Em 8 Jun 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Onde eu encontro esta prova? no site da obm so tem provas de 2003 da OBM. >Resolva no campo dos reais a equação: >sqr[x + 2.sqr(x - 1)] + sqr[x - 2.sqr(x - 1)] = 2 > >RESOLUÇÃO POSSÍVEL: > >Condição de existência no campo dos reais: >x - 1 >= 0 <=> x >= 1 > >Considerando x >= 1, podemos concluir que: >x + 2.sqr(x - 1) = [sqr(x - 1)]^2 + 2.sqr(x - 1) + 1 = [sqr(x - 1) + 1]^2 >x - 2.sqr(x - 1) = [sqr(x - 1)]^2 - 2.sqr(x - 1) + 1 = [sqr(x - 1) - 1]^2 > >Logo, teremos: >sqr{[sqr(x - 1) + 1]^2} + sqr{[sqr(x - 1) - 1]^2} = 2 >|sqr(x - 1) + 1| + |sqr(x - 1) - 1| = 2 (i) > >x - 1 >= 0 => sqr(x - 1) >= sqr(0) => sqr(x - 1) + 1 >= 1 => |sqr(x - 1) + >1| = sqr(x - 1) + 1 (ii) >A função sqr(X) é estritamente crescente em X, para todo X real não >negativo, logo: sqr(X1) - sqr(X2) >= 0 <=> sqr(X1) <= sqr(X2) <=> X1 <= X2 e >sqr(X1) - sqr(X2) < 0 <=> sqr(X1) < sqr(X2) <=> X1 < X2, para todos X1, X2 >reais não negativos. Sendo assim, analisando a expressão sqr(x - 1) - 1 = >sqr(x - 1) - sqr(1), concluímos que: >sqr(x - 1) - sqr(1) < 0 <=> x - 1 < 1 <=> x < 2 >sqr(x - 1) - sqr(1) >= 0 <=> x - 1 >= 1 <=> x >= 2 >Logo: >|sqr(x - 1) - 1| = sqr(x - 1) - 1, para x >= 2 e |sqr(x - 1) - 1| = 1 - >sqr(x - 1), para x < 2 (iii) > >Substituindo (ii) e (iii) em (i), teremos: > >Para 1 <= x < 2: >sqr(x - 1) + 1 + 1 - sqr(x - 1) = 2 <=> 0.sqr(x - 1) = 0 (Satisfeita para >qualquer x no intervalo considerado, ou seja, 1 <= x < 2) (iv) > >Para x >= 2: >sqr(x - 1) + 1 + sqr(x - 1) - 1 = 2 <=> 2.sqr(x - 1) = 2 <=> [sqr(x - 1)]^2 >= 1^2 (observe que os radicandos são não negativos) <=> x - 1 = 1 <=> x = 2 >(v) > >Unindo as soluções de (iv) e (v): S = [1, 2] = {x real | 1 <= x <= 2} > >Resposta: S = [1, 2] = {x real | 1 <= x <= 2} > >Abraços, > >Rogério Moraes de Carvalho >-----Original Message----- >From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On >Behalf Of Maurizio >Sent: segunda-feira, 7 de junho de 2004 19:22 >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] Problema 16 OBM - Nivel 3 > >Olá >a questão 16 é assim: > >[x+2(x-1)^1/2]1/2+[x-2(x-1)^1/2]1/2=2 > >Eu obtive essa resoluçãoi mas não está dando certo... Quem escrever >alguma resolução ou indicar o erro da minha eu agradeço desde já >{[x+2(x-1)^1/2]1/2}^2+2{[x+2(x-1)^1/2]1/2.[x-2(x-1)^1/2]1/2]}+{[x-2(x-1)^1/2 >]1/2}^2=4 >x+2[x-1]^1/2+2{x^2-2[x-1]^1/2}^1/2+x-2[x-1]^1/2=4 >2x+2[x^2-4(x-1)]^1/2=4 >x=2 >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > >----------
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