porque elas estão a uma distância
constante, isso dá um compacto, donde você pode extrair uma
subseqüência.
Agora, defina d(A - B) = sup{ d(a,B) / a pertence a A} = distância
de A até B, e h(A,B) = max{d(A - B), d(B - A)}. Isso quer dizer que
B inter {vizinhança de espessura r h(A,B) em volta de A} é não vazio
para todo r, e reciprocamente em A e B. Repare que não é o mesmo que
pedir que B esteja contido na bola em volta de A de raio r. (bola
em volta de A = vizinhança de espessura r = conjunto dos pontos cuja
distância a A é menor do que r).
Agora, para concluir o problema, vai uma dica: use a desigualdade
triangular original, mais o fato que h(A,B) r te dá um ponto em B
para cada ponto de A, e o mesmo para h(B,C) s para fazer pontos em
C. E depois dê uma jogada de epsilon/2 e pode partir pro abraço.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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[obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil
Oi Samuel,
Na verdade não entendo muito de este tema, e queria te perguntar se os círculos
no plano são subconjuntos compactos do plano?
Se for assim, se me ocurre um exemplo onde não é verdade:
h(A,C) = h(A,B) + h(B,C)
suponha que tem tres círculos com os centros colineales (na mesma reta). Nesse
caso a distancia entre os mais afastados é maior que a soma das distancias entre
eles e o terceiro: h(A,C) h(A,B) + h(B,C)
Isso está certo ou o exemplo não tem nada a ver com o que se quer demostrar?
Obrigado
Julio Saldaña
-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Sat, 2 Apr 2011 00:58:01 +
Asunto : [obm-l] conjuntos, difícil
Seja (M,d) um espaço métrico. Denote por K(M) ao conj. de todos os subconj.
Compactos de M e defina a distância por:
h(A,B) = inf { r , para cada x em A, existe y em B tq d(x,y) r e para cada y
em B, existe x em A tq d(x,y) r}
Provar que (K(M) é espaço métrico).
i) h(A,B) = h(B,A) (consegui fazer).
ii) h(A,B) 0 se A B e h(A,A) = 0 (aqui usei o fato de de os conj serem
compactos em um espaço métrico, então Hausdorff, portanto esses conj são fech.)
esse item também consegui fazer.
Agora vem o problemático (para mim)
iii) h(A,C) = h(A,B) + h(B,C) para todos A,B,C pertencenta à K(M).
Queria pedir um socorro nesta última afirmação, não estou conseguindo fazer.
Obrigado.
__
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[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos Enumeráveis
A ideia não é difícil, e o mais importante é o caso 2: X x Yé enumerável se X,Y são. Faz assim: os elementos de X são x1,x2,... e os de Y são y1,y2,y3... (ambos são enumeráveis, então eu posso colocar índices) Então podemos fazer assim: Para cada natural N = 1,2,3,4,5... liste os pares (xi,yj) tal que i+j=N Teremos algo assim: (x1,y1) (x1,y2),(x2,y1) (x1,y3),(x2,y2),(x3,y1) E por aí vai... Aí, basta aplicar o caso n=2 fazendo X=A1 x A2 x ... x An e Y=A(n+1) Sem indução é mais fácil ainda: basta utilizar o algoritmo acima. Em 30/10/10, Luiz Neto Netouizn...@yahoo.com.br escreveu: Sejam A1,An conjuntos enumeráveis, então A1xxAn é enumerável(Use Indução) -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Quadrinhos, histórioas e afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Um pouco sobre elétrons em movimento http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos
Na verdade ele pede pra achar o ínfimo, supremo, máximo e mínimo. Vou
postar aqui o exercício:
http://files.myopera.com/epaduel/tmp/ex-calc1.jpg
2010/3/7 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com:
2010/3/7 Emanuel Valente emanuelvale...@gmail.com:
Pessoal, vocês poderiam explicitar quais são esses dois conjuntos? Tá
complicado traduzir essa notação!
http://files.myopera.com/epaduel/tmp/tmp11.jpg (não é vírus, podem clicar!)
Acho que você poderia ter escrito direto aqui esses dois conjuntos,
não tem nada de muito especial !
Vou tentar fazer o primeiro, mas acho que o importante é você
construir passo a passo o que a definição dos conjuntos diz.
A = {x real tal que |x| = m + 1/n, para m e n inteiros estritamente positivos}
Repare que já de ter trocado a notação matemática por palavras é um
passo importante.
1) Note que A é simétrico, ou seja, se x está em A, -x também.
2) Note que A é a reunião de todos os A_m, onde A_m = {x real tal que
|x| = m + 1/n, para n = 1,2,3, ...}
3) Escreva explicitamente os termos positivos do A_1 (ajuda muito!): 1
+ 1, 1 + 1/2, 1 + 1/3, 1 + 1/4, ...
4) Portanto, o A_1 é {1 + 1/N} união {-1 - 1/N}
5) Os A_m são apenas translações do A_1 (mas em sentidos diferentes
para os positivos e negativos, parar continuar simétrico)
--
Emanuel
O que eu acho mais estranho o que se pede para esses conjuntos. É
realmente explicite ? Acho muito difícil você ser mais explícito do
que as definições dadas. Não é algo do tipo calcule a aderência ?
Nesse caso, é muito útil você separar em A_m (ou A_n) para fazer por
partes (mas atenção, tem que provar que você não perdeu nenhum
ponto de aderência de todos os A_m)
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
--
Emanuel Valente
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjuntos
2010/3/7 Emanuel Valente emanuelvale...@gmail.com:
Pessoal, vocês poderiam explicitar quais são esses dois conjuntos? Tá
complicado traduzir essa notação!
http://files.myopera.com/epaduel/tmp/tmp11.jpg (não é vírus, podem clicar!)
Acho que você poderia ter escrito direto aqui esses dois conjuntos,
não tem nada de muito especial !
Vou tentar fazer o primeiro, mas acho que o importante é você
construir passo a passo o que a definição dos conjuntos diz.
A = {x real tal que |x| = m + 1/n, para m e n inteiros estritamente positivos}
Repare que já de ter trocado a notação matemática por palavras é um
passo importante.
1) Note que A é simétrico, ou seja, se x está em A, -x também.
2) Note que A é a reunião de todos os A_m, onde A_m = {x real tal que
|x| = m + 1/n, para n = 1,2,3, ...}
3) Escreva explicitamente os termos positivos do A_1 (ajuda muito!): 1
+ 1, 1 + 1/2, 1 + 1/3, 1 + 1/4, ...
4) Portanto, o A_1 é {1 + 1/N} união {-1 - 1/N}
5) Os A_m são apenas translações do A_1 (mas em sentidos diferentes
para os positivos e negativos, parar continuar simétrico)
--
Emanuel
O que eu acho mais estranho o que se pede para esses conjuntos. É
realmente explicite ? Acho muito difícil você ser mais explícito do
que as definições dadas. Não é algo do tipo calcule a aderência ?
Nesse caso, é muito útil você separar em A_m (ou A_n) para fazer por
partes (mas atenção, tem que provar que você não perdeu nenhum
ponto de aderência de todos os A_m)
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!
Um ótimo raciocínio E, claro que ajudou!!! Não é realmente bom o problema? Encontramos sempre problemas fáceis de conjuntos, e esse não é tão bobinho.. Abraços colegas 2009/4/3 Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com Pedro. Seja P o número de participantes em cada conferência. Então 13P/12 pessoas assistiram somente a uma conferênciae (300 - 13P/12) assistiram a mais de uma. Sabendo que as três conferências foram assistidas pelo mesmo número de pessoas, a conferência com o maior número de pessoas dentre as (300 - 13P/12) que assistiram mais de uma conferência será a terceira, que tem o menor número de pessoas que assistiram somente a ela. Assim, o número de pessoas na terceira conferência, P, será no máximo igual a P/4 + (300 - 13P/12). Resolvendo a equação: P/4 + (300 - 13P/12) = P vem P = 163,636363... Então P 163,63 e pelo fato de 13P/12 ser um número inteiro positivo, P é múltiplo de 12. Ora, o maior múltiplo de 12 menor que 163,6363.. é 156. Espero ter ajudado. Abraços. Hugo. 2009/4/2 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha bobo de conjuntos, quando de fato não é!!! Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois colabora... Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração Abraços!!! 2009/3/26 Alex pereira Bezerra alexmatematica1...@gmail.com Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura acima: P/2 + x + y + t = P P/3 + x + y + z = P P/4 + x + z + t = P Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever também: P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300 Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e arrumando, fica: x + y + t = P/2 x + y + z = 2P/3 x + z + t = 3P/4 x + y + z + t = 300 – 13P/12 Substituindo o valor de *x + y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t*= 300 – 13P/12, fica: P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12 Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t = 300 – 13P/12, fica: 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12 Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t*= 300 – 13P/12, fica: 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12 Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem: x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12 Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem: x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12 x + 600 = 49P/12 x = 49P/12 – 600 Em resumo: x = 49P/12 – 600 y = 300 – 22P/12 z = 300 – 19P/12 t = 300 – 21P/12 Ora, como x, y, z *e* t referem-se a quantidade de pessoas, serão necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x 0, y 0, z 0 *e* t 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima, sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja, para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um múltiplo de 12. Então poderemos escrever: 49P/12 – 600 0 , logo, 49P/12 600 , logo, 49P 7200 , logo, P 7200/49 e, portanto P 146,93 Analogamente, 300 – 22P/12 0 , logo, 300 22P/12 , logo, 22P/12 300 , logo, 22P 3600 e, portanto P 163,63 E, também, 300 – 19P/12 0 , logo, 300 19P/12 , logo, 19P/12 300 , logo, 19P 3600 e, portanto P 189,47 E, finalmente, 300 – 21P/12 0 , logo, 300 21P/12 , logo, 21P/12 300 , logo, 21P 3600 , e , portanto P 171,42 Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender simultaneamente às desigualdades P 146,93 e P 163,63 e P 189,47 e P 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12, maior do que 146,93 e menor do que 163,63. A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é: 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160, 161, 162 , 163. Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.
Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!
valeu Pedro é realmente uma questão atipica de conjuntos, e o tempo é um fator importante demais, e a solução do Hugo foi deveras legal. Abraços Em 02/04/09, Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com escreveu: Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha bobo de conjuntos, quando de fato não é!!! Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois colabora... Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração Abraços!!! 2009/3/26 Alex pereira Bezerra alexmatematica1...@gmail.com Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura acima: P/2 + x + y + t = P P/3 + x + y + z = P P/4 + x + z + t = P Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever também: P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300 Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e arrumando, fica: x + y + t = P/2 x + y + z = 2P/3 x + z + t = 3P/4 x + y + z + t = 300 – 13P/12 Substituindo o valor de *x + y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* = 300 – 13P/12, fica: P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12 Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t = 300 – 13P/12, fica: 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12 Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* = 300 – 13P/12, fica: 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12 Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem: x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12 Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem: x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12 x + 600 = 49P/12 x = 49P/12 – 600 Em resumo: x = 49P/12 – 600 y = 300 – 22P/12 z = 300 – 19P/12 t = 300 – 21P/12 Ora, como x, y, z *e* t referem-se a quantidade de pessoas, serão necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x 0, y 0, z 0 *e* t 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima, sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja, para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um múltiplo de 12. Então poderemos escrever: 49P/12 – 600 0 , logo, 49P/12 600 , logo, 49P 7200 , logo, P 7200/49 e, portanto P 146,93 Analogamente, 300 – 22P/12 0 , logo, 300 22P/12 , logo, 22P/12 300 , logo, 22P 3600 e, portanto P 163,63 E, também, 300 – 19P/12 0 , logo, 300 19P/12 , logo, 19P/12 300 , logo, 19P 3600 e, portanto P 189,47 E, finalmente, 300 – 21P/12 0 , logo, 300 21P/12 , logo, 21P/12 300 , logo, 21P 3600 , e , portanto P 171,42 Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender simultaneamente às desigualdades P 146,93 e P 163,63 e P 189,47 e P 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12, maior do que 146,93 e menor do que 163,63. A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é: 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160, 161, 162 , 163. Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.
Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!
Pedro. Seja P o número de participantes em cada conferência. Então 13P/12 pessoas assistiram somente a uma conferênciae (300 - 13P/12) assistiram a mais de uma. Sabendo que as três conferências foram assistidas pelo mesmo número de pessoas, a conferência com o maior número de pessoas dentre as (300 - 13P/12) que assistiram mais de uma conferência será a terceira, que tem o menor número de pessoas que assistiram somente a ela. Assim, o número de pessoas na terceira conferência, P, será no máximo igual a P/4 + (300 - 13P/12). Resolvendo a equação: P/4 + (300 - 13P/12) = P vem P = 163,636363... Então P 163,63 e pelo fato de 13P/12 ser um número inteiro positivo, P é múltiplo de 12. Ora, o maior múltiplo de 12 menor que 163,6363.. é 156. Espero ter ajudado. Abraços. Hugo. 2009/4/2 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha bobo de conjuntos, quando de fato não é!!! Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois colabora... Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração Abraços!!! 2009/3/26 Alex pereira Bezerra alexmatematica1...@gmail.com Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura acima: P/2 + x + y + t = P P/3 + x + y + z = P P/4 + x + z + t = P Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever também: P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300 Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e arrumando, fica: x + y + t = P/2 x + y + z = 2P/3 x + z + t = 3P/4 x + y + z + t = 300 – 13P/12 Substituindo o valor de *x + y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* = 300 – 13P/12, fica: P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12 Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t = 300 – 13P/12, fica: 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12 Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* = 300 – 13P/12, fica: 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12 Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem: x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12 Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem: x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12 x + 600 = 49P/12 x = 49P/12 – 600 Em resumo: x = 49P/12 – 600 y = 300 – 22P/12 z = 300 – 19P/12 t = 300 – 21P/12 Ora, como x, y, z *e* t referem-se a quantidade de pessoas, serão necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x 0, y 0, z 0 *e* t 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima, sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja, para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um múltiplo de 12. Então poderemos escrever: 49P/12 – 600 0 , logo, 49P/12 600 , logo, 49P 7200 , logo, P 7200/49 e, portanto P 146,93 Analogamente, 300 – 22P/12 0 , logo, 300 22P/12 , logo, 22P/12 300 , logo, 22P 3600 e, portanto P 163,63 E, também, 300 – 19P/12 0 , logo, 300 19P/12 , logo, 19P/12 300 , logo, 19P 3600 e, portanto P 189,47 E, finalmente, 300 – 21P/12 0 , logo, 300 21P/12 , logo, 21P/12 300 , logo, 21P 3600 , e , portanto P 171,42 Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender simultaneamente às desigualdades P 146,93 e P 163,63 e P 189,47 e P 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12, maior do que 146,93 e menor do que 163,63. A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é: 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160, 161, 162 , 163. Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.
Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!
Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha bobo de conjuntos, quando de fato não é!!! Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois colabora... Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração Abraços!!! 2009/3/26 Alex pereira Bezerra alexmatematica1...@gmail.com Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura acima: P/2 + x + y + t = P P/3 + x + y + z = P P/4 + x + z + t = P Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever também: P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300 Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e arrumando, fica: x + y + t = P/2 x + y + z = 2P/3 x + z + t = 3P/4 x + y + z + t = 300 – 13P/12 Substituindo o valor de *x + y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* = 300 – 13P/12, fica: P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12 Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t = 300 – 13P/12, fica: 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12 Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* = 300 – 13P/12, fica: 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12 Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem: x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12 Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem: x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12 x + 600 = 49P/12 x = 49P/12 – 600 Em resumo: x = 49P/12 – 600 y = 300 – 22P/12 z = 300 – 19P/12 t = 300 – 21P/12 Ora, como x, y, z *e* t referem-se a quantidade de pessoas, serão necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x 0, y 0, z 0 *e* t 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima, sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja, para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um múltiplo de 12. Então poderemos escrever: 49P/12 – 600 0 , logo, 49P/12 600 , logo, 49P 7200 , logo, P 7200/49 e, portanto P 146,93 Analogamente, 300 – 22P/12 0 , logo, 300 22P/12 , logo, 22P/12 300 , logo, 22P 3600 e, portanto P 163,63 E, também, 300 – 19P/12 0 , logo, 300 19P/12 , logo, 19P/12 300 , logo, 19P 3600 e, portanto P 189,47 E, finalmente, 300 – 21P/12 0 , logo, 300 21P/12 , logo, 21P/12 300 , logo, 21P 3600 , e , portanto P 171,42 Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender simultaneamente às desigualdades P 146,93 e P 163,63 e P 189,47 e P 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12, maior do que 146,93 e menor do que 163,63. A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é: 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160, 161, 162 , 163. Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.
Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!
Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura acima: P/2 + x + y + t = P P/3 + x + y + z = P P/4 + x + z + t = P Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever também: P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300 Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e arrumando, fica: x + y + t = P/2 x + y + z = 2P/3 x + z + t = 3P/4 x + y + z + t = 300 – 13P/12 Substituindo o valor de *x + y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* = 300 – 13P/12, fica: P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12 Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t = 300 – 13P/12, fica: 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12 Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* = 300 – 13P/12, fica: 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12 Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem: x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12 Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem: x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12 x + 600 = 49P/12 x = 49P/12 – 600 Em resumo: x = 49P/12 – 600 y = 300 – 22P/12 z = 300 – 19P/12 t = 300 – 21P/12 Ora, como x, y, z *e* t referem-se a quantidade de pessoas, serão necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x 0, y 0, z 0 *e* t 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima, sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja, para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um múltiplo de 12. Então poderemos escrever: 49P/12 – 600 0 , logo, 49P/12 600 , logo, 49P 7200 , logo, P 7200/49 e, portanto P 146,93 Analogamente, 300 – 22P/12 0 , logo, 300 22P/12 , logo, 22P/12 300 , logo, 22P 3600 e, portanto P 163,63 E, também, 300 – 19P/12 0 , logo, 300 19P/12 , logo, 19P/12 300 , logo, 19P 3600 e, portanto P 189,47 E, finalmente, 300 – 21P/12 0 , logo, 300 21P/12 , logo, 21P/12 300 , logo, 21P 3600 , e , portanto P 171,42 Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender simultaneamente às desigualdades P 146,93 e P 163,63 e P 189,47 e P 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12, maior do que 146,93 e menor do que 163,63. A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é: 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160, 161, 162 , 163. Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)
Sim, ambas as afirmações são verdadeiras, conforme a resposta do Leandro.
{ vazio } contido em P(A) == para todo elemento x de { vazio }, x pertence
a A == vazio pertence a P(A), o que é verdade, para todo conjunto A pela
definição de P(A)
vazio está contido em P(A) == para todo elemento x de vazio, x pertence a
A == verdadeira sempre, independente do que seja A (leia sobre proposições
existenciais e universais com respeito ao conjunto vazio, se esse tema te
interessar; acho que já foi discutido aqui na lista).
Quanto à notação, vc pode tb escrever (embora eu ache menos claro,
dependendo do contexto):
{ { } } contido em P(A); e
{ } contido em P(A)
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
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e^(pi*i)+1=0
2009/3/17 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br
Legal esta discussão sobre as partes de A. (No lugar do símbolo de vazio eu
escrevi vazio)
Voltando sobre a notação seria correto expressar o seguinte:
1- { vazio } está contido P(A) - esta notação entre chaves vazio está
correta ?
2- vazio está contido P(A) - ?
Abraços, Marcelo
2009/3/15 Palmerim Soares palmerimsoa...@gmail.com
Olá amigos da lista,
Realmente, é preciso sempre pensar no conjunto vazio com muito cuidado e
não esquecer que apesar de ser vazio, de não ter nada, ele existe (e pode
complicar a vida do estudante). Por exemplo, pergunte a qualquer bom aluno
(ou mesmo a um professor de matemática) se é verdadeira ou falsa a seguinte
sentença:
Se A é subconjunto de de B, então A e B não são disjuntos
Invariavelmente, a resposta é SIM, por que o raciocínio normal é ora, se
a interseção de dois conjuntos disjuntos é o conjunto vazio, então, sendo
dois conjuntos disjuntos, um não pode jamais ser subconjunto do outro.
Porém, que dizer de um conjunto A qualquer e o conjunto vazio? Pela
definição, temos que admitir que eles são disjuntos, já que a interseção
entre eles é vazia, porém o conjunto vazio é subconjunto de A ! Nesse caso,
então estaria incorreta a sentença: Se A é subconjunto de de B, então A
e B não são disjuntos. Ou seja, é perfeitamentee possível que um conjunto
seja subconjunto de outro e ainda assim, a interseção entre eles ser vazia!
Não sei porque nenhuma banca explora essa pegadinha (fica a sugestão...
:-)
Abraços
Palmerim
Palmerim
Se dois conjuntos são disjuntos, então
O conjunto vazio
2009/3/15 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com
A está contido em B == para todo elemento a de A, a pertence a B
A pertence a B == o conjunto B tem o elemento A dentro dele.
Seja A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {{1, 2, 3}}, D = {{1, 2, 3},
1, 2, 3}
Temos que A está contido em B, mas A não pertence a B.
Entretanto, A pertence a C, mas A não está contido em C.
Finalmente, A está contido em D (pois os elementos 1, 2 e 3 pertencem a
D) e também pertence a D (pois o elemento {1,2,3} = A pertence a D).
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
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e^(pi*i)+1=0
2009/3/15 Arthur Moura art_mo...@hotmail.com
Como assim possuem significados diferentes? Pode exemplificar?
Abraço,
Arthur
Date: Thu, 12 Mar 2009 00:43:23 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ambas estao corretas. Vazio estah contido em qualquer conjunto,
inclusive P(A). Vazio nao pertence a *qualquer* conjunto... mas, como
voce disse, vazio *pertence* a P(A). Ambas corretas, mas significam
coisas distintas.
Abraco,
Ralph
2009/3/11 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br:
Olá pessoal boa noite, solucionem para mim uma pequena dúvida em
conjuntos,
por favor:
Temos o conjunto A = {1,2}
Partes de A = P(A) = vazio, {1},{2},{1,2}, até aí ok.
O conjunto P(A) possui 4 subconjuntos.
Agora vem a dúvida:
A afirmação : vazio está contido em P(A) , está correta ? Não seria:
vazio
pertence a P(A) ?
Quem tiver um tempinho para dar uma explicaçãozinha nisso, agradeço,
muito.
Abraços, Marcelo.
=
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Conjuntos: Notaç ão das Partes de (A)
Como assim possuem significados diferentes? Pode exemplificar?
Abraço,
Arthur
Date: Thu, 12 Mar 2009 00:43:23 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ambas estao corretas. Vazio estah contido em qualquer conjunto,
inclusive P(A). Vazio nao pertence a *qualquer* conjunto... mas, como
voce disse, vazio *pertence* a P(A). Ambas corretas, mas significam
coisas distintas.
Abraco,
Ralph
2009/3/11 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br:
Olá pessoal boa noite, solucionem para mim uma pequena dúvida em conjuntos,
por favor:
Temos o conjunto A = {1,2}
Partes de A = P(A) = vazio, {1},{2},{1,2}, até aí ok.
O conjunto P(A) possui 4 subconjuntos.
Agora vem a dúvida:
A afirmação : vazio está contido em P(A) , está correta ? Não seria: vazio
pertence a P(A) ?
Quem tiver um tempinho para dar uma explicaçãozinha nisso, agradeço, muito.
Abraços, Marcelo.
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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Nota ção das Partes de (A)
A está contido em B == para todo elemento a de A, a pertence a B
A pertence a B == o conjunto B tem o elemento A dentro dele.
Seja A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {{1, 2, 3}}, D = {{1, 2, 3}, 1,
2, 3}
Temos que A está contido em B, mas A não pertence a B.
Entretanto, A pertence a C, mas A não está contido em C.
Finalmente, A está contido em D (pois os elementos 1, 2 e 3 pertencem a D) e
também pertence a D (pois o elemento {1,2,3} = A pertence a D).
Bruno
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2009/3/15 Arthur Moura art_mo...@hotmail.com
Como assim possuem significados diferentes? Pode exemplificar?
Abraço,
Arthur
Date: Thu, 12 Mar 2009 00:43:23 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ambas estao corretas. Vazio estah contido em qualquer conjunto,
inclusive P(A). Vazio nao pertence a *qualquer* conjunto... mas, como
voce disse, vazio *pertence* a P(A). Ambas corretas, mas significam
coisas distintas.
Abraco,
Ralph
2009/3/11 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br:
Olá pessoal boa noite, solucionem para mim uma pequena dúvida em
conjuntos,
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Temos o conjunto A = {1,2}
Partes de A = P(A) = vazio, {1},{2},{1,2}, até aí ok.
O conjunto P(A) possui 4 subconjuntos.
Agora vem a dúvida:
A afirmação : vazio está contido em P(A) , está correta ? Não seria:
vazio
pertence a P(A) ?
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muito.
Abraços, Marcelo.
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[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)
Ambas estao corretas. Vazio estah contido em qualquer conjunto,
inclusive P(A). Vazio nao pertence a *qualquer* conjunto... mas, como
voce disse, vazio *pertence* a P(A). Ambas corretas, mas significam
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Abraco,
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2009/3/11 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br:
Olá pessoal boa noite, solucionem para mim uma pequena dúvida em conjuntos,
por favor:
Temos o conjunto A = {1,2}
Partes de A = P(A) = vazio, {1},{2},{1,2}, até aí ok.
O conjunto P(A) possui 4 subconjuntos.
Agora vem a dúvida:
A afirmação : vazio está contido em P(A) , está correta ? Não seria: vazio
pertence a P(A) ?
Quem tiver um tempinho para dar uma explicaçãozinha nisso, agradeço, muito.
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[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)
Olá Marcelo, Veja bem.. em primeiro lugar, a afirmação Vazio está contido em X é verdadeira qualquer que seja o conjunto X (mesmo o próprio Vazio). A demonstração se dá por absurdo: Suponha que não. Nesse caso, deve existir então um elemento no conjunto Vazio que não está em X, o que imediatamente gera uma contradição, pois o Vazio não possui elemento algum. Em particular, o Vazio está contido nas Partes de A. Agora, nesse caso, também é verdade que ele é um elemento de P(A), pela própria definição de P(A). As duas são verdadeiras. Abraço, - Leandro.
Re: [obm-l] Conjuntos
2009/1/21 Arthur Matta Moura art_mo...@hotmail.com: Quero saber se o 0 pertence ou não pertence aos Naturais, e por que não é definido a idéia de ordem para os Complexos. O zero pertencer ou não aos naturais é mera questão técnica e os dois casos são aceitos (cada autor tem o seu preferido e um ou outro se torna mais conveniente conforme o assunto tratado). Isso acontece porque muitos conceitos da matemática são criados como uma racionalização posterior do que foi determinado antes (a axiomática de Peano que define os números naturais, por exemplo, foi criada bem depois de termos pensado a noção de número natural). Os números complexos podem ter ordem definida, mas até agora nenhuma ordem parece ser a mais natural (ou seja, uma ordem sensata que fosse análoga à ordem usual para os naturais: 0 1 2 ... ). Poderiamos tentar estabelecer que um número complexo Z seria menor que outro complexo X se e somente se o módulo de Z for menor que o módulo de X, mas isso não varia sentido por que i, 1, -i e -1 seriam tratados como o mesmo número! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Conjuntos
Olá! Apenas complementando a resposta do Lucas: O conceito de ordem (i.e., conjunto ordenado) está intrinsecamente relacionado aos conjuntos de dimensão unitária (N, Z, Q e R). Não obstante, é possível estender este conceito aos conjuntos que tenham dimensão igual a n. Aliás, foi exatamente isto que Cantor (pobre Cantor!) fez para provar que o conjunto R^n tem o mesmo número de elementos que o conjunto R: Cantor conseguiu estabelecer uma relação biunívoca entre os elementos de R e os de um conjunto de dimensão n (R^n). Formalmente, isto quer dizer que R e R^n têm a mesma cardinalidade, a qual Cantor chamou de alef1 (alef0 é cardinalidade de N). Assim, pode-se definir (definir!) a seguinte regra de ordenamento: 1] (a1, a2 ... an) é menor do que (b1, b2 ... bn) se, e somente se, a1 for menor do que b1; 2] Se a1=b1, então (a1, a2 ... an) é menor do que (b1, b2 ... bn) se, e somente se, a2 for menor do que b2; 3] Se a1=b1 e a2=b2, então (a1, a2 ... an) é menor do que (b1, b2 ... bn) se, e somente se, a3 for menor do que b3; e por aí vai... Como os números complexos podem ser definidos como o par ordenado (a, b), sendo a a parte real e b a parte imaginária, é só seguir a regra de ordenamento acima. Finalizando, lamento dizer que isto não servirá pra nada que eu conheça... Saudações, AB bousk...@msn.com -Original Message- From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Lucas Prado Melo Sent: Wednesday, January 21, 2009 1:47 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Conjuntos 2009/1/21 Arthur Matta Moura art_mo...@hotmail.com: Quero saber se o 0 pertence ou não pertence aos Naturais, e por que não é definido a idéia de ordem para os Complexos. O zero pertencer ou não aos naturais é mera questão técnica e os dois casos são aceitos (cada autor tem o seu preferido e um ou outro se torna mais conveniente conforme o assunto tratado). Isso acontece porque muitos conceitos da matemática são criados como uma racionalização posterior do que foi determinado antes (a axiomática de Peano que define os números naturais, por exemplo, foi criada bem depois de termos pensado a noção de número natural). Os números complexos podem ter ordem definida, mas até agora nenhuma ordem parece ser a mais natural (ou seja, uma ordem sensata que fosse análoga à ordem usual para os naturais: 0 1 2 ... ). Poderiamos tentar estabelecer que um número complexo Z seria menor que outro complexo X se e somente se o módulo de Z for menor que o módulo de X, mas isso não varia sentido por que i, 1, -i e -1 seriam tratados como o mesmo número! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos
Olá Arthur! 0 é natural ou não de acordo com o seu gosto. Quando se usa o conjunto N para ordenar séries é conveniente excluir o zero. Daí S1 é o primeiro termo, S2 é o segundo, S9 é o nono, etc. Do contrário, S0 seria o primeiro, S1 o segundo, S8 o nono, e assim por diante. Pra que complicar? Já há quem goste de colocar o zero em N, para ganharmos o elemento neutro da adição. Uma simples questão de gosto. Na faculdade os analistas tiravam o zero e os algebristas gostavam dele em N. Quanto à ordem em C, pode-se sim definir uma ordem para C. O que C não é ( e R é) é um corpo *ordenado*. Num corpo ordenado, entre outras coisas, o quadrado de um elemento não nulo é positivo e, como sabemos o quadrado de i é -1. E mesmo que a ordem definida faça o 1 ser negativo (para o -1 ser positivo), uma outra exigência é que em um corpo ordenado 1 é positivo e -1 é negativo. Uma contradição seja qual for a forma que você definir a ordem. No livro Meu Professor de Matemática do nosso idolatrado Elon, no capítulo Conceitos e Controvérsias ele aborda justamente a questão de quem é maior, (2+3i) ou (3+2i). Está na seção 9. Vale a pena você dar uma lida. É um ótimo livro. Um abraço! José CORINO - Original Message - From: Arthur Matta Moura To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, January 21, 2009 11:50 AM Subject: [obm-l] Conjuntos Quero saber se o 0 pertence ou não pertence aos Naturais, e por que não é definido a idéia de ordem para os Complexos. Uma explicação que eu tentei arranjar foi a seguinte: nos naturais não e definida a idéia de subtração, então não existiria o 0 que é quem divide os números simetricamente. Esta foi uma idéia que eu tive e não sei se esta correta. Ficarei feliz com melhores explicações. [],Arthur -- Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! Experimente já!
Re: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta...
Bom, a resposta à sua pergunta depende do que se entende por números na reta. Se não há definição precisa de reta numérica, não dá para discutir se todos os números dela (ela? que ela?) estão nos reais ou não. Uma solução rápida, limpa, simples e sem graça é **DEFINIR** a reta numérica como o conjunto dos números reais. Rápido, limpo e simples (mas sem graça). :) :) A boa notícia é que deste jeito a reta numérica herda todas as propriedades dos números reais, inclusive aquela de que todo conjunto numérico limitado tem um supremo. Assim, a resposta usual é garantimos que não há número, na reta, que não se enquadre no conjunto dos reais pois definimos a reta numérica como o conjunto dos reais. :P Abraço, Ralph P.S.: Por outro lado, dá para definir números surreais (veja http://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_numbers). Para trabalhar com eles, algumas propriedades antigas têm de ser descartadas (por exemplo, neles a=b e b=a não implica a=b), mas eles são bem bacanas, são uma extensão dos reais que não tem nada a ver com os complexos e o pessoal tenta pensar neles ainda numa espécie de reta, usando nuvens ao invés de pontos, incluindo uns pontos no infinito e fazendo várias outras barbáries. Por incrível que pareça, no final, tudo funciona, as construções são justificadas formalmente e estes objetos têm aplicações. 2008/3/27 Paulo - Uniredes [EMAIL PROTECTED]: Como é que sabemos que os conjuntos já conhecidos são suficientes para representar números da Reta Real ? Existe alguma prova de que eles são necessários e sufucientes ? Explico: Temos os naturais Depois estendemos o conceito para os inteiros... Depois os racionais... Depois os irracionais... Bom, que me garante que não há número, na reta, que não se enquadre em qualquer desses conjuntos ? Há algum teorema mágico que diga isso, como existe o maravilhoso Teorema de Gödel sobre a inconsistência da lógica ? []s --- Paulo C. Santos (PC) e-mail: [EMAIL PROTECTED] Homepage: http://uniredes.org Tel.: (21) 2510.8783 - Cel.: (21) 8753-0729 MS-Messenger: [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta.. .
Oi, Ralph (e Paulo), Apenas matando as suadades...um rpido comentrio: Para os aficcionados, o livro "Surreal Numbers" "quase" novelesco (com fundo matemtico, claro) do Knuth (um verdadeiro mago) e j foi traduzido para o portugus (a edio original tem mais de 30 anos - eu era quase um "pirralho" na poca :-) e ainda dava aula no IME...- ah... que saudades Ralph me lembrou...). um belo, pequeno e imperdvel livro para a maioria dos participantes desta lista. Quem ainda no leu em ingls, aproveite: eu comprei no comeo do ano uma cpia em portugus na livraria da Travessa (acho que foi uns 40 reais - mas pela Amazon em ingls naturalmente mais barato). E aproveitando a deixa do Ralph, quem for curioso tambm pode e deve dar estudar Fuzzy Sets, Fuzzy Numbers (Numeros Nebulosos, etc). Os de Engenharia Eltrica ou Computao, certamente tero contato com isto, bem como com Algoritmos Genticos... Ou seja, h muito mais coisa para se aprender do que supe a v flosofia, ou mesmo a reta (sur)real... Abraos, Nehab Ralph Teixeira escreveu: ... P.S.: Por outro lado, d para definir nmeros "surreais" (veja http://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_numbers). Para trabalhar com eles, algumas propriedades antigas tm de ser descartadas (por exemplo, neles a=b e b=a no implica a=b), mas eles so bem bacanas, so uma extenso dos reais que no tem nada a ver com os complexos e o pessoal tenta pensar neles ainda numa espcie de "reta", usando "nuvens" ao invs de "pontos", incluindo uns "pontos no infinito" e fazendo vrias outras barbries. Por incrvel que parea, no final, tudo funciona, as construes so justificadas formalmente e estes objetos tm aplicaes. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Conjuntos (básico)
Amigos da lista, preciso da ajuda de vocês na solução de um problema. Como o texto é longo, vou resumir, tomando cuidado para não modificar o enunciado. Numa pesquisa, existem três propostas. Uma pessoa pesquisada pode ser favorável a uma, duas ou todas as propostas, ou seja, as propostas não são mutuamente excludentes. No resumo, 78% são favoráveis a pelo menos uma proposta 50% são favoráveis à proposta A 30% são favoráveis à proposta B 20% são favoráveis à proposta C 5% favorável a todas as propostas Questão: quantos % são favoráveis a mais de uma proposta? O problema é do concurso público realizado pela ESAF, 2003/2004. De acordo com o gabarito, a resposta é 5%, mas achei 17%. Obrigado, Pedro Lazéra Cardoso _ Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos com até 6,000 fotos! http://www.amigosdomessenger.com.br
Re: [obm-l] Conjuntos (básico)
Olá Pedro, P(AUBUC) = 0,78 P(A)+P(B)+P(C)-P(AinterB)-P(AinterC)-P(BinterC)+P(AinterBinterC) = 0,78 do enunciado, temos que: P(A) = 0,50, P(B) = 0,30, P(C) = 0,20, P(AinterBinterC) = 0,05 então: 0,50+0,30+0,20-P(AinterB)-P(AinterC)-P(BinterC)+0,05 = 0,78 logo: 0,27-P(AinterB)-P(AinterC)-P(BinterC) = 0 logo: P(AinterB)+P(AinterC)+P(BinterC) = 0,27 nós queremos P(AinterB)+P(AinterC)+P(BinterC) - 2*P(AinterBinterC) = 0,27 - 2*0,05 = 0,17 é.. chegamos a mesma resposta! abraços, Salhab 2008/1/21 Pedro Cardoso [EMAIL PROTECTED]: Amigos da lista, preciso da ajuda de vocês na solução de um problema. Como o texto é longo, vou resumir, tomando cuidado para não modificar o enunciado. Numa pesquisa, existem três propostas. Uma pessoa pesquisada pode ser favorável a uma, duas ou todas as propostas, ou seja, as propostas não são mutuamente excludentes. No resumo, 78% são favoráveis a pelo menos uma proposta 50% são favoráveis à proposta A 30% são favoráveis à proposta B 20% são favoráveis à proposta C 5% favorável a todas as propostas Questão: quantos % são favoráveis a mais de uma proposta? O problema é do concurso público realizado pela ESAF, 2003/2004. De acordo com o gabarito, a resposta é 5%, mas achei 17%. Obrigado, Pedro Lazéra Cardoso -- Encontre o que você procura com mais eficiência! Instale já a Barra de Ferramentas com Windows Desktop Search! É GRÁTIS!http://www.windowslive.com.br
Re: [obm-l] Conjuntos finitos
ou seja, {X}-{o} e {Y}-{d}.
Desculpe. X-{o} e Y-{d}
--
Henrique
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Conjuntos finitos
No livro Introduction to Algorithms, Cormen et al, na parte que fala
sobre fluxo máximo em grafos, ele utiliza, por exemplo, f(X,Y) onde X
e Y são conjuntos de vértices do grafo e f é o somatório dos fluxos
dos vértices que partem do conjunto X para aqueles no conjunto Y.
Geralmente, em uma rede, um grafo dirigido com pesos nas arestas, na
qual se quer encontrar o fluxo máximo, define-se um vértice como a
origem e outro como destino. Caso seja necessário desconsiderar esses
vértices no cálculo do fluxo poderíamos representar por f(X-o, Y-d),
onde o e d são origem e destino, respectivamente, e X-o seria o
conjunto X sem o elemento o e Y-d o conjunto Y sem o elemento d,
ou seja, {X}-{o} e {Y}-{d}.
Esse seria um exemplo de utilizar conjuntos e somatórios em uma única
representação através de função.
On 10/29/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá Marcelo \o/
vou tentar explicar o que eu quis dizer sobre somatório em conjuntos
finitos com relação de ordem, mas primeiro vou falar sobre minha
opnião sobre o somatorio comum que aparece na matemática
costuma-se definir
somatorio k=0 até n f(k)= f(0)+...+f(n),
só que eu me sinto meio desconfortavel usando esses pontinhos, acho
meio informal, apesar que dá a idéia do que é o somatório, da uma
noção intuitiva do que acontece, porém eu prefiro não usar esse modo e
sim, definir da seguinte maneira
somatorio k=0 até n f(k)= [somatorio k=0 até n-1 f(k)] +f(n)
se n0, n natural e se n=0
somatorio k=0 até 0 f(k)=f(0)
, i,e repito o processo tirando o ultimo termo do somatorio até chegar
no termo minimo, o mesmo faço para definir somatorio com limite
inferior inteiro e superior inteiro
somatorio k=a até a+p f(k)= [somatorio k=a até a+p-1 f(k)] +f(a+p)
se p0, p natural e se p=0
somatorio k=a até a f(k)=f(a)
com a inteiro. se a inteiro então a+p=b um número inteiro maior ou igual à a
então fica definido para mim o somatorio com limites nos inteiros.
para provar alguns teoremas de somatorio me parece util definir
somatorio k=b até a f(k) =0 se ab (i.e se o limite superior é menor
que o limite inferior)
com essas definições é possivel demonstrar algumas propriedades de
somatorios como
somatorio k=a até b f(k) =somatorio k=a+p até b+p f(k-p)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=-b até -a f(-k)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=a até s f(k) +somatorio k=s+1 até b f(k)
se s=a e b=s+1. propriedade que chamo de abertura de somatorios
ela é equivalente a definição que postei acima de somatorio, a partir
de uma se prova outra e vice e versa (porém essa de abertura é mais
geral de certo modo)
mas ai estava pensando em definir somatorios em outros conjuntos
finitos, por exemplo, definir formalmente somatorio sobre primos em
um intervalo etc...
na verdade eu me divirto um pouco fazendo essas coisas hehe, as vezes
procurar algo já pronto para mim é o mesmo que contar o final de um
filme, depois eu volto a postar mais sobre, e as idéias que estou
tendo sobre esse assunto
abraços
Em 29/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Rodrigo,
pensando sobre o que você disse... pelo que sei a notação de conjuntos é
geral..
{ a } é um conjunto finito cuja cardinalidade é 1... e a é qualquer
coisa.. hehe (bem informal)
sobre retirar os elementos, acredito que você pode fazer assim:
Seja A um conjunto tal que |A| = n.
Como A é finito e enumerável, vamos definir uma bijecao f : I_n - A
onde I_n = { 1, 2, 3, ..., n }.
façamos: A_0 = A ... A_k = A_(k-1) \ { f(k) }
deste modo, temos: A_1 = A_0 \ { f(1) } ... A_2 = A_1 \ { f(2) }..
vamos chegar em A_n = {} ...
Agora, não entendi o que você quer definir sobre o somatório em conjuntos
finitos com
relação de ordem... :))
um abraço,
Salhab
On 10/29/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu formulei
hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
números com uma relação de ordem finito ele possui um máximo e se
formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
chega uma hora que ele se torna o conjunto vazio
ex:
{0, 2.2 ,3}
tira o máximo (3)
{ 0, 2.2}
tira o maximo (2.2)
{0}
tira o maximo 0
{}
acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
eu estava/estou pensando sobre essa questão). A principio estava
pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
conjuntos númericos ?)
esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.
abraços
Em
Re: [obm-l] Conjuntos finitos
Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu formulei
hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
números com uma relação de ordem finito ele possui um máximo e se
formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
chega uma hora que ele se torna o conjunto vazio
ex:
{0, 2.2 ,3}
tira o máximo (3)
{ 0, 2.2}
tira o maximo (2.2)
{0}
tira o maximo 0
{}
acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
eu estava/estou pensando sobre essa questão). A principio estava
pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
conjuntos númericos ?)
esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.
abraços
Em 27/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Rodrigo,
achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: Existe n
tal que S(n) = vazio... pois n está definido na questão..
acredito que deveria ser: Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?
|S(0)| = |S|
|S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| = 1,
entao: |S(1)| = |S| - 1
por inducao: |S(k)| = |S| - k
vamos supor que |S| n, entao |S(n)| 0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
hipótese..
vamos supor que |S| n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0
logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor ou
igual a n...
abraços,
Salhab
On 10/27/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja
S um conjunto
defino
(n natural)
S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
S(0)=S
(se S(n) possui máximo) [prestar atenção nessa condição]
Se existe n, tal que s(n)=vazio
então n é finito e tem n elementos?
e se um conjunto é finito vale a propriedade acima?
(relaçao de se e somente se).
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjuntos finitos
Olá Rodrigo,
pensando sobre o que você disse... pelo que sei a notação de conjuntos é
geral..
{ a } é um conjunto finito cuja cardinalidade é 1... e a é qualquer
coisa.. hehe (bem informal)
sobre retirar os elementos, acredito que você pode fazer assim:
Seja A um conjunto tal que |A| = n.
Como A é finito e enumerável, vamos definir uma bijecao f : I_n - A
onde I_n = { 1, 2, 3, ..., n }.
façamos: A_0 = A ... A_k = A_(k-1) \ { f(k) }
deste modo, temos: A_1 = A_0 \ { f(1) } ... A_2 = A_1 \ { f(2) }..
vamos chegar em A_n = {} ...
Agora, não entendi o que você quer definir sobre o somatório em conjuntos
finitos com
relação de ordem... :))
um abraço,
Salhab
On 10/29/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu formulei
hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
números com uma relação de ordem finito ele possui um máximo e se
formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
chega uma hora que ele se torna o conjunto vazio
ex:
{0, 2.2 ,3}
tira o máximo (3)
{ 0, 2.2}
tira o maximo (2.2)
{0}
tira o maximo 0
{}
acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
eu estava/estou pensando sobre essa questão). A principio estava
pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
conjuntos númericos ?)
esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.
abraços
Em 27/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Rodrigo,
achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: Existe
n
tal que S(n) = vazio... pois n está definido na questão..
acredito que deveria ser: Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?
|S(0)| = |S|
|S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| =
1,
entao: |S(1)| = |S| - 1
por inducao: |S(k)| = |S| - k
vamos supor que |S| n, entao |S(n)| 0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
hipótese..
vamos supor que |S| n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0
logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor
ou
igual a n...
abraços,
Salhab
On 10/27/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja
S um conjunto
defino
(n natural)
S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
S(0)=S
(se S(n) possui máximo) [prestar atenção nessa condição]
Se existe n, tal que s(n)=vazio
então n é finito e tem n elementos?
e se um conjunto é finito vale a propriedade acima?
(relaçao de se e somente se).
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjuntos finitos
Olá Marcelo \o/
vou tentar explicar o que eu quis dizer sobre somatório em conjuntos
finitos com relação de ordem, mas primeiro vou falar sobre minha
opnião sobre o somatorio comum que aparece na matemática
costuma-se definir
somatorio k=0 até n f(k)= f(0)+...+f(n),
só que eu me sinto meio desconfortavel usando esses pontinhos, acho
meio informal, apesar que dá a idéia do que é o somatório, da uma
noção intuitiva do que acontece, porém eu prefiro não usar esse modo e
sim, definir da seguinte maneira
somatorio k=0 até n f(k)= [somatorio k=0 até n-1 f(k)] +f(n)
se n0, n natural e se n=0
somatorio k=0 até 0 f(k)=f(0)
, i,e repito o processo tirando o ultimo termo do somatorio até chegar
no termo minimo, o mesmo faço para definir somatorio com limite
inferior inteiro e superior inteiro
somatorio k=a até a+p f(k)= [somatorio k=a até a+p-1 f(k)] +f(a+p)
se p0, p natural e se p=0
somatorio k=a até a f(k)=f(a)
com a inteiro. se a inteiro então a+p=b um número inteiro maior ou igual à a
então fica definido para mim o somatorio com limites nos inteiros.
para provar alguns teoremas de somatorio me parece util definir
somatorio k=b até a f(k) =0 se ab (i.e se o limite superior é menor
que o limite inferior)
com essas definições é possivel demonstrar algumas propriedades de
somatorios como
somatorio k=a até b f(k) =somatorio k=a+p até b+p f(k-p)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=-b até -a f(-k)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=a até s f(k) +somatorio k=s+1 até b f(k)
se s=a e b=s+1. propriedade que chamo de abertura de somatorios
ela é equivalente a definição que postei acima de somatorio, a partir
de uma se prova outra e vice e versa (porém essa de abertura é mais
geral de certo modo)
mas ai estava pensando em definir somatorios em outros conjuntos
finitos, por exemplo, definir formalmente somatorio sobre primos em
um intervalo etc...
na verdade eu me divirto um pouco fazendo essas coisas hehe, as vezes
procurar algo já pronto para mim é o mesmo que contar o final de um
filme, depois eu volto a postar mais sobre, e as idéias que estou
tendo sobre esse assunto
abraços
Em 29/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Rodrigo,
pensando sobre o que você disse... pelo que sei a notação de conjuntos é
geral..
{ a } é um conjunto finito cuja cardinalidade é 1... e a é qualquer
coisa.. hehe (bem informal)
sobre retirar os elementos, acredito que você pode fazer assim:
Seja A um conjunto tal que |A| = n.
Como A é finito e enumerável, vamos definir uma bijecao f : I_n - A
onde I_n = { 1, 2, 3, ..., n }.
façamos: A_0 = A ... A_k = A_(k-1) \ { f(k) }
deste modo, temos: A_1 = A_0 \ { f(1) } ... A_2 = A_1 \ { f(2) }..
vamos chegar em A_n = {} ...
Agora, não entendi o que você quer definir sobre o somatório em conjuntos
finitos com
relação de ordem... :))
um abraço,
Salhab
On 10/29/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu formulei
hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
números com uma relação de ordem finito ele possui um máximo e se
formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
chega uma hora que ele se torna o conjunto vazio
ex:
{0, 2.2 ,3}
tira o máximo (3)
{ 0, 2.2}
tira o maximo (2.2)
{0}
tira o maximo 0
{}
acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
eu estava/estou pensando sobre essa questão). A principio estava
pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
conjuntos númericos ?)
esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.
abraços
Em 27/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Rodrigo,
achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: Existe
n
tal que S(n) = vazio... pois n está definido na questão..
acredito que deveria ser: Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?
|S(0)| = |S|
|S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| =
1,
entao: |S(1)| = |S| - 1
por inducao: |S(k)| = |S| - k
vamos supor que |S| n, entao |S(n)| 0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
hipótese..
vamos supor que |S| n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0
logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor
ou
igual a n...
abraços,
Salhab
On 10/27/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja
S um conjunto
defino
(n natural)
S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
S(0)=S
(se
Re: [obm-l] Conjuntos finitos
Olá Rodrigo,
achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: Existe n
tal que S(n) = vazio... pois n está definido na questão..
acredito que deveria ser: Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?
|S(0)| = |S|
|S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| = 1,
entao: |S(1)| = |S| - 1
por inducao: |S(k)| = |S| - k
vamos supor que |S| n, entao |S(n)| 0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
hipótese..
vamos supor que |S| n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0
logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor ou
igual a n...
abraços,
Salhab
On 10/27/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja
S um conjunto
defino
(n natural)
S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
S(0)=S
(se S(n) possui máximo) [prestar atenção nessa condição]
Se existe n, tal que s(n)=vazio
então n é finito e tem n elementos?
e se um conjunto é finito vale a propriedade acima?
(relaçao de se e somente se).
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Re: [obm-l] Conjuntos
Certamente :) Marcus wrote: Alguém sabe me dizer o que significa Ac ÇBcÇ Cc, quando eu utilizo três conjuntos, isso quer dizer complementar em relação ao universo? Marcus Aurélio
Re: [obm-l] Conjuntos - dúvida conceitual
Eles tem que ser disjuntos dois a dois.
On 3/7/07, Pedro Cardoso [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá amigos da lista,
estudando um pouco conjuntos fiquei com uma dúvida em relação ao conceito
de
CONJUNTOS DISJUNTOS.
Entendi que A e B são disjuntos se A(inter)B = vazio, mas, quando começo a
trabalhar com três ou mais conjuntos...
Para N conjuntos serem disjuntos basta que a interseção simultãnea deles
[quero dizer A(inter)B(inter)C...(inter)Z] = vazio? Ou é necessário também
que eles sejam disjuntos dois a dois?
Se bastar que eles sejam disjuntos n a n [A(inter)B(inter)C...(inter)Z =
vazio], não é sempre verdade que:
A,B,C...Z são disjuntos - n[A(união)B...(união)Z] = n(A)+n(B)+...+n(Z),
certo?
Ex.: A ={1,2,3}; B ={2,4,6}; C={1,3,5}
A(inter)B(inter)C = vazio, mas [A(união)B(união)C] = {1,2,3,4,5,6} (6
elementos)
e n(A)+n(B)+n(C) = 3+3+3 = 9.
Grato,
Pedro Lazéra Cardoso
_
Mande torpedos SMS do seu messenger para o celular dos seus amigos
http://mobile.msn.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjuntos
Bem, podemos pensar em coisas assim, so precisa imaginacao.Por exemploa+b=b+a traduz aUb=bUaa*b=b*a traduz aNb=bNaA distributiva,(a+b)c=ab+acfica(aUb)Nc=(aNb)U(aNc)E da pra fazer tais analogias por ai... Se vc proivar que da pra mapear os axiomas das duas teorias, bingo!2006/6/15, Iuri [EMAIL PROTECTED]: Certa vez um professor meu comentou sobre existir isomorfismo entre (união e adição) e entre (intersecção e multiplicação), fazendo com que relações de conjuntos pudessem ser expressadas como expressões algebricas. Existe algo desse tipo ou é só um caso particular? Nunca vi demonstração disso... -- Ideas are bulletproof.V
Re: [obm-l] Conjuntos
Humm, acho que é possível sim. Se não me engano o matemático G. Boole provou isso. 2006/6/16, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED]: Bem, podemos pensar em coisas assim, so precisa imaginacao. Por exemplo a+b=b+a traduz aUb=bUa a*b=b*a traduz aNb=bNa A distributiva, (a+b)c=ab+ac fica (aUb)Nc=(aNb)U(aNc) E da pra fazer tais analogias por ai... Se vc proivar que da pra mapear os axiomas das duas teorias, bingo! 2006/6/15, Iuri [EMAIL PROTECTED]: Certa vez um professor meu comentou sobre existir isomorfismo entre (união e adição) e entre (intersecção e multiplicação), fazendo com que relações de conjuntos pudessem ser expressadas como expressões algebricas. Existe algo desse tipo ou é só um caso particular? Nunca vi demonstração disso... -- Ideas are bulletproof. V -- O modo mais provável do mundo ser destruído, como concordam a maioria dos especialistas, é através de um acidente. É aí que nós entramos. Somos profissionais da computação. Nós causamos acidentes - Nathaniel Borenstein = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] CONJUNTOS
O procedimento está correto, mas você se confundiu um pouco.
Observe o conjunto:
A - (A inter B) = {x E A e x ñE (A inter B)}
Se X E (A inter B), implica que: x E A e X E B
Por outro lado, se X ñE (A inter B), implica que: x ñE A ou X ñE B
Voltando ao seu problema, como x E A, se x ñE (A inter B) é porque x ñE B.
Logo:
A - (A inter B) = {x E A e x ñE (A inter B)} = {x E A e X ñE B} = A - B
abracos,
Felipe Nardes
From: Miguel Mossoro [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] CONJUNTOS
Date: Fri, 9 Sep 2005 20:03:39 -0300 (ART)
Olá a todos.
Quero provar que A - B = A - (A inter B)
Usando o diagrama de venn é fica fácil. Entretanto, eu queria provar por
uma forma analítica. Eu cheguei ao seguinte resultado:
Partindo do 2º membro:
A - (A inter B) = {x | x E A e x ñE (A inter B) } = {x | x E A e (x ñE A e
x ñE B) } = vazio ???
Como é o procedimento para responder nesse estilo??
Agradeço antecipadamente,
Mossoro
__
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Re: [obm-l] Conjuntos
No lugar de "está contido" usarei "é subconjunto" e no lugar de "pertence" usarei "é elemento". E lembrando a definição de subconjunto: X é subconjunto de Y se e, somente se, para qualquer x tal que x seja elemento de X, então x é elemento de Y. a) A é subconjuntode (A U B), qualquer que sejaA. Tome um x qualquer tal que: x é elemento de A união B. Sem alterar o valor lógico da proposição: x não é elemento de A ou x é elemento de Aunião B. Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, então q" se x é elemento de A, então x é elemento de A união B. Pela definião de subconjunto. A é subconjunto de A união B. Q.E.D. b) A interseção B é subconjunto de A, qualquer que seja A. Tome um x qualquer tal que: x é elemento de A interseção B. Sem alterar o valor lógico da proposição: x não é elemento de A ou x é elemento de Ainterseção B Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, então q": se x é elemento de A, então x é elemento de A interseção B. Pela definição de subconjunto: A interseção Bé subconjunto de A. Q.E.D. ___ Espero não ter escorregado em nada... Atenciosamente, Bruno Bonagura - Original Message - From: admath admath To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, July 24, 2005 8:57 PM Subject: [obm-l] Conjuntos Provar (utilizando lógica matemática) que: a) A está contido em (A U B),qualquer que sejaA. b) (A inter B) está contido em A, qualquer que seja A. Obrigado. __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
RE: [obm-l] Conjuntos
1-) Provar que A C (AUB), para todo A. x pertence a A = ( x pertence a Aou x pertence a B) é uma implicação verdadeira para todo x, portanto A C (AUB). 2- Provar que (A inter B) C A, para todo A. x pertence a ( A inter B) = (x pertence a Ae x pertence a B) = x pertence a A é umaimplicação verdadeira para todo x, portanto(A inter B) C A.Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis Instale Já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos [Errata]
Desconsidere a demonstração b) ! - Original Message - From: Bruno Bonagura To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, July 24, 2005 10:22 PM Subject: Re: [obm-l] Conjuntos No lugar de "está contido" usarei "é subconjunto" e no lugar de "pertence" usarei "é elemento". E lembrando a definição de subconjunto: X é subconjunto de Y se e, somente se, para qualquer x tal que x seja elemento de X, então x é elemento de Y. a) A é subconjuntode (A U B), qualquer que sejaA. Tome um x qualquer tal que: x é elemento de A união B. Sem alterar o valor lógico da proposição: x não é elemento de A ou x é elemento de Aunião B. Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, então q" se x é elemento de A, então x é elemento de A união B. Pela definião de subconjunto. A é subconjunto de A união B. Q.E.D. b) A interseção B é subconjunto de A, qualquer que seja A. Tome um x qualquer tal que: x é elemento de A interseção B. Sem alterar o valor lógico da proposição: x não é elemento de A ou x é elemento de Ainterseção B Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, então q": se x é elemento de A, então x é elemento de A interseção B. Pela definição de subconjunto: A interseção Bé subconjunto de A. Q.E.D. ___ Espero não ter escorregado em nada... Atenciosamente, Bruno Bonagura - Original Message - From: admath admath To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, July 24, 2005 8:57 PM Subject: [obm-l] Conjuntos Provar (utilizando lógica matemática) que: a) A está contido em (A U B),qualquer que sejaA. b) (A inter B) está contido em A, qualquer que seja A. Obrigado. __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] Conjuntos
Me perdoem pela tripla mensagem. Mas a demonstraçãoa) também está lógicamente furada. Desculpem... - Original Message - From: Bruno Bonagura To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, July 24, 2005 10:22 PM Subject: Re: [obm-l] Conjuntos No lugar de "está contido" usarei "é subconjunto" e no lugar de "pertence" usarei "é elemento". E lembrando a definição de subconjunto: X é subconjunto de Y se e, somente se, para qualquer x tal que x seja elemento de X, então x é elemento de Y. a) A é subconjuntode (A U B), qualquer que sejaA. Tome um x qualquer tal que: x é elemento de A união B. Sem alterar o valor lógico da proposição: x não é elemento de A ou x é elemento de Aunião B. Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, então q" se x é elemento de A, então x é elemento de A união B. Pela definião de subconjunto. A é subconjunto de A união B. Q.E.D. b) A interseção B é subconjunto de A, qualquer que seja A. Tome um x qualquer tal que: x é elemento de A interseção B. Sem alterar o valor lógico da proposição: x não é elemento de A ou x é elemento de Ainterseção B Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, então q": se x é elemento de A, então x é elemento de A interseção B. Pela definição de subconjunto: A interseção Bé subconjunto de A. Q.E.D. ___ Espero não ter escorregado em nada... Atenciosamente, Bruno Bonagura - Original Message - From: admath admath To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, July 24, 2005 8:57 PM Subject: [obm-l] Conjuntos Provar (utilizando lógica matemática) que: a) A está contido em (A U B),qualquer que sejaA. b) (A inter B) está contido em A, qualquer que seja A. Obrigado. __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] Conjuntos
Demonstração correta da a) em anexo. Desculpe a trapalhada. - Original Message - From: Bruno Bonagura To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, July 24, 2005 10:22 PM Subject: Re: [obm-l] Conjuntos No lugar de "está contido" usarei "é subconjunto" e no lugar de "pertence" usarei "é elemento". E lembrando a definição de subconjunto: X é subconjunto de Y se e, somente se, para qualquer x tal que x seja elemento de X, então x é elemento de Y. a) A é subconjuntode (A U B), qualquer que sejaA. Tome um x qualquer tal que: x é elemento de A união B. Sem alterar o valor lógico da proposição: x não é elemento de A ou x é elemento de Aunião B. Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, então q" se x é elemento de A, então x é elemento de A união B. Pela definião de subconjunto. A é subconjunto de A união B. Q.E.D. b) A interseção B é subconjunto de A, qualquer que seja A. Tome um x qualquer tal que: x é elemento de A interseção B. Sem alterar o valor lógico da proposição: x não é elemento de A ou x é elemento de Ainterseção B Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, então q": se x é elemento de A, então x é elemento de A interseção B. Pela definição de subconjunto: A interseção Bé subconjunto de A. Q.E.D. ___ Espero não ter escorregado em nada... Atenciosamente, Bruno Bonagura - Original Message - From: admath admath To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, July 24, 2005 8:57 PM Subject: [obm-l] Conjuntos Provar (utilizando lógica matemática) que: a) A está contido em (A U B),qualquer que sejaA. b) (A inter B) está contido em A, qualquer que seja A. Obrigado. __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ a.gif Description: GIF image
Re: [obm-l] Conjuntos
a) Conjunto AUB qualquer x pertencente a AUB, x pentence a A ou x pertence a B,entao, para qualquer x pertencente a A, x pertence a AUBb) A inter B para qualquer x pertencente a A inter B, x pertence a A e x pertence a B; entao, qualquer x pertencente a A inter B, x pertence a A, logo A inter B está contido em A. Acho q isso vale como demo. Em 24/07/05, admath admath[EMAIL PROTECTED] escreveu: Provar (utilizando lógica matemática) que: a) A está contido em (A U B),qualquer que seja A. b) (A inter B) está contido em A, qualquer que seja A. Obrigado. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] Conjuntos
a)
TESE:
A C (AUB)
= {qualquer x: xEA == xE(AUB) }
= {qualquer x: ~xE(AUB) == ~xEA }
= "Qualquer que seja x, temos que: *se* x no pertence a (AUB),
*ento* x no pertence a (A)."
HIP.: ~xE(AUB)
S1: ~xE(AUB) = ~[ xEA ou xEB ] (HIP. = S1)
S2: ~[ xEA ou xEB ] = ~xEA e ~xEB (S1 = S2)
S3: ~xEA e ~xEB == ~xEA (S2 == S3)
S4: ~xE(AUB) == ~xEA (HIP. == S3)
S5: xEA == xE(AUB) (S4)
S6: A C (AUB) (S5)
Q.E.D.
Abraos,
Claudio Freitas
admath admath escreveu:
Provar (utilizando lgica matemtica) que:
a) A est contido em (A U B),qualquer que
sejaA.
b) (A inter B) est contido em A, qualquer
que seja A.
Obrigado.
__
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Re: [obm-l] Conjuntos
a) FAÇB terá , no MÁXIMO, 12 elementos. Como |A| |B|, então a número de interseções máxima será o número de elementos do menor conjunto, caso este esteja contido no conjunto maior. b)VAÈB terá , no mínimo, 15 elementos.Se A está contindo em em B, implica que a união entre A e B possui o número de elementos de B que é 15. c) FOnúmero máximo de elementos de AÈB poderá ser |A|+|B|, caso esses conjuntos sejam disjuntos, e o número máximo de elementos de AÇB poderá ser 12, caso A esteja contido em B. d) FA explicação está nos itens anteriores Me corrijam, caso fiz alguma coisa errada. matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] wrote: 01.Considere dois conjuntos de números reais A e B com 12 e 15 elementos, respectivamente. Então, sempre se pode afirmar que: a) AÇB terá , no mínimo, 12 elementos. b) AÈB terá , no mínimo, 15 elementos. c) o número máximo de elementos de AÈB é igual ao número máximo de elementos de AÇB. d) o número mínimo de elementos de AÈB é igual ao número máximo de elementos de AÇB. Fico agradecido. Ary Queiroz André Rodrigues da Cruz[EMAIL PROTECTED]"A paz seja convosco!" Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Conjuntos
Olá Ary.
Esta questão já apareceu na prova da ANPAD. Gabarito
(C): quatro conjuntos. Seguem abaixo:
{1,2}
{1,2,3}
{1,2,4}
{1,2,3,4}.
Grande abraço.
Marcelo Roseira.
--- matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] wrote:
O número de conjuntos X que satisfaz
{1,2} Ì X Ì {1 , 2, 3 , 4 }é igual a:
a) 3
b) 5
c) 4
d) 6
e) 8
Agradeço de já
Ary Queiroz
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Re: [obm-l] Conjuntos
Sol :4 o conjunto x
pode ser {1,2},{1,2,3},{1,2,4} ou {1,2,3,4}.
- Original Message -
From:
matduvidas48
To: obm-l
Sent: Tuesday, April 12, 2005 9:12
PM
Subject: [obm-l] Conjuntos
O número de conjuntos X que satisfaz
{1,2} Ì
X Ì {1 , 2, 3 , 4 }é igual
a:
a)
3
b) 5
c) 4
d) 6
e)8
Agradeço de já
Ary
Queiroz
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Re: [obm-l] Conjuntos
Olá. Para o item 01.,note que 10 não acertaram as ultimas questões, mas só a primeira, e que 11 acertaram pelo menos as duas ultimas. Daí fica fácil... Um raciocínio do tipo pode ser udado paro item 02., ou não? Vc. pode uasra Diagrama de Venn que pode facilitar. Abraços Wilner --- matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] wrote: 01.Numa turma de 31 alunos da EPCAR, foi aplicada uma Prova de Matemática valendo 10 pontos no dia em que 2 alunos estavam ausentes. Na prova, constavam questões subjetivas: a primeira, sobre conjuntos; a segunda, sobre funções e a terceira, sobre geometria plana. Sabe-se que dos alunos presentes nenhum tirou zero; 11 acertaram a segunda e a terceira questões; 15 acertaram a questão sobre conjuntos; 1 aluno acertou somente a parte de geometria plana, e7 alunos acertaram apenas a questão sobre funções. É correto afirmar que o número de alunos com grau máximo igual a 10 foi a) 4 b) 6 c) 5 d) 7 02.Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes? a) 31 b) 37 c) 47 d) 51 Voces poderiam me dar um ajudinha nestas questões. Agradeço desde de já Ary Queiroz __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos
--- Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá. Para o item 01.,note que 10 não acertaram as ultimas questões, mas só a primeira, e que 11 acertaram pelo menos as duas ultimas. Daí fica fácil... Um raciocínio do tipo pode ser udado paro item 02., ou não? Vc. pode uasra Diagrama de Venn que pode facilitar. Abraços Wilner Se vc. preferir mai formalismo pode usar o Teorema da Soma: [A(união)B(união)C]-A(interseção)B-A(interseção)C- -B(interseção)C+[A(interseção)B(interseção)C]. (Uff,um LATEX iria bem...) []'s Wilner --- matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] wrote: 01.Numa turma de 31 alunos da EPCAR, foi aplicada uma Prova de Matemática valendo 10 pontos no dia em que 2 alunos estavam ausentes. Na prova, constavam questões subjetivas: a primeira, sobre conjuntos; a segunda, sobre funções e a terceira, sobre geometria plana. Sabe-se que dos alunos presentes nenhum tirou zero; 11 acertaram a segunda e a terceira questões; 15 acertaram a questão sobre conjuntos; 1 aluno acertou somente a parte de geometria plana, e7 alunos acertaram apenas a questão sobre funções. É correto afirmar que o número de alunos com grau máximo igual a 10 foi a) 4 b) 6 c) 5 d) 7 02.Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes? a) 31 b) 37 c) 47 d) 51 Voces poderiam me dar um ajudinha nestas questões. Agradeço desde de já Ary Queiroz __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos?
http://www.obm.org.br/eureka/artigos/gavetas.doc On Wed, 09 Mar 2005 23:10:50 +, Raquel Erimil [EMAIL PROTECTED] wrote: A todos da lista, peço auxilio num problema que parece de conjuntos *Mostrar que em qualquer grupo de 6 pessoas existe, necessariamente, um conjunto de 3 pessoas que se conhecem ou que são totalmente estranhos. E num grupo de apenas 5 pessoas? Não faço a menor idéia de como fazer Erimil _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] CONJUNTOS (BOAS)
[26/2/2005, [EMAIL PROTECTED]: Me diga uma coisa eu não entendi a do irracional elevado a um irracional... no caso x = raiz q. de 2 , ae vc eleva os dois lados a raiz q. de 2 , ae fica x ^raiz q. de 2 = 2, mas isso diz que x ^raiz q. de 2 = 2 é racional mas não diz nada a respeito de x, estou certo? Cuidado -- eu não disse isso; eu *defini* que x = sqrt(2)^sqrt(2). Por definição, x é um irracional elevado a um irracional. Se x for um número racional, o problema acabou, pois x é exatamente o que estamos procurando (um irracional elevado a um irracional dando um racional). Senão, então x^sqrt(2) é um irracional elevado a um irracional, e sabemos que este último número vale 2. Logo, em qualquer uma das hipóteses, conseguimos encontrar um irracional elevado a um irracional dando um racional. Logo a resposta ao problema é sim. Agora me esclareça uma coisa. Veio um arquivo em anexo no documento um tal de file... que arquivo é esse??? Meu PC não identifica ele acho... Pode ficar tranqüilo; o arquivo é só a minha assinatura digital. []s, -- Fábio Dias Moreira pgpV5AYWJXPsC.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] CONJUNTOS (BOAS)
Oi Fábio,
Poxa muitoobrigado entendi agora a questão.
Eu entendi que era x = sqrt(2)^sqrt(2) mas na hora de digitar eu usei aquela representação horrivel "raiz q. de 2", vou me apoderar da sua forma de representar raiz quadrada, não se importe : )
O arquivo eu achei que era a questão de conjutos que vc tinha feito usando um programa e talz... e por isso meu pc não identificava, por falar nela será que vc pode me dar uma ajuda nela?
- Numa enquete entre 80 aficionados, 20 declaram ter assistido ao jogo A, 40 ao jogo B, 30 ao jogo C, 30 ao jogo D, 5 aos jogos B, C e D, 5 a somente o jogo A, 10 aos jogos B e C, 60 assistiram a pelo menos um dos jogos A,C e D. 10 aficionados não assistiram a nenhum dos jogos B,C e D. Quantos assitiram aos jogoa A,C e D?Quantos não assistiram a nenhum jogo?Quantos assistiram somente ao jogo C ou somente ao jogo D?Se os aficionados que assitiram aos jogos A e D são mais que o triplo dos que assistiram somente ao jogo D, e os aficionados que assistiram somente ao jogo C são menos que o dobro dos que assistiram somente aos jogos A e C, quantos assistiram somente ao jogo D ou somente aos jogos A e C?Eu estou com um problema quenão entendo... eu resolvi uma questão da escola naval de um geito que parece ser certo, olhe.
- (EN-88) Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock, quantos % da população, no mínimo gostam de samba, choro, bolero e rock?a) 5 b) 10 c) 20 d) 45 e) 70(encontreo 10% mas não tenho certeza)
eu resolvi aquela primeira de % da (EN-88) assim...
S = {70% gosta de samba}C = {75% de choro}B = {80% de bolero}R = {85% de rock}quantos % no minimo da população gostam de S,C,B e R.Eu fiz assim... o que ele quer é.S inter C inter B inter R = (((S inter C) inter B) inter R)ae eu fiz,n(S U C) = n(S) + n(C) - n(S inter C)100p = 70p + 75p - n(S inter C)n(S inter C) = 45pae repito o processo...100p = 45p + 80p - n((S inter C) inter B)n((S inter C) inter B) = 25p100p = 25p + 85p - n(((S inter C) inter B) inter R)n(((S inter C) inter B) inter R) = 110p - 100p = 10pou seja 10%, sendo p = número de pessoas da cidade divido por cem...
Bem creio que esteja certo... mas tentei usar isso nessa questão e não deu, alem de não dar aindaparece ser um absurdo,olhe.
*** 9- Numa pesquisa entre os alunos do Elite foi constatado que 80% gostam de salada, 95% gostam de carne bovina, 10% gostam de peixe, 90% não gostam de frango e 15% não gostam de massas. Pergunta-se quantos alunos no mínimo não gostam de saladas, nem de carne bovina, nem de massas mas gostam de frango e peixe.a) 10% b)15% c)20% d)25% e)30%
S = {80% gostam de salada}B = {95% gostam de carne bovina}P = {10% gostam de peixe}F = {90% não gostam de frango}M = {15% não gostam de massas}Pergunta-se quantos alunos no mínimo não gostam de saladas, nem de carne bovina, nem de massas mas gostam defrango e peixe.quem não gosta de salada é Cs (complementar da salada em relação a U)
Cs = {20% não gostam de Salada}Cb = {5% não gostam de carne bovina}Cf = {10% gostam de frango}Cs inter Cb inter M inter Cf inter P = Cs inter Cb) inter M) inter Cf) inter P)tenta fazer ae que está dando uma porcentagem negativa e altissima...acho que está dando -349p ou algo assim... tenta ae e vê se dá para saber o que fiz de errado.
Obrigado,
Atenciosamente
André Sento Sé BarretoFábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote:
[26/2/2005, [EMAIL PROTECTED]: Me diga uma coisa eu não entendi a do irracional elevado a um irracional... no caso x = raiz q. de 2 , ae vc eleva os dois lados a raiz q. de 2 , ae fica x ^raiz q. de 2 = 2, mas isso diz que x ^raiz q. de 2 = 2 é racional mas não diz nada a respeito de x, estou certo?Cuidado -- eu não disse isso; eu *defini* que x = sqrt(2)^sqrt(2).Por definição, x é um irracional elevado a um irracional. Se x for umnúmero racional, o problema acabou, pois x é exatamente o que estamosprocurando (um irracional elevado a um irracional dando um racional).Senão, então x^sqrt(2) é um irracional elevado a um irracional, esabemos que este último número vale 2.Logo, em qualquer uma das hipóteses, conseguimos encontrar umirracional elevado a um irracional dando um racional!
. Logo a
respostaao problema é "sim". Agora me esclareça uma coisa. Veio um arquivo em anexo no documento um tal de file... que arquivo é esse??? Meu PC não identifica ele acho...Pode ficar tranqüilo; o arquivo é só a minha assinatura digital.[]s,-- Fábio Dias Moreira ATTACHMENT part 2 application/pgp-signature
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Re: [obm-l] CONJUNTOS (BOAS)
[25/2/2005, [EMAIL PROTECTED]: 6- 39) (ITA-74) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conujunto R dos numeros reais. Sejam as funções f: A - B, (y = f(x)), g: D - A (x = g(x)) e a função composta (fog): E - K, Então os conjunto E e K são tais que: a) E contido A e K contido D b) E contido B e K contém A c) E contém D, D diferente E e K contido B d) E contido D e K contido B e) nenhuma das respostas anteriores 0bs: assinalei a (d). Certo. (Mas eu tenho objeções ao enunciado: em todos os bons livros de matemática que eu conheço, se f: A - B e g: B - C são funções, então, *por definição*, a composta de g com f é (gof): A - C. Naturalmente, podemos restringir o domínio e o contradomínio de gof, mas isso tem que ser indicado, mesmo que implicitamente.) *** 8- Um irracional elevado a um irracional pode ser racional? (alguem pode mostrar um exemplo e a prova ou só a prova mesmo está bom) Considere x = sqrt(2)^sqrt(2). Se x for racional, acabamos. Senão, x é irracional. Mas então x^sqrt(2) = [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) = sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = sqrt(2)^2 = 2, que é claramente racional. (Para satisfazer a sua curiosidade, x é irracional; na realidade, x é transcendente -- ou seja, x não é raiz de nenhum polinômio de coeficientes inteiros.) []s, -- Fábio Dias Moreira pgpjtpwTpkSen.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] CONJUNTOS (BOAS)
Oi Fábio, Obrigado pela resolução, essas foram as que estavam me pegando... Agora me esclareça uma coisa. Veio um arquivo em anexo no documento um tal de file... que arquivo é esse??? Meu PC não identifica ele acho... Atenciosamente André Sento Sé BarretoFábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote: [25/2/2005, [EMAIL PROTECTED]: 6- 39) (ITA-74) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conujunto R dos numeros reais. Sejam as funções f: A - B, (y = f(x)), g: D - A (x = g(x)) e a função composta (fog): E - K, Então os conjunto E e K são tais que: a) E contido A e K contido D b) E contido B e K contém A c) E contém D, D diferente E e K contido B d) E contido D e K contido B e) nenhuma das respostas anteriores 0bs: assinalei a (d).Certo.(Mas eu tenho objeções ao enunciado: em todos os bons livros dematemática que eu conheço, se f: A - B e g: B - C são funções,então, *por definição*, a composta de g com f é (gof): A - C.Naturalmente, podemos restringir o domínio e o contradomínio de gof,mas isso tem que ser indicado, mesm! o que implicitamente.) *** 8- Um irracional elevado a um irracional pode ser racional? (alguem pode mostrar um exemplo e a prova ou só a prova mesmo está bom)Considere x = sqrt(2)^sqrt(2). Se x for racional, acabamos. Senão, x éirracional. Mas então x^sqrt(2) = [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) =sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = sqrt(2)^2 = 2, que é claramente racional.(Para satisfazer a sua curiosidade, x é irracional; na realidade, x étranscendente -- ou seja, x não é raiz de nenhum polinômio decoeficientes inteiros.)[]s,-- Fábio Dias Moreira ATTACHMENT part 2 application/pgp-signature __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] CONJUNTOS (BOAS)
Oi Fábio, Me diga uma coisa eu não entendi a do irracional elevado a um irracional... no caso x = raizq. de 2, ae vc eleva os dois lados a raizq. de 2, ae fica x ^raizq. de 2 = 2, mas isso diz que x ^raizq. de 2 = 2 é racional mas não diz nada a respeito de x, estou certo? No caso então irracional elevado a irracional é sempre irracional? Obrigado Atenciosamente André Sento Sé BarretoAndré Barreto [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Fábio, Obrigado pela resolução, essas foram as que estavam me pegando... Agora me esclareça uma coisa. Veio um arquivo em anexo no documento um tal de file... que arquivo é esse??? Meu PC não identifica ele acho... Atenciosamente André Sento Sé BarretoFábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote: [25/2/2005, [EMAIL PROTECTED]: 6- 39) (ITA-74) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conujunto R dos numeros reais. Sejam as funções f: A - B, (y = f(x)), g: D - A (x = g(x)) e a função composta (fog): E - K, Então os conjunto E e K são tais que: a) E contido A e K contido D b) E contido B e K contém A c) E contém D, D diferente E e K contido B d) E contido D e K contido B e) nenhuma das respostas anteriores 0bs: assinalei a (d).Certo.(Mas eu tenho objeções ao enunciado: em todos os bons livros dematemática que eu conheço, se f: A - B e g: B - C são funções,então, *por definição*, a composta de g com f é (gof): A - C.Naturalmente, podemos restringir o domínio e o contradomínio de gof,mas isso tem que ser indicado, mesm! ! o que implicitamente.) *** 8- Um irracional elevado a um irracional pode ser racional? (alguem pode mostrar um exemplo e a prova ou só a prova mesmo está bom)Considere x = sqrt(2)^sqrt(2). Se x for racional, acabamos. Senão, x éirracional. Mas então x^sqrt(2) = [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) =sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = sqrt(2)^2 = 2, que é claramente racional.(Para satisfazer a sua curiosidade, x é irracional; na realidade, x étranscendente -- ou seja, x não é raiz de nenhum polinômio decoeficientes inteiros.)[]s,-- Fábio Dias Moreira ATTACHMENT part 2 application/pgp-signature __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
Re: [obm-l] conjuntos
Não entendi...
A = {a,b,c} ; B = {d,e,f}
n(A) = 3 ; n(B) = 3
n(A uniao B) = 6
n(A inter B) = 0
n(A uniao B) = n(A) - n(B) - (A inter B)
3 =/= 3 - 3 - 0
o que vc queria nao seria..n(A uniao B) = n(A) + n(B) - (A inter B) ?
basta notar que qdo fazemos n(A) + n(B) estamos contando duas vezes os
elementos que pertencem aos dois (intersecao)..
ou
n(A uniao B) = n(A) + n(B - A) = n(A) + n(B) - n(A inter B)
[]s
daniel
--
On Wed, 23 Feb 2005 13:39:35 -0300, marcio aparecido
[EMAIL PROTECTED] wrote:
prove que n(A U B) = n(A) - n(B) - (A inteseção B) ??
alguem me da um help
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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--
A noção de infinito, de que é preciso se fazer um mistério em
Matemática, resume-se no seguinte princípio: depois de cada número
inteiro existe sempre um outro. (J. Tannery)
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] conjuntos...
eh soh fazer o diagrama de Euller... Seja A quem é favorável às duas propostas Seja B quem é favorável apenas à primeira proposta Seja C quem é favorável apenas à segunda proposta Seja X quem é desfavorável às duas propostas. Pelo enunciado... temos que A=380 e que o UNIVERSO é dado por: A+B+C+X=1000 = B+C+X=620 B+X=450 C+X=50 Logo: B+C+X+X=500 = X= -120 , B=570 , C=170 , A=380 Claramente os dados do enunciado estão errados... pois é IMPOSSÍVEL haver votos negativos. Renato Lira. On Mon, 7 Feb 2005 11:51:32 -0200, carlos gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: como saio dessa? Uma população de 1000 pessoas votou a favor ou contrariamente a duas propostas. Contados os votos observou-se que: · 50 pessoas foram contrárias à primeira proposta; · 450 foram contrárias à Segunda proposta e · 380 foram favoráveis às duas propostas. O número de pessoas que votaram contra às duas propostas é igual a: a) 80 b) 90 c) 100 d) 70 e) 110 Valeu, cg. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] conjuntos nao mensuraveis
On Tue, Jan 25, 2005 at 05:58:34PM -0500, Sandra wrote: Nestes dias discutiu-se o conceito de conjunto nao mensuravel e eu fiquei com uma duvida. O prof. Nicolau deu um exemplo e frisou que para obter conjuntos nao mensuraveis temos que recorrer ao axioma da escolha. Um dos colegas, acho que o Artur, deu um exemplo um tanto semelhante ao o do professor e tambem falou no axioma da escolha. Minha pergunta ?: para gerarmos conjuntos nao mensuraveis ? h imperioso recorrer ao axioma da escolha ou o que acontece ? que os exemplos conhecidos sao gerados com base no axioma da escolha? H? alguma prova de que sem o axioma da escolha nao se podem gerar conjuntos nao mensuraveis? Obrigada A minha lembrança é de que é consistente com ZF (os axiomas usuais da teoria dos conjuntos sem o axioma da escolha) que todo conjunto de números reais seja mensurável. Vou procurar verificar esta informação e mandar ourta mensagem com referência. Se por algum motivo eu não fizer isto, sugiro começar a procura por Set theory, de Jech. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] conjuntos nao mensuraveis
Achei varios livros do autor Jech, sobre conjuntos um deles chama-se Axiom of Choice, o pouco que entendi achei bom. Lá ele mostra umas coisas legais tipo: nao Axioma Escolha implica existencia (1)de Esp Vet sem base e (2)de Um conjunto infinito de reais sem um subconjunto enumeravel. Mas o q o senhor citou, nao achei..mas como disse, entendo pouco, talvez seja corolario de algum teorema. Entendo tao pouco que nao sei nem o q ZF ??"Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED] wrote: A minha lembrançaé de que é consistente com ZF (os axiomas usuaisda teoria dos conjuntos sem o axioma da escolha) que todo conjuntode números reais seja mensurável. Vou procurar verificar esta informaçãoe mandar ourta mensagem com referência. Se por algum motivo eu nãofizer isto, sugiro começar a procura por "Set theory", de Jech. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
Re: [obm-l] conjuntos nao mensuraveis
On Wed, Jan 26, 2005 at 01:09:08PM -0300, Bruno Lima wrote: Achei varios livros do autor Jech, sobre conjuntos um deles chama-se Axiom of Choice, o pouco que entendi achei bom. Lá ele mostra umas coisas legais tipo: nao Axioma Escolha implica existencia (1)de Esp Vet sem base e (2)de Um conjunto infinito de reais sem um subconjunto enumeravel. Mas o q o senhor citou, nao achei..mas como disse, entendo pouco, talvez seja corolario de algum teorema. Entendo tao pouco que nao sei nem o q ZF ?? ZF = Axiomas de Zermelo-Fraenkel, os axiomas usuais da teoria dos conjuntos sem o axioma da escolha. Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] wrote: A minha lembrança é de que é consistente com ZF (os axiomas usuais da teoria dos conjuntos sem o axioma da escolha) que todo conjunto de números reais seja mensurável. Vou procurar verificar esta informação e mandar ourta mensagem com referência. Se por algum motivo eu não fizer isto, sugiro começar a procura por Set theory, de Jech. O teorema que eu queria é o teorema 101 do livro que eu citei acima, capítulo 7, seção 42, página 537. O teorema é de Solovay. Ele é um pouco diferente do que eu lembrava: você precisa de ZF+Existe um cardinal inacessível; por Gödel sabemos que isto é estritamente mais forte do que ZF. Enfim, o teorema é o seguinte: == Theorem 101 (Solovay) Assume that there exists an inaccessible cardinal. (a) There is a model of ZF+DC in which all sets of real numbers are Lebesgue measurable and have the property of Baire, and every uncountable set of reals has a perfect subset. (b) There is a model of ZFC in which every projective set of reals is Lebesgue measurable, has the Baire property, and if uncountable, then it contains a perfect subset. == Resumindo e simplificando: não dá para construir conjuntos não mensuráveis sem usar o axioma da escolha. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos
Oi, Eu gostaria de ajuda para dar uma prova matematicamente valida para as seguintes afirmacoes sobre conjuntos de R^n: 1) Se o conjunto dos pontos de acumulacao de A for enumeravel ou finito, entao A eh enumeravel, podendo ser finito. Uma forma de provar isso eh tomar por base o conceito de ponto de condensacao. Dizemos que x eh ponto de condensacao de A se toda vizinhanca de x contiver uma quantidade naum-enumeravel de elementos de A. Em R^n (assim como em todo espaco metrico separavel), conjuntos naum enumeraveis possuem pontos de condensacao e o conjunto dos pontos de condensacao de um conjunto naum eh enumeravel. Eh imediato que todo ponto de condensacao eh ponto de acumulacao. Como o conjunto dos pontos de acumulacao de A eh enumeravel, segue-se automaticamente que A naum possui pontos de condensacao (se A possuisse um de tais pontos, entao o conjunto de seus pontos de acumulacao conteria pontos de condensacao e naum poderia ser enumeravel). Logo, A eh enumeravel. 2) Se A eh um subconjunto de R limitado superiormente, entao o supremo de A pertence a A. Se s = supremo A naum pertencesse a A, entao s seria ponto de acumulacao de A. Mas como A eh finito, A naum possui nenhum ponto de acumulacao. Logo, temos necessariamente que s pertence a A. No caso (1) eu estou com dificuldades na primeira parte, embora a conclusao pareca intuitiva. Tambem acho, embora a prova formal naum seja assim tao imediata Com relacao a segunda parte, um bom exemplo eh B = conjunto dos racionais, certo? Eh enumeravel, mas o conjunto de seus pontos de acumulacao eh o proprio R, que naum eh enumeravel. Exatamente. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos
E quanto ao intervalo aberto A = (a, b) com a b? O supremo de A é b, mas b não pertence a A. Bernardo On Mon, 13 Sep 2004 12:26:19 -0300, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Eu gostaria de ajuda para dar uma prova matematicamente valida para as seguintes afirmacoes sobre conjuntos de R^n: 1) Se o conjunto dos pontos de acumulacao de A for enumeravel ou finito, entao A eh enumeravel, podendo ser finito. Uma forma de provar isso eh tomar por base o conceito de ponto de condensacao. Dizemos que x eh ponto de condensacao de A se toda vizinhanca de x contiver uma quantidade naum-enumeravel de elementos de A. Em R^n (assim como em todo espaco metrico separavel), conjuntos naum enumeraveis possuem pontos de condensacao e o conjunto dos pontos de condensacao de um conjunto naum eh enumeravel. Eh imediato que todo ponto de condensacao eh ponto de acumulacao. Como o conjunto dos pontos de acumulacao de A eh enumeravel, segue-se automaticamente que A naum possui pontos de condensacao (se A possuisse um de tais pontos, entao o conjunto de seus pontos de acumulacao conteria pontos de condensacao e naum poderia ser enumeravel). Logo, A eh enumeravel. 2) Se A eh um subconjunto de R limitado superiormente, entao o supremo de A pertence a A. Se s = supremo A naum pertencesse a A, entao s seria ponto de acumulacao de A. Mas como A eh finito, A naum possui nenhum ponto de acumulacao. Logo, temos necessariamente que s pertence a A. No caso (1) eu estou com dificuldades na primeira parte, embora a conclusao pareca intuitiva. Tambem acho, embora a prova formal naum seja assim tao imediata Com relacao a segunda parte, um bom exemplo eh B = conjunto dos racionais, certo? Eh enumeravel, mas o conjunto de seus pontos de acumulacao eh o proprio R, que naum eh enumeravel. Exatamente. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos
E quanto ao intervalo aberto A = (a, b) com a b? O supremo de A é b,
mas b não pertence a A.
Bernardo
Ela disse conjuntos FINITOS. O intervalo (a,b) eh INFINITO. Ela NAUM disse
intervalos com pontos extremos finitos. Por conjunto finito entendemos um
conjunto equivalente, para algum natural n, a um segmento inicial {1,
2,.n} do conjunto dos naturais.
Artur
On Mon, 13 Sep 2004 12:26:19 -0300, Artur Costa Steiner
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi,
Eu gostaria de ajuda para dar uma prova
matematicamente valida para as seguintes afirmacoes
sobre conjuntos de R^n:
1) Se o conjunto dos pontos de acumulacao de A for
enumeravel ou finito, entao A eh enumeravel, podendo
ser finito.
Uma forma de provar isso eh tomar por base o conceito de ponto de
condensacao. Dizemos que x eh ponto de condensacao de A se toda vizinhanca
de x contiver uma quantidade naum-enumeravel de elementos de A. Em R^n
(assim como em todo espaco metrico separavel), conjuntos naum enumeraveis
possuem pontos de condensacao e o conjunto dos pontos de condensacao de um
conjunto naum eh enumeravel. Eh imediato que todo ponto de condensacao eh
ponto de acumulacao. Como o conjunto dos pontos de acumulacao de A eh
enumeravel, segue-se automaticamente que A naum possui pontos de
condensacao
(se A possuisse um de tais pontos, entao o conjunto de seus pontos de
acumulacao conteria pontos de condensacao e naum poderia ser enumeravel).
Logo, A eh enumeravel.
2) Se A eh um subconjunto de R limitado
superiormente, entao o supremo de A pertence a A.
Se s = supremo A naum pertencesse a A, entao s seria ponto de acumulacao
de
A. Mas como A eh finito, A naum possui nenhum ponto de acumulacao. Logo,
temos necessariamente que s pertence a A.
No caso (1) eu estou com dificuldades na primeira
parte, embora a conclusao pareca intuitiva.
Tambem acho, embora a prova formal naum seja assim tao imediata
Com relacao a segunda parte, um bom exemplo eh B =
conjunto dos racionais, certo? Eh enumeravel, mas o
conjunto de seus pontos de acumulacao eh o proprio
R, que naum eh enumeravel.
Exatamente.
Artur
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Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos
E, de fato a mensagem original da Ana nao dizia, conforme eu erradamente interpretei, que o conjunto limitado superiormente era finito. A prova que eu dei supunha isto. Mas acho que foi isto que ela quis dizer, porque senão naum hah nada a provar, a afirmacao eh obvia. E ela mesma disse que a afirmacao parecia obvia Artur ___ Do you Yahoo!? Shop for Back-to-School deals on Yahoo! Shopping. http://shopping.yahoo.com/backtoschool = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos
Esclarecendo: Na segunda afirmação o conjunto em questão era de fato finito. A afirmação era: Se A é um subconjunto de R finito e limitado superiormente, então o supremo de A pertence a A. Desculpem ter comido a palavra finito. O Artur interpretou certo, acho que porque isto estava escrito no cabeçalho da mensagem. Ana __ Do you Yahoo!? New and Improved Yahoo! Mail - Send 10MB messages! http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] conjuntos conexos
Lista OBM said:
Gostaria de uma ajuda nos dois problemas abaixo:
1) Prove que para toda função contínua f:S^1 -- R existe um ponto x em
S^1 = {v em R^2 ; |v| = 1} tal que f(x) = f(-x).
[...]
Considere g(x) = f(x) - f(-x). Note que g(-x) = -g(x); se g for
identicamente nula, acabou; senão, existe y tal que g(y) != 0, e aí é só
usar o TVI em uma parametrização conveniente de S^1.
[]s,
--
Fábio Dias Moreira
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Re: [obm-l] Conjuntos 2
Alexandre.
Como {-1,1} c X, então -1 pertence a X e 1 pertence a X.
Além disso, X c { -1,0,1,2,3}, portanto -1,0,1,2,3 são os únicos possíveis elementos de X.
Como -1 e 1 certamente são elementos de X, temos que 0 pode pertencer ou não a X (2 escolhas), 2 pode pertencer ou não a X (2 escolhas) e 3 pode pertencer ou não a X (2 escolhas). Pelo princípio multiplicativo existem, portanto, 2x2x2=8 possíveis escolhas para os elementos de X e portanto P tem 8 elementos que correspondem a essas escolhas.
[]'s
Hugo.Alexandre Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja P = {x;{-1,1} c x c {-1,0,1,2,3}}. Então o número de elementos de P é:
obs.: c = está contido.
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Re: [obm-l] Conjuntos 2
Alexandre.
Como {-1,1} c X, então -1 pertence a X e 1 pertence a X.
Além disso, X c { -1,0,1,2,3}, portanto -1,0,1,2,3 são os únicos possíveis elementos de X.
Como -1 e 1 certamente são elementos de X, temos que 0 pode pertencer ou não a X (2 escolhas), 2 pode pertencer ou não a X (2 escolhas) e 3 pode pertencer ou não a X (2 escolhas). Pelo princípio multiplicativo existem, portanto, 2x2x2=8 possíveis escolhas para os elementos de X e portanto P tem 8 elementos que correspondem a essas escolhas.
[]'s
Hugo.Alexandre Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja P = {x;{-1,1} c x c {-1,0,1,2,3}}. Então o número de elementos de P é:
obs.: c = está contido.
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Re: [obm-l] Conjuntos 1
Alexandre Bastos wrote: Probleminha de conjuntos: Seja K um subconjunto próprio do conjunto dos inteiros, gozando da seguinte propriedade: x,y pertencem a K = (x-y) pertencem a K. Então, dados a, b pertencentes a K: a) podemos garantir que a+b pertence a K b) não podemos garantir que zero pertence a K c) não podemos garantir que a+7b pertence a K d) podemos garantir que 1 pertence a K a e a pertencem a K = (a-a)=0 pertence a K 0 e b pertencem a K = (0-b)=-b pertence a K a e -b pertercem a K = (a-(-b))=a+b pertence a K resposta (a) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Conjuntos 1
Olá! Sei que a pertence a K = fazendo x=y=a temos que (x-y) =0 pertence a K. Tomando x=a=0 e y=b = (x-y)=-b pertence a K Dai, tomando x=a e y=-b tenho que vale (x-y) pertence a K, ou seja (a-(-b))=a+b pertence a K, reposta a) Probleminha de conjuntos: Seja K um subconjunto próprio do conjunto dos inteiros, gozando da seguinte propriedade: x,y pertencem a K = (x-y) pertencem a K. Então, dados a, b pertencentes a K: a) podemos garantir que a+b pertence a K b) não podemos garantir que zero pertence a K c) não podemos garantir que a+7b pertence a K d) podemos garantir que 1 pertence a K - Yahoo! Mail agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e antivírus grátis! Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] conjuntos fechados
Seja F um conjunto fechado e enumeravel de R^n. Se todo elemento de F for ponto de acumulacao do mesmo, entao F eh perfeito (um conjuto eh perfeito se for fechado e todos seus elementos forem pontos de acumulacao do mesmo). Em razao disto, F, contrariamente aa hipotese, naum eh enumeravel (em R^n, conjuntos perfeitos naum sao enumeraveis). Logo, F contem um elemento que naum eh ponto de acumulacao dele e, desta forma, eh um ponto isolado. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] conjuntos fechados Data: 31/03/04 18:01 Alguém podia me mostrar que em R^n todo conjunto fechado enumerável possui algum ponto isolado. Desde já agradecido _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] conjuntos fechados
Na realidade, nesta prova o que eu fiz foi tomar a contra positiva da afirmacao Se P eh um subconjuto perfeito de R^n, entao P naum eh enumeravel. O trabalho estah, na realidade, em provar tal fato, que eu jah admiti como conhecido. Seja P um subconjunto perfeito de R^n e X = (x_1, x_2x_n...} uma enumeracao qualquer de seus elementos. Precisamos mostrar que X naum engloba a totalidade de P. Seja a um elemento de P arbitrariamente escolhido e . aimente --- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Seja F um conjunto fechado e enumeravel de R^n. Se todo elemento de F for ponto de acumulacao do mesmo, entao F eh perfeito (um conjuto eh perfeito se for fechado e todos seus elementos forem pontos de acumulacao do mesmo). Em razao disto, F, contrariamente aa hipotese, naum eh enumeravel (em R^n, conjuntos perfeitos naum sao enumeraveis). Logo, F contem um elemento que naum eh ponto de acumulacao dele e, desta forma, eh um ponto isolado. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] conjuntos fechados Data: 31/03/04 18:01 Alguém podia me mostrar que em R^n todo conjunto fechado enumerável possui algum ponto isolado. Desde já agradecido _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time. http://taxes.yahoo.com/filing.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] conjuntos fechados
Na realidade, nesta prova o que eu fiz foi tomar a
contra positiva da afirmacao Se P eh um subconjuto
perfeito de R^n, entao P naum eh enumeravel. O
trabalho estah, na realidade, em provar tal fato, que
eu jah admiti como conhecido.
Seja P um subconjunto perfeito de R^n e X = (x_1,
x_2x_n...} uma enumeracao qualquer de seus
elementos. Precisamos mostrar que X naum engloba a
totalidade de P.
Seja a um elemento de P arbitrariamente escolhido e V
uma vizinhanca limitada de a (por exemplo, uma bola
aberta). Entao, V contem uma infinidade de elementos
de P, pois a eh ponto de acumulacao de P. Escolhamos
agora uma vizinhanca V_1 de a, contida em V, cujo
fecho V*_1 naum contenha x_1 (para isto, basta
escolher em V um elemento distinto de x1 - hah
infinitos - e construir em torno dele uma bola de raio
suficientemente pequeno). De modo indutivo, suponhamos
escolhidas vizinhancas encaixadas V_1,V_n, de
elementos de P, tais que, para todo i=1,...n, x_i nao
pertenca ao fecho de V_i. V_n eh vizinhanca de algum
elemento de P e, portanto, contem uma infinidade de
elementos de P. Escolhamos um distinto de x_n+1 e,
atraves do mesmo processo citado na base da inducao,
escolhamos uma vizinhanca V_n+1 deste elemento,
contida em V_n e tal x_n+1 naum pertenca a V*_n+1.
Isto completa o processo indutivo e mostra existir uma
sequecia {V_n} de vizinhancas encaixadas de elementos
de P tais que, para cada n, x_n naum pertence a V*_n.
Consideremos agora sequencia de conjuntos {F_n} =
{V*_n inter P}. Eh imediato que esta eh uma sequencia
encaixada de conjuntos nao vazios - cada V_n
intersecta P, de modo que o mesmo se verifica para
V*_n. Como cada V*_n eh compacto - eh fechado e
limitado (Heine Borel) - e P eh fechado, temos que
cada F_n eh compacto. Logo {F_n} eh uma sequencia
encaixada de conjuntos compactos e nao vazios de R^n,
o que implica na existencia de um elemento x comum a
todos os F_n. Por construcao, x pertence a P e, pela
construcao da sequencia de vizinhancas {V_n}, nenhum
elemento da enumeracao X eh comum a todos os F_n.
Logo, P contem um elemento naum englobado em X. Como a
enumeracao X eh arbitraria, concluimos que nenhuma
enumeracao de elementos de P o cobre em sua totalidade
e que P, portanto, naum eh enumeravel.
Esta conclusao eh um caso particular de uma outra mais
geral: Se X eh um espaco de Hausdorff compacto que nao
contenha pontos isolados, entao X naum eh enumeravel.
Artur
PS. Eu acho que enviei acidentalmente uma mensagem
incompleta
--- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja F um conjunto fechado e enumeravel de R^n. Se
todo elemento de F for
ponto de acumulacao do mesmo, entao F eh perfeito
(um conjuto eh perfeito se
for fechado e todos seus elementos forem pontos de
acumulacao do mesmo). Em
razao disto, F, contrariamente aa hipotese, naum eh
enumeravel (em R^n,
conjuntos perfeitos naum sao enumeraveis). Logo, F
contem um elemento que
naum eh ponto de acumulacao dele e, desta forma, eh
um ponto isolado.
Artur
- Mensagem Original
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] conjuntos fechados
Data: 31/03/04 18:01
Alguém podia me mostrar que em R^n todo conjunto
fechado enumerável possui
algum ponto isolado.
Desde já agradecido
_
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usar a lista em
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Re: [obm-l] Conjuntos e conteudo nulo
B tem conteudo nulo assim para todo epsilon 0 existe um numero finito de retangulos R[1], R[2], ...,R[n] tal que B C R[1] U R[2] U ... U R[n] e Somatoria[i=1 até n]m(R[i]) epsilon Se A C B , então obviamente A C R[1] U R[2] U ... U R[n] e como Somatoria[i=1 até n]m(R[i]) epsilon A tem conteudo nulo. Será que esta certo? Por que nao estaria? Pra mim foi na intuição. Quando vamos nos encontrar no IME? estou sempre nas primeiras fileiras lá -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski When we ask advice, we are usually looking for an accomplice. Joseph Louis LaGrange = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos e conteudo nulo
Oi, Niski: A relação de continência (adorei esta palavra!Mefaz lembrar dos meus tempos num outro IME - o do Rio de Janeiro) é transitiva. Logo, se A está contido em B e B está contido em UNIÃO(1=i=n) R[i], então A está contido em UNIÃO(1=i=n) R[i]. Assim, por definição, A tem conteúdo nulo. *** Eh bem facil voce me encontrar na sala de aula de análise real: olhe pra trás e você vai ver um tipo super boa-pinta, tipo Brad Pitt só que mais bonito,extremamente bem-vestido e que faz comentários inteligentíssimos e ultra-relevantes na aula: eu vou estar sentado do lado dele. []´s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 10 Mar 2004 13:31:18 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Conjuntos e conteudo nulo B tem conteudo nulo assim para todo epsilon 0 existe um numero finito de retangulos R[1], R[2], ...,R[n] tal que B C R[1] U R[2] U ... U R[n] e Somatoria[i=1 até n]m(R[i]) epsilon Se A C B , então obviamente A C R[1] U R[2] U ... U R[n] e como Somatoria[i=1 até n]m(R[i]) epsilon A tem conteudo nulo. Será que esta certo? Por que nao estaria? Pra mim foi na intuição. Quando vamos nos encontrar no IME? estou sempre nas primeiras fileiras lá -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski "When we ask advice, we are usually looking for an accomplice." Joseph Louis LaGrange
Re: [obm-l] Conjuntos e conteudo nulo
on 10.03.04 00:01, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, estava estudando integrais duplas e me deparei com o conceito de conteúdo nulo. Depois vieram os exercicios: (NOTACAO PARA ESTA MENSAGEM: C = contido , U = união , m(R[i]) = area do retangulo R[i]) Sejam A e B subconjuntos do R^2, com A C B. Prove que se B tiver conteúdo nulo, então A também terá Infelizmente, alguns livros no prefacio falam que a obra se destina um tipo de aluno e não cumprem a promessa. Por isso não tenho a solução deste problema nem no fim do livro (certamente para agradar professores que não estão afim de inovar e adotam um livro desse tipo para montar listas de exercicios). Acredito ser um problema simples, mas não acho que já tenho maturidade matematica para resolve-lo da maneira correta. Segue minha tentativa inocente: B tem conteudo nulo assim para todo epsilon 0 existe um numero finito de retangulos R[1], R[2], ...,R[n] tal que B C R[1] U R[2] U ... U R[n] e Somatoria[i=1 até n]m(R[i]) epsilon Se A C B , então obviamente A C R[1] U R[2] U ... U R[n] e como Somatoria[i=1 até n]m(R[i]) epsilon A tem conteudo nulo. Será que esta certo? Por que nao estaria? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos
Thor, Para o problema 1, sabemos que n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A inter B) - n(A inter C) - n(B inter C) + n(A inter B inter C). (Se, por acaso, você não reconhecer essa identidade, ela é facilmente verificada por diagramas de Venn). Do enunciado, n(B U C) = n(B) + n(C) - n(B inter C) = 20. Substituindo na identidade anterior: n(A) + 20 - 5 - 4 + 1 = 22 == n(A) = 10. Como interessam os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem à intersecção de B e C, e sabemos que n(A inter B inter C) = 1, teremos n[A - (B inter C)] = 10 - 1 = 9. Alternativa B. Para o problema 2, da identidade n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A inter B), e substituindo n(A U B) = 10 e n(A inter B) = 5, teremos: n(A) + n(B) = 15. Considerando n(A) n(B), teremos as seguintes possibilidades: n(A)n(B) 15 0 14 1 13 2 12 3 11 4 10 5 9 6 8 7 Porém, n(A inter B) = 5 assegura que o conjunto B terá, pelos menos, cinco elementos, invalidando as nossas cinco primeiras possibilidades. Assim: n(A) = 10 == n(A-B) = 5 n(A) = 9 == n(A-B) = 4 n(A) = 8 == n(A-B) = 3 Somando os valores possíveis de n(A-B) chegamos a 12, indicado na alternativa C. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Thor To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 02, 2004 6:54 PM Subject: [obm-l] Conjuntos 01)Dados os conjuntos , e , tais que , , , e ), o valor de é: (A) 10 (D) 7 (B) 9 (E) 6 (C) 8 02)Dados dois conjuntos e tais que , e , pode-se afirmar que a soma dos valores possíveis para é: (A) 10(D) 13 (B) 11(E) 14 (C) 12 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Conjuntos convexos
Ignorem a minha pergunta... Hehe... Não tinha parado pra pensar nem 3 segundos... yx^2 pode ser um exemplo de conjunto não convexo né? Exatamente. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Conjuntos convexos
Ignorem a minha pergunta... Hehe... Não tinha parado pra pensar nem 3 segundos... yx^2 pode ser um exemplo de conjunto não convexo né? Olá! Alguém poderia me dar uns exemplos de conjuntos q não sejam convexos? ___ ___ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Conjuntos convexos
Olá! Alguém poderia me dar uns exemplos de conjuntos q não sejam convexos? Basta considerar um conjunto em R^n que nao seja conexo. Por exemplo, no R^2, a uniao de dois circulos abertos que nao contenham um elemento comum. Na reta real, a uniao de dois intervalos abertos disjuntos. Eh facil ver que nem todo segmento que una dois pontos do conjunto estah inteiramente contido no conjunto. Se, no primeiro exemplo, o conjunto for a uniao de dois circulos C1 e C2, entao nenhum segmento que una um ponto de C1 a um ponto de C2 esta contido na uniao dos mesmos. Outros bons exemplos sao, no plano R^2, os poligonos ditos estrelados. Por exemplo, divida a circunferencia em arcos iguais de 72o, numere os 5 pontos correspondentes aas extremidades dos arcos (por exemplo, no sentido horario) e, comecando no ponto 1, una o ponto 1 ao 3, o 3 ao 5, o 5 ao 2 e assim sucessivamente ateh voltar ao ponto 1. Voce obtem um pentagono estrelado, que nao eh convexo. Para quem, como eu, lida com algoritmos de otimizacao, conjuntos nao convexos sao uma desgraca! Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Conjuntos convexos
VAleu! Obrigado Artur!! Olá! Alguém poderia me dar uns exemplos de conjuntos q não sejam convexos? Basta considerar um conjunto em R^n que nao seja conexo . Por exemplo, no R^2, a uniao de dois circulos abertos que nao contenham um elemento comum. Na reta real, a uniao de dois intervalos abertos disjun tos. Eh facil ver que nem todo segmento que una dois pontos do conjunto estah inteiramente contido no conjunto. Se, no primeiro exemplo, o conjunto for a uniao de dois circulos C1 e C2, entao nenhum segmento que una um pont o de C1 a um ponto de C2 esta contido na uniao dos mesmos. Outros bons exemplos sao, no plano R^2, os poligonos di tos estrelados. Por exemplo, divida a circunferencia em arcos iguais de 72o , numere os 5 pontos correspondentes aas extremidades dos arcos (por exemplo , no sentido horario) e, comecando no ponto 1, una o ponto 1 ao 3, o 3 ao 5, o 5 ao 2 e assim sucessivamente ateh voltar ao ponto 1. Voce obtem um pe ntagono estrelado, que nao eh convexo. Para quem, como eu, lida com algoritmos de otimizacao, conjuntos nao convexos sao uma desgraca! Artur === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica
foi mostrado que x está em A-B, mas eu queria chegar que x está em (A-B)U(B-A) .. ora, se x está em A-B, então x está em A-B unido com qualquer coisa .. em particular .. unido com B-A .. certo?? 2º) Na resposta do Gabriel, seja x em AUB-AinterB, logo x está em AUB e x nao está em AinterB ou seja x está em A ou x está em B, mas x nao está em AinterB. suponha x em A, como x nao está em AinterB, entao x nao está em B logo x está em A-B = x está em (A-B)U(B-A) (se x está em D entao x está em D U C para todo C) Eu não entendi essa implicação... -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica
Valeu pessoal! Não me restam mais dúvidas... Paz, Saúde, e Prosperidade para todos. Nelson Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!
Re: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica
Olá, primeiramente, obrigado pela ajuda.
Não entendi as seguintes identidades que você postou:
NOTAÇÃO: ~E = não pertence
A-B = A-(AinterB) = {xEA e x~E(AinterB)} = {xEA e x~E(xEA e xEB)} não seria contradição?B-A = B-(BinterA) =análogo ao de cima
[]´s
NelsonQwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote:
acho ki e assim:A-B = A-(AinterB)B-A = B-(BinterA)A-B U B-A = [A-(AinterB)] U [B-(AinterB)] = (AUB)-(AinterB)- Original Message -From: NelsonTo: [EMAIL PROTECTED]Sent: Monday, December 29, 2003 6:35 PMSubjectt: [obm-l] Conjuntos - diferença simétricaOlá pessoal,Gostaria que alguém demonstrasse a seguinte identidade:(A-B) U (B-A) = (AUB)-(AinterB)Desde já agradeço,e FELIZ ANO NOVO PARA TODOS!Nelson_Have fun customizing MSN Messenger learn how here! http://www.msnmessenger-download.com/tracking/reach_customize=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!
[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica
Eu fiz desse jeito: Notação: T-- conjunto universo J -- conjunto J J' -- conjunto complementarà J (pertence à T, mas não pertence a J) Então, segue que: ( A -B ) U ( B - A ) = ( A U B ) - ( A inter B ) ( A inter B' ) U ( B inter A' ) = ( A U B ) inter ( A inter B )' Pelas Relações de Morgan: ( A inter B' ) U ( B inter A' ) = ( A U B ) inter ( A' U B' ) ( A U B ) inter ( A U A') inter ( B U B' ) inter ( B' U A' ) = ( A U B ) inter ( A' U B' ) Mas como um conjunto J U J' é o conjunto universo (T): ( A U B ) inter (T) inter (T ) inter ( B' U A' ) = ( A U B ) inter ( A' U B' ) Portanto: ( A U B ) inter ( B' U A' ) = ( A U B ) inter ( A' U B' ) ( A U B ) inter ( A' U B' ) = ( A U B ) inter ( A' U B' ) Provado. Alguém me corrija se eu errei em algum ponto por favor. Abraços - Original Message - From: Nelson To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, December 29, 2003 9:35 PM Subject: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica Olápessoal, Gostaria que alguém demonstrasse a seguinte identidade: (A-B) U (B-A) = (AUB)-(AinterB) Desde já agradeço, e FELIZ ANO NOVO PARA TODOS! Nelson Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades! Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 24/12/2003 / Versão: 1.4.1Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
Re: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica
From: Nelson [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica
Date: Tue, 30 Dec 2003 08:47:18 -0300 (ART)
Olá, primeiramente, obrigado pela ajuda.
Não entendi as seguintes identidades que você postou:
NOTAÇÃO: ~E = não pertence
A-B = A-(AinterB) = {xEA e x~E(AinterB)} = {xEA e x~E(xEA e xEB)} não
seria contradição?
Nao vejo contradicao, mas vou tentar outro approach... vamos rescrever B
como (B-A) U (BinterA)
A-B=A-((B-A)U(AinterB))=(A-(B-A))inter(A-(AinterB), como A-(B-A)=A=
(A-(B-A))inter(A-(AinterB) = Ainter(A-(AinterB)), como A-X esta contido em
A=
A inter (A-(AinterB)) = A-(AinterB)
Sera ki melhorou ou piorou?
B-A = B-(BinterA) = análogo ao de cima
[]´s
Nelson
Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote:
acho ki e assim:
A-B = A-(AinterB)
B-A = B-(BinterA)
A-B U B-A = [A-(AinterB)] U [B-(AinterB)] = (AUB)-(AinterB)
- Original Message -
From: Nelson
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, December 29, 2003 6:35 PM
Subject: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica
Olá pessoal,
Gostaria que alguém demonstrasse a seguinte identidade:
(A-B) U (B-A) = (AUB)-(AinterB)
Desde já agradeço,
e FELIZ ANO NOVO PARA TODOS!
Nelson
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[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica
Gostaria que alguém demonstrasse a seguinte identidade: (A-B) U (B-A) = (AUB)-(AinterB) Olá Nelson, vou provar primeiro que se x está em (A-B)U(B-A) então x está em AUB-AinterB seja x em (A-B)U(B-A) entao x está em A-B ou x está em B-A suponha x em A-B então x está em A e não está em B como x está em A, então x está em AUB, como x nao está em B, entao x nao está em AinterB .. logo x está em AUB e nao está em AinterB .. ou seja x está em AUB-AinterB .. suponha x em B-A .. o raciocínio é análogo e concluímos que x está em AUB-AinterB agora precisa provar que se x está AUB-AinterB então x está em (A-B)U(B-A) seja x em AUB-AinterB, logo x está em AUB e x nao está em AinterB ou seja x está em A ou x está em B, mas x nao está em AinterB. suponha x em A, como x nao está em AinterB, entao x nao está em B logo x está em A-B = x está em (A-B)U(B-A) (se x está em D entao x está em D U C para todo C) suponha x em B .. e analogamente temos x em (A-B)U(B-A) das argumentações acima provamos que (A-B)U(B-A) = AUB-AinterB Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica
Olá, primeiramente, obrigado pela ajuda. Foram 3 formas diferentes para responder uma mesma pergunta. Mas, infelizmente, gostaria de ponderar sobre algumas respostas: 1º) Na resposta do Claudio, ( A -B ) U ( B - A ) = ( A U B ) - ( A inter B ) ( A inter B' ) U ( B inter A' ) = ( A U B ) inter ( A inter B )' Pelo diagrama de euler-venn verifiquei que está correto, mas gostaria de saberse isso éidentidade? 2º) Na resposta do Gabriel, seja x em AUB-AinterB, logo x está em AUB e x nao está em AinterBou seja x está em A ou x está em B, mas x nao está em AinterB.suponha x em A, como x nao está em AinterB, entao x nao está em B logo x está em A-B = x está em (A-B)U(B-A) (se x está em D entao x está em D U C para todo C) Eu não entendi essa implicação... Quanto a do Quwert Smith entendi. P.S.: Desculpem-me se minhaforma de escrever (citando nomes,etc) foi inadequada, ou se de alguma forma constrangiu alguém. []´s Nelson Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!
[obm-l] RE: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica
Uma maneira facil de demonstrar eh usar a propriedade distributiva da uniao com relacao aa intersecao. Temos que A-B =A inter B', sendo B' o complementar de B; Analogamente, B-A = B inter A'. Logo, (A-B) U (B-A) = (A inter B') U (B inter A') = (A U B) inter (A U A')inter (B'U B) inter (B'U A') = (A U B) inter (A'U B'), visto que A U A' e B U B' sao o conjunto universo. Pelas leis de De Morgan, A'U B' = (A inter B)'. Logo, (A-B) U (B-A) = (A U B) inter (A inter B)' = (A U B) - (A inter B). Bom 2004! Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Nelson Sent: Monday, December 29, 2003 9:35 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica Olá pessoal, Gostaria que alguém demonstrasse a seguinte identidade: (A-B) U (B-A) = (AUB)-(AinterB) Desde já agradeço, e FELIZ ANO NOVO PARA TODOS! Nelson Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica
De forma alguma isso me constrange, pode
mecitar o quanto quiser, seja dúvida, crítica ou o que for. Pelo
contrário, é melhor pois assin aprendo mais.
Vamos lá, vou tentar provar usando as
definições.
( A -B ) U ( B - A ) = ( A U
B ) - ( A inter B )
( A inter B' ) U ( B inter
A' ) = ( A U B ) inter ( A inter B )'
(A - B) = {xEA e x~EB} = {xEA e
xEB' (*)} = (A inter B')
Entao temos que...
( A -B ) U ( B - A ) = ( A U
B ) - ( A inter B )
( A inter
B') U ( B inter A' ) = ( A U B ) inter (A inter
B)'
Como o
complementar de uma união é a intersecção dos complementares
(Morgan)...
( A inter
B') U ( B inter A' ) = ( A U B )inter (A'U
B')
Aplicando a distributiva ao segundo
membro...
( A inter
B') U ( B inter A' ) =( A inter A' ) U ( A inter B') U ( B
inter A') U ( B inter B' )
( A inter
B') U ( B inter A' ) =(vazio ) U ( A inter B') U ( B
inter A') U (vazio )
( A inter
B') U ( B inter A' ) =( A inter B') U ( B inter
A')
(*) pois se ele nao pertence ao B, entao ele
pertence ao complementar dele
Espero ter conseguido provar. Se a dúvida
persistir não hesite em chamar novamente. Ou se eu errei alguma passagem.
:-)
Feliz 2004 à todos.
Claudio Freitas
- Original Message -
From:
Nelson
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, December 30, 2003 10:40
PM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l]
Conjuntos - diferença simétrica
Olá, primeiramente, obrigado pela ajuda. Foram 3 formas diferentes para
responder uma mesma pergunta.
Mas, infelizmente, gostaria de ponderar sobre algumas respostas:
1º) Na resposta do Claudio,
( A -B ) U ( B - A ) = ( A
U B ) - ( A inter B )
( A inter
B' ) U ( B inter A' ) = ( A U B ) inter ( A inter B )'
Pelo diagrama de euler-venn
verifiquei que está correto, mas gostaria de saberse isso
éidentidade?
2º) Na resposta do
Gabriel,
seja x em
AUB-AinterB, logo x está em AUB e x nao está em AinterBou seja x está em A
ou x está em B, mas x nao está em AinterB.suponha x em A, como x nao está
em AinterB, entao x nao está em B logo x está em A-B = x está em
(A-B)U(B-A) (se x está em D entao x está em D U C para todo
C)
Eu não entendi essa
implicação...
Quanto a do Quwert Smith
entendi.
P.S.: Desculpem-me se
minhaforma de escrever (citando nomes,etc) foi inadequada, ou se
de alguma forma constrangiu alguém.
[]´s
Nelson
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anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas,
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Re: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica
acho ki e assim: A-B = A-(AinterB) B-A = B-(BinterA) A-B U B-A = [A-(AinterB)] U [B-(AinterB)] = (AUB)-(AinterB) - Original Message - From: Nelson To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, December 29, 2003 6:35 PM Subject: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica Olá pessoal, Gostaria que alguém demonstrasse a seguinte identidade: (A-B) U (B-A) = (AUB)-(AinterB) Desde já agradeço, e FELIZ ANO NOVO PARA TODOS! Nelson _ Have fun customizing MSN Messenger learn how here! http://www.msnmessenger-download.com/tracking/reach_customize = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos
Oi, Domingos: Imagino que este resultado seja apenas um lema. Qual o teorema principal que voce quer provar? Um abraco, Claudio. on 15.12.03 22:27, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá! Gostaria de provar o seguinte resultado: Seja S um conjunto de reais não-enumerável, existe um subconjunto T de S que é denso (ie: para todo x y em T existe z em T com x z y). Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
