Re: Problema sobre primos
> Tem certeza de q vc escreveu corretamente a funcao??? Sim, está correto. Assim fica mais fácil de entender: f(x, y)=(y-1)[|B^2-1|-(B^2-1)]/2 + 2, > onde B=x(y+1)-(y!+1), x e y são números naturais, gera somente números > primos, gera todos os primos e gera todos os primos ímpares exatamente uma > vez. |B^2-1| é o valor absoluto de (B^2-1)
Re: Problema sobre primos
Fiquei admirado com a formula pra primos.tô até meio confuso aindauma função geratriz para os numeros primosdesculpe a brincadeira eric... Ruy
Re: Problema sobre primos
Bom, como a obm-u ja esta na internet, acredito que ja se possa comentar
sobre a prova..
Como que o pessoal daqui da lista foi? Alguns eu ja sei porque fizeram a
prova perto de mim, mas e o resto? o pessoal de fora do Rio por exemplo :) .
Quantos pontos voces acham que fizeram?
Acharam mais facil ou mais dificil que a do ano passado? A segunda
questao e a primeira pareciam ser um pouco mais faceis que as outras.. mas
mesmo assim nao consegui escrever muito bem na segunda.. e a primeira era
muita conta..
Mas o que eu queria escrever mesmo era sobre a questao do somatorio (a
6a).. Na prova eu nao consegui fazer de jeito nenhum, mas depois, folheando
um livro de numeros complexos em casa, descobrir uma questao bem parecida, e
a partir dela a solucao da questao da prova era mais simples.. O mais legal
eh que usa raizes da unidades, de um modo semelhante ao que foi usado pelo
Nicolau aqui na lista pra provar um problema de geometria usando complexos..
A solucao de que falo eh mais ou menos assim (desculpem se a solucao estiver
muito chata de ser lida.. escrever no computador eh meio complicado):
Sejam 1,e,e^2,..., e^(n-1) as raizes da n-esima da unidade.
Entao, os polinomios Prod.{z-e^k} (k=1..n-1) e 1+z+z^2+...+z^(n-1) sao
identicos. (pq tem as mesmas raizes e o mesmo coef. lider).
Substituindo z = 1 (ateh aqui ta igualzinho ao que foi colocado na lista
pelo Nicolau ha um tempo atras) e notando que 1 - e^ix =
2sen(x/2)*i*e^(-iPix/2), fica simples mostrar que (tem que fazer a conta num
papel.):
(I) sen(Pi/n)sen(2Pi/n)...sen[(n-1)Pi/n] = n/[2^(n-1)]
Mas entao, fazendo
cos(Pi/n)cos(2Pi/n)...cos[(n-1)Pi/n] = x, pode-se multiplicar as duas
equacoes para se obter
xn/[2^(n-1)] = {sen(2Pi/n)sen(4Pi/n)...sen[2(n-1)Pi/n]}*[1/2^(n-1)].
Mas se n for impar, n = 2t+1 e esse ultimo produto eh exatamente igual a
(I), pois:
sen[(2t+2)Pi/n] = sen[(2t-1)Pi/n],
sen[(2t+4)Pi/n] =sen[(2t-3)Pi/n],
... sen [(4t)Pi/n] = sen[Pi/n] (pq a soma dos argumentos ta dando sempre
congruente a Pi).
Logo, para n impar, a gente fica com nx = n/2^(n-1) donde x = 1/2^(n-1)
Para n par, o produtorio vale zero, e portanto a soma pedida eh a soma
de uma pg de razao -1/4 (pq ficou faltando o cosPi).
Aceito ideias sobre como fazer a 4 questao, pq ateh agora nao consegui ter
nem sequer uma ideia pra comecar a escrever nela (idem para a ultima, mas
essa eu nem tentei tanto pq o enunciado ja me assustou o suficiente).
Abracos,
Marcio
Re: Problema sobre primos
Se 2n + 1 é primo, é evidente que mdc(C[2n+1, 1], C[2n+1, 2], C[2n+1, 3], ..., C[2n+1, n]) é igual a (2n+1). Logo, max (2, 2n + 1) é igual a 2n+1 quando 2n+1 é primo, o que garante que todos os primos ímpares sejam representados. Agora seja 2n+1 um número igual a pq, sendo p e q dois fatores primos distintos, ambos menores que n+1. C [pq, p] = [pq * (pq - 1) * (pq - 2) * ... * (pq - p + 1)] / [2 * 3 * 4 * 5 * ... * p] Logo, C[pq, p] = q * [(pq - 1) * (pq - 2) * ... * (pq - p + 1)] / [2 * 3 * 4 * 5 * ... (p-1)] Observe que nenhum dos fatores do numerador acima é divisível por p, o que garante que C[pq, p] nao é divisível por p. C [pq, q] = [pq * (pq - 1) * (pq - 2) * ... * (pq - q + 1)] / [2 * 3 * 4 * 5 * ... * q] Logo, C[pq, q] = p * [(pq - 1) * (pq - 2) * ... * (pq - q + 1)] / [2 * 3 * 4 * 5 * ... (q-1)] Observe agora que nenhum dos fatores do numerador acima é divisível por q, o que garante que C[pq, q] nao é divisível por q. Mas C[pq, 1] = pq. Daí, o mdc de (pq), um número nao-divisível por p e outro número nao divisível por q é 1. Assim, max (2, 1) = 2, garantindo a presenca do 2 e excluindo compostos da forma pq. Para todos os números compostos cuja representacao em primos só possui expoentes menores que 2, o raciocínio é análogo ao anterior. Para compostos 2n+1 cuja representacao é da forma p^k * q^m * x^h * y^j *... , onde k é o expoente máximo e m é o segundo maior expoente, também vale o raciocínio, mas devemos tomar: C[2n + 1, 1], C[2n+1, p^i] , 0 < i < k+1 C[2n+1, q^i] , 0 < i < m+1 etc etc No entanto, se 2n+1 é igual a p^k, devemos tomar C[p^k, 1] e C[p^k, p^(k-1)] C[p^k, 1] = p^k C[p^k, p^(k-1)] é um número divisível por p, mas que nao é divisível por p^2. Isto garante que o mdc neste caso será igual a p. Entao máx (2, p) = p, que também é primo. - Original Message - From: "Eric Campos Bastos Guedes" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Obm-L" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Domingo, 7 de Outubro de 2001 21:39 Terezan Subject: Problema sobre primos Saudações Quero propor um problema aos companheiros da lista, e ao mesmo tempo comunicar que já o resolvi. Trata-se de uma fórmula para os números primos. Lá vai... Prove que a seguinte função, definida para os inteiros positivos, gera todos os números primos, e apenas primos. f(n) = max(2, mdc(C[2n+1, 1], C[2n+1, 2], C[2n+1, 3], ..., C[2n+1, n]) onde C[a,b] é o número binomial dado por a! / (b! (a-b)!) Esta é uma das fórmulas para primos que descobri e que está no meu livro "Fórmulas que geram números primos" (Papel Virtual editora www.papelvirtual.com.br ) Abraços, Eric.
Re: Problema sobre primos
> existem infinitas fórmulas que geram somente números primos. O que acontece > é que a grande maioria dessas fórmulas são inúteis do ponto de vista > prático. Correto. Vejam também http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne/node18.html onde Gugu e eu damos exemplos de fórmulas para primos. Uma delas é um polinômio de coeficientes inteiros e várias variáveis tal que ao substituirmos as variáveis por inteiros quase sempre obtemos um negativo. O legal é o quase: inteiros positivos aparecem para certas escolhas muito especiais dos valores das variáveis e aí o valor do polinômio é sempre primo. Mais exatamente: a interseção da imagem com o conjunto dos naturais é o conjunto dos primos. []s, N.
Re: Problema sobre primos
Tem certeza de q vc escreveu corretamente a funcao??? - Original Message - From: "Paulo Jose Rodrigues" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Segunda-feira, 8 de Outubro de 2001 16:15 Terezan Subject: Re: Problema sobre primos > Se vc resolveu esse problema, vc deveria dar conferencias no mundo > inteirovc seria maior que Gauss ou EinsteinTal formula não existe!!! > Um abraço e não se engane...essa lista não tem ingênuos... >Ruy Ruy, existem infinitas fórmulas que geram somente números primos. O que acontece é que a grande maioria dessas fórmulas são inúteis do ponto de vista prático. Por exemplo, não é difícil provar com a ajuda do Teorema de Wilson, que a função f(x, y)=(y-1)/2[|B^2-1|-(B^2-1)]+2, onde B=x(y+1)-(y!+1), x e y são números naturais, gera somente números primos, gera todos os primos e gera todos os primos ímpares exatamente uma vez.
Re: Problema sobre primos
Legal, não sabia que já existiam fórmulas que geravam primos e somente primos... Minhas desculpas ao Eric. =) []'s, M. >From: "Paulo Jose Rodrigues" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Re: Problema sobre primos >Date: Mon, 8 Oct 2001 16:15:15 -0300 > > > Se vc resolveu esse problema, vc deveria dar conferencias no mundo > > inteirovc seria maior que Gauss ou EinsteinTal formula não >existe!!! > > Um abraço e não se engane...essa lista não tem ingênuos... > >Ruy > >Ruy, > existem infinitas fórmulas que geram somente números primos. O que >acontece >é que a grande maioria dessas fórmulas são inúteis do ponto de vista >prático. > >Por exemplo, não é difícil provar com a ajuda do Teorema de Wilson, que a >função > >f(x, y)=(y-1)/2[|B^2-1|-(B^2-1)]+2, > >onde B=x(y+1)-(y!+1), x e y são números naturais, gera somente números >primos, gera todos os primos e gera todos os primos ímpares exatamente uma >vez. > > > _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Problema sobre primos
Como Uma fórmula que gera primos (e apenas primos) Dá um tempo!! Pior do que o menino que inventou uma constante! >From: "Eric Campos Bastos Guedes" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: "Obm-L" <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Problema sobre primos >Date: Sun, 7 Oct 2001 21:39:03 -0300 > >Saudações > >Quero propor um problema aos companheiros da lista, e ao mesmo tempo >comunicar que já o resolvi. Trata-se de uma fórmula para os números >primos. >Lá vai... > >Prove que a seguinte função, definida para os inteiros positivos, gera >todos >os números primos, e apenas primos. > >f(n) = max(2, mdc(C[2n+1, 1], C[2n+1, 2], C[2n+1, 3], ..., C[2n+1, n]) > >onde C[a,b] é o número binomial dado por a! / (b! (a-b)!) > >Esta é uma das fórmulas para primos que descobri e que está no meu livro >"Fórmulas que geram números primos" (Papel Virtual editora >www.papelvirtual.com.br ) > >Abraços, > >Eric. > _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Problema sobre primos
A fórmula de WILLANS, dada em 1964, fornece para o natural n o n-ésimo número primo p_n=1+SUM(i=1 até 2^n) da raiz n-ésima de (n/(1+pi(i)), onde pi(i) conta os números primos até i. Esta fórmula é bonita, mas totalmente inútil, note que para calcular o décimo primo, que é 29, devemos contar os primos até 1024. Certamente passaremos pelo 29!!! Um bom artigo sobre fórmulas que geram primos é o de Paulo Ribenboin, RMU , número 15. Abraços, Marcelo. - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, October 08, 2001 3:37 PM Subject: Re: Problema sobre primos > Se vc resolveu esse problema, vc deveria dar conferencias no mundo > inteirovc seria maior que Gauss ou EinsteinTal formula não existe!!! > Um abraço e não se engane...essa lista não tem ingênuos... >Ruy > >
Re: Problema sobre primos
> Se vc resolveu esse problema, vc deveria dar conferencias no mundo > inteirovc seria maior que Gauss ou EinsteinTal formula não existe!!! > Um abraço e não se engane...essa lista não tem ingênuos... >Ruy Ruy, existem infinitas fórmulas que geram somente números primos. O que acontece é que a grande maioria dessas fórmulas são inúteis do ponto de vista prático. Por exemplo, não é difícil provar com a ajuda do Teorema de Wilson, que a função f(x, y)=(y-1)/2[|B^2-1|-(B^2-1)]+2, onde B=x(y+1)-(y!+1), x e y são números naturais, gera somente números primos, gera todos os primos e gera todos os primos ímpares exatamente uma vez.
Re: Problema sobre primos
Se vc resolveu esse problema, vc deveria dar conferencias no mundo inteirovc seria maior que Gauss ou EinsteinTal formula não existe!!! Um abraço e não se engane...essa lista não tem ingênuos... Ruy
