Re: [obm-l] elementos de ordem 2 em grupos abelianos
on 12.10.04 02:00, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Eu estava comendo mosca. Se G é um grupo abeliano no qual todo elemento
salvo a unidade tem ordem 2, então G tem 2^n elementos. Esse resultado segue
do teorema de Cauchy. Porém ainda não dá para assegurar que dado n qualquer
seja possível formar um grupo com 2^n elementos nessas condições, embora até
n=3 tenha dado certo.
Que tal (Z_2)^n = espaco vetorial das n-uplas ordenadas cujas componentes
sao elementos de Z_2, ou seja, 0 ou 1, com a operacao de soma componente a
componente e tal que 0+0 = 1+1 = 0 e 0+1 = 1+0 = 1?
A hipotese de G ser abeliano e o teorema de Cauchy tambem sao
desnecessarios. Todo grupo finito G em que os elementos distintos da
identidade tem ordem 2 eh necessariamente abeliano e tem ordem 2^n para
algum n.
Dados a e b em G, teremos a^2 = b^2 = e == a^2b^2 = aabb = e.
Tambem (ab)^2 = abab = e. Ou seja, aabb = abab e cancelando a na esquerda e
b na direita obtemos ab = ba, o que prova que G eh abeliano.
Agora, tomemos um conjunto minimal de geradores do grupo G (uma base, por
assim dizer) x_1, x_2, ..., x_n. Cada elemento de G pode ser expresso de
forma unica da forma x_1^a_1*x^2^a_2*...*x_n^a_n, onde a_i eh um inteiro
nao-negativo para 1 = i = n.
Levando em conta que x_i^2 = e, vemos que podemos restringir cada a_i ao
conjunto {0,1}. Isso dah 2 alternativas para cada a_i, num total de 2^n
alternativas, uma para cada elemento de G. Logo |G| = 2^n.
[]s,
Claudio.
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
É fácil mostrar que se G é um grupo abeliano, então ou não existe nenhum
elemento de ordem 2 em G, ou então existe um número ímpar de elementos desse
tipo; basta observar que juntamente com a unidade eles formam um subgrupo H
de G e então usar Lagrange em cima de um subgrupo gerado por qualquer
elemento (diferente da unidade) de H.
No entanto, dado um x ímpar qualquer, nem sempre é possível formar um grupo
abeliano que tenha x elementos de ordem 2; pelo menos eu desconfio disso.
Fazendo algumas computações, consegui formar grupos abelianos com 1 e 3
elementos de ordem 2, mas ao inserir um 4º elemento, acabei terminando com 7
no total, ou seja, não consegui formar um grupo com 5 elementos de ordem 2.
Enfim, alguém saberia dizer mais a esse respeito? Existe alguma regularidade
na formação de grupos abelianos com elementos de ordem 2 (para facilitar a
vida, considere um grupo onde todos os elementos diferentes da unidade têm
ordem 2), isto é, os números possíveis de elementos desses grupos?
[]s,
Daniel
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] elementos de ordem 2 em grupos abelianos
Que tal (Z_2)^n = espaco vetorial das n-uplas ordenadas cujas componentes sao elementos de Z_2, ou seja, 0 ou 1, com a operacao de soma componente a componente e tal que 0+0 = 1+1 = 0 e 0+1 = 1+0 = 1? Ok!, embora eu não chamaria isso a rigor de espaço vetorial. A hipotese de G ser abeliano e o teorema de Cauchy tambem sao desnecessarios. Todo grupo finito G em que os elementos distintos da identidade tem ordem 2 eh necessariamente abeliano e tem ordem 2^n para algum n. Concordo totalmente com vc, e aliás a primeira parte é trivial; apenas estava encurtando o trabalho. Como essa minha pergunta se originou de certo modo de um problema que constava logo após a introdução do teorema de Cauchy, no livro que uso, preferi não desperdiçar a oportunidade de usá-lo... []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] elementos de ordem 2 em grupos abelianos
Eu estava comendo mosca. Se G é um grupo abeliano no qual todo elemento salvo a unidade tem ordem 2, então G tem 2^n elementos. Esse resultado segue do teorema de Cauchy. Porém ainda não dá para assegurar que dado n qualquer seja possível formar um grupo com 2^n elementos nessas condições, embora até n=3 tenha dado certo. [EMAIL PROTECTED] escreveu: É fácil mostrar que se G é um grupo abeliano, então ou não existe nenhum elemento de ordem 2 em G, ou então existe um número ímpar de elementos desse tipo; basta observar que juntamente com a unidade eles formam um subgrupo H de G e então usar Lagrange em cima de um subgrupo gerado por qualquer elemento (diferente da unidade) de H. No entanto, dado um x ímpar qualquer, nem sempre é possível formar um grupo abeliano que tenha x elementos de ordem 2; pelo menos eu desconfio disso. Fazendo algumas computações, consegui formar grupos abelianos com 1 e 3 elementos de ordem 2, mas ao inserir um 4º elemento, acabei terminando com 7 no total, ou seja, não consegui formar um grupo com 5 elementos de ordem 2. Enfim, alguém saberia dizer mais a esse respeito? Existe alguma regularidade na formação de grupos abelianos com elementos de ordem 2 (para facilitar a vida, considere um grupo onde todos os elementos diferentes da unidade têm ordem 2), isto é, os números possíveis de elementos desses grupos? []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
