Oi, Arthur,
Acho que analisando as subseqüências de sen(Ln(n)) a seguir dá para
provar que sen(Ln(n)) não converge.
Chamando log2 de logaritmo na base 2 e fazendo log2(e) = p, temos:
x(n) = sen (Ln(n) ) = sen [ log2(n) / p ].
Se n = 2^k , 2^(2k) e 2^(3k), obtemos 3 subseqüências de x(n) que
teriam que convergir para L, quais sejam:
a_k = sen k/p
b_k = sen 2k/p
c_k = sen 3k/p = sen(k/p) [ 3 - (4sen(k/p))^2 ]
Mas
De (sen2k/p) ^2 = 4.(senk/p)^2 . [1 - (senk/p)^2 ] teríamos L =
0, 1/2 ou - 1/2.
De sen 3k/p = senk/p [ 3 - (4senk/p)^2] teríamos L = L ( 3 -
4L^2] ou seja, L = 0 ou sqr(3)/2 ou - sqr(3)/2 .
Logo se provarmos que x(n) não pode convergir para L = 0, estará
provado que x(n) não é convergente.
Amanhã vejo como fechar isto (que acho que deve ser fácil) pois já
está na hora das corujas...
Até amanhã
Abraços,
Nehab.
At 15:11 1/2/2007, you wrote:
Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo que
esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente
valida
Artur
-----Mensagem original-----
De: Artur Costa Steiner
Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RES: [obm-l] sequencias
No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a seq.
cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ...
A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o intervalo
em subintervalos com comprimentos dados pelos inversos dos inteiros
positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2,
depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para 0
por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes
dadas mas não converge.
Artur
-----Mensagem original-----
De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] sequencias
sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com sequências,
i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e que
(x_n) é limitada.
Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente.
ii) Se (a_n) é uma sequência de números reais definida por
a_1 = 1 e a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ).
Mostre que 1 <= a_n <= 2.
Na primeira não tive muito progresso.
Na segunda consegui mostrar por indução que 1 <= a_n . Que a_n <= 2, não
consegui, cheguei
a_n <= 3.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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