É isso aí. Mancada minha!
O melhor jeito é olhar e ver que a equação equivale a 1/x + 1/y = 1/k, que sendo x e y positivos, devemos ter x > k ==> x = k + m, com m inteiro positivo e, portanto, 1/y = 1/k - 1/(k+m) = m/(k(k+m)) ==>
y = k(k+m)/m ==> m divide k^2 e, como k é primo, m = 1, k ou k^2, o que dá origem as três soluções: (2k,2k) e mais as duas que você mencionou.
Fica como um novo problema determinar em que ponto da minha pseudo-resolução abaixo eu "perdi" as outras duas soluções.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Wed, 26 Oct 2005 14:12:05 -0200
Assunto:
Re: Re:[obm-l] equacao
> Mesmo assim, ainda temos as soluções: (k^2+k, k+1) e (k-k^2, k-1) e suas simétricas.
- Original Message -
From: claudio.buffara
To: obm-l
Sent: Wednesday, October 26, 2005 1:14 PM
Subject: Re:[obm-l] equacao
>
> Eu supuz que k é um primo fixo dado.
>
>
De:
[EMAIL PROTECTED]
>
Para:
"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
>
Cópia:
>
Data:
Wed, 26 Oct 2005 12:20:17 -0200 (BRST)
>
Assunto:
Re:[obm-l] equacao
> >
> > Na verdare, por tentativa (e muitos erros)
> > e' possivel tambem outras solucoes:
> >
> > zk - zw = -wk
> > => z = -wk/(k-w)
> > Logo, se k = (w+1) entao z = -w(w+1)
> >
> > Por simetria, se k = (z+1) entao w = -z(z+1)
> >
> > Abraco,
> > sergio
> >
> > On Wed, 26 Oct 2005, claudio.buffara wrote:
> >
> > > Seja d = mdc(x,y). Então x = dz e y = dw, com mdc(z,w) = 1.
> > >
> > > A equação fica (z + w)k = dzw.
> > >
> > > k não pode dividir z pois z = km ==>
> > > (km + w)k = dkmw ==>
> > > km + w = dmw ==>
> > > w = m(dw - k) ==>
> > > m divide w ==>
> > > contradição, pois z (e portanto m) é primo com w
> > >
> > > Da mesma forma, vemos que k não pode dividir w.
> > >
> > > Logo, k divide d ==>
> > > d = kn ==>
> > > (z + w)k = knzw ==>
> > > z + w = nzw ==>
> > > 1/w + 1/z = n = inteiro positivo
> > >
> > > Como z e w são inteiros positivos, 1/z + 1/w <= 2.
> > >
> > > Se z = w = 1, então x = y = d ==> 2dk = d^2 ==> d = 2k ==>
> > > uma solução é (2k,2k).
> > >
> > > Se z > 1 ou w > 1, então 1/z + 1/w = n = 1 ==>
> > > z = w = 2 e d = k ==>
> > > de novo obtemos a solução (2k,2k).
> > >
> > > Logo, a única solução é (2k,2k).
> > >
> > >
> > > De:[EMAIL PROTECTED]
> > >
> > > Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> > >
> > > Cópia:
> > >
> > > Data:Wed, 26 Oct 2005 11:28:09 + (GMT)
> > >
> > > Assunto:[obm-l] equacao
> > >
> > > > Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros positivos e k um numero primo
> > >
> > >
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> > >
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