Re: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Mostrar que não existe funcões diferenciáveis de R em R que satisfaçam a estas condições

[qedtexte]

Sauda,c~oes, oi Artur, 

Na primeira vez que você colocou esta questão (há muito tempo) na lista 
o Buffara demonstrou. Não me lembro se ele mandou pra lista ou foi uma 
comunicação particular. 

Aí pedi pra ele a demonstração de um outro teorema, que ele também mandou. 
De novo, acho que pra lista. Não me lembro. 

Teorema: Seja f(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0 (a_n /= 0) com 
a_k nos inteiros. Se, para um primo p qualquer tem-se 
a_nf(0)f(1)....f(p-1) /= 0 (mod p) então f(x) não possui raízes racionais. 

Fonte: Dorroh, J.L.; Howell, L.B. 1946. On the rational roots of polynomial 
equations. The AMM, 53, 383-384.  (Sem demonstração) 

As duas demonstrações são elementares (nível médio), principalmente a do seu teorema. 

Corolário do teorema acima: Se a_n, a_0 e f(1) são todos ímpares, então f(x)
não possui raízes racionais. 

Demonstração: colocar p=....?? no teorema. E isso demonstra o seu teorema. 

Abraços, 
Luís