Hello,
I am a bit afraid to gain a nickname "the itemize-column guy", but it
seems that again there's a problem with this feature... Unfortunately,
I did not manage to isolate the problem, so maybe it lies somewhere
completely else. Anyway, sorry for spamming the list again with a
complete file of one of my documents (it's all Polish to most of you
anyway;)), but it compiles succesfully, but very strangely (it looks
like \vsize > \paperheight) on newest ConTeXt (it used to look just
fine about three weeks ago).
Any clues?
--
Marcin Borkowski
http://mbork.pl
% Äwiczenia na Newtona o grach
\mainlanguage[pl]
\usetypescript[pagella]
\setupbodyfont[pagella]
\usemodule[tikz]
\usetikzlibrary[calc]
\let\origstarttikzpicture=\starttikzpicture
\let\origstoptikzpicture=\stoptikzpicture
\def\starttikzpicture{\hbox\bgroup\origstarttikzpicture}
\def\stoptikzpicture {\origstoptikzpicture\egroup}
\def\todo#1{{\em \kap{do dopisania}: #1}}
%\setupinteraction[state=start]
\enablemode[nauczyciel]
%\disablemode[nauczyciel]
\def\startteacher{\grabbufferdata[teacher][startteacher][stopteacher]}
\doifmodeelse{nauczyciel}{\def\stopteacher{\par{\switchtobodyfont[small]\getbuffer[teacher]\par}}}{\def\stopteacher{}}
\def\startanswer{\par\dostartbuffer[answer][startanswer][stopanswer]}
\doifmodeelse{nauczyciel}{\def\stopanswer{{\switchtobodyfont[small]\blank[small]{\sl Odpowiedź.} \getbuffer[answer]\par}}}{\def\stopanswer{}}
\def\putdotafter#1{#1.}
\setuphead[subject][style=bold,after={},alternative=text,distance=0.25em,textcommand=\putdotafter]
%\setuphead[section][numbercommand=\putdotafter]
\setuphead[chapter][sectionstopper=.,page=no]
\def\teacheronly#1{\doifmode{nauczyciel}{#1}}
\def\time#1{\doifmode{nauczyciel}{\removeunwantedspaces
\hskip 0pt plus 6em\penalty20\ \hskip 0pt plus -6em (#1~minut)}}
\defineitemgroup[exercises]
\setupitemgroup[exercises][1][n,broad,intro][left={\headnumber[chapter]},before={},inbetween={\blank[medium]}]
\def\ppauza{\unskip\kern.2em--\hskip.2em\ignorespaces}
\starttext
\noheaderandfooterlines
\startalignment[middle]
\tfd Gry (materiaÅy na Äwiczenia w~czwartek)
\par\blank[big]
\stopalignment
\startnotmode[nauczyciel]
\placefigure[bottom,none]{}{%
\hbox to \textwidth{
\externalfigure[logo-1-t][height=1.5cm]\hfil
\externalfigure[logo-2-t][height=1.5cm]\hfil
\externalfigure[logo-3-t][height=1.5cm]
}}
\stopnotmode
\completecontent[alternative=a,pagestyle=slanted,distance=2pt]
\page
\startchapter[title={Gry macierzowe\time{15--20}}]
\startexercises
\startitem
Jakie sÄ
strategie optymalne dla obu graczy w~grze o~poniższej
macierzy?
\startformula
\startmathmatrix[n=2,left={\left(\,},right={\,\right)},align=right]
\NC 1 \NC 2 \NR
\NC 3 \NC 4 \NR
\stopmathmatrix
\stopformula
\startteacher
Macierz interpretujemy nastÄpujÄ
co: I~gracz wybiera wiersz,
II~gracz wybiera kolumnÄ (obaj robiÄ
to równoczeÅnie), po czym
II~gracz wypÅaca pierwszemu kwotÄ z~przeciÄcia wybranego wiersza
i~kolumny (gra o~sumie zero: wygrana jednego gracza jest równa
przegranej drugiego).
\stopteacher
\startanswer
Pierwszy gracz, wybierajÄ
c drugi wiersz, w~każdym wypadku
wygrywa wiÄcej, niż gdyby wybraÅ pierwszy; powinien wiÄc wybraÄ
drugi wiersz (dominujÄ
cy). Drugi gracz, wybierajÄ
c pierwszÄ
kolumnÄ, w~każdym przypadku traci mniej, niż gdyby wybraÅ drugÄ
;
powinien wiÄc wybraÄ pierwszÄ
(dominujÄ
cÄ
) kolumnÄ.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Rozważmy grÄ z~nastÄpujÄ
cÄ
macierzÄ
:
\startformula
\startmathmatrix[n=3,left={\left(\,},right={\,\right)},align=right]
\NC 4 \NC 1 \NC -1 \NR
\NC 0 \NC 1 \NC 6 \NR
\NC 3 \NC 2 \NC 5 \NR
\stopmathmatrix
\stopformula
Jaka jest optymalna strategia dla każdego z~graczy?
\startanswer
Å»aden wiersz ani kolumna nie sÄ
dominujÄ
ce, ale ponieważ
\math{2} w~trzecim rzÄdzie i~drugiej kolumnie jest {\em
najmniejszÄ
} wartoÅciÄ
w~swoim rzÄdzie i~{\em najwiÄkszÄ
}
wartoÅciÄ
w~swojej kolumnie, optymalnÄ
strategiÄ
dla I~gracza
jest trzecia (wygra co najmniej~\math{2} niezależnie od
strategii II~gracza), a~dla II~gracza druga (przegra co
najwyżej~\math{2} niezależnie od strategii I~gracza).
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Gra {\em parzyste czy nieparzyste} polega na tym, że dwóch graczy
wybiera (równoczeÅnie) liczbÄ \math{1} lub~\math{2}. JeÅli suma
wybranych liczb jest nieparzysta, wygrywa gracz~I; jeÅli jest
parzysta, wygrywa gracz~II. Gracz, który przegraÅ, oddaje
drugiemu kwotÄ równÄ
sumie wybranych liczb. Narysujcie macierz
tej gry. Jaka jest optymalna strategia każdego z~graczy? Czy gra
jest sprawiedliwa?
\startteacher
To zadanie możemy opuÅciÄ lub omówiÄ pobieżnie bez wiÄkszej
szkody.
\stopteacher
\startanswer
Macierz:
\startformula
\startmathmatrix[n=2,left={\left(\,},right={\,\right)},align=right]
\NC -2 \NC 3 \NR
\NC 3 \NC -4 \NR
\stopmathmatrix
\stopformula
Powyższa macierz nie ma strategii dominujÄ
cych ani punktów
siodÅowych, trzeba wiÄc zastosowaÄ innÄ
metodÄ.
ZaÅóżmy, że gracz~I wybiera~\math{1}
z~prawdopodobieÅstwem~\math{p} i~\math{2}
z~prawdopodobieÅstwem~\math{1-p}. Wyznaczymy~\math{p} tak, żeby
gracz~I wygrywaÅ przeciÄtnie {\em tyle samo}, obojÄtnie, co
zrobi gracz~II.
JeÅli gracz~II wybierze~\math{1}, przeciÄtna wygrana~I wynosi
\math{-2p+3(1-p)}. JeÅli II wybierze~\math{2}, przeciÄtna
wygrana~I wynosi~\math{3p-4(1-p)}. Aby wartoÅci te byÅy równe,
musi byÄ \math{p=\frac{7}{12}}. Zatem gracz~I powinien
wybraÄ~\math{1} z~prawdopodobieÅstwem \math{\frac{7}{12}},
a~\math{2} z~prawdopodobieÅstwem~\math{\frac{5}{12}}. Jego
przeciÄtna wygrana wynosi
\math{-2\frac{7}{12}+3\frac{5}{12}=3\frac{7}{12}-4\frac{5}{12}=\frac{1}{12}}.
ProwadzÄ
c podobnÄ
analizÄ dla gracza~II widzimy, że ta sama
strategia pozwala mu uzyskaÄ przeciÄtnÄ
stratÄ~\math{\frac{1}{12}}. Wynika stÄ
d, że znalezionej
strategii nie da siÄ ulepszyÄ, a~gra nie jest sprawiedliwa
(preferuje I~gracza).
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Rozważmy wariant gry {\em parzyste czy nieparzyste}, w~którym
każdy z~graczy wybiera jednÄ
z~liczb~\math{\{0,1,2\}}. Spróbujcie
znaleÅºÄ optymalnÄ
strategiÄ dla pierwszego gracza.
\startteacher
To zadanie opuszczamy, chyba że mamy grupÄ geniuszy.
\stopteacher
\startanswer
Nie ma ani strategii dominujÄ
cych, ani punktów siodÅowych.
PostÄpujemy jak w~poprzednim Äwiczeniu; okazuje siÄ, że I~gracz
powinien wybieraÄ~\math{1}
z~prawdopodobieÅstwem~\math{\frac{1}{2}} i~pozostaÅe liczby
z~prawdopodobieÅstwem~\math{\frac{1}{4}}. Uwaga: ta metoda {\em
nie dziaÅa dla każdej macierzy}!
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopchapter
\startchapter[title={Nim-suma liczb caÅkowitych nieujemnych\time{10--15}}]
\startteacher
PojÄcia nim-sumy {\em nie bÄdzie} na wykÅadzie, trzeba je wprowadziÄ
na Äwiczeniach. Jest to dziaÅanie w~zbiorze liczb caÅkowitych
nieujemnych okreÅlone nastÄpujÄ
co: aby wyliczyÄ nim-sumÄ dwóch
liczb, przeliczamy je na ukÅad dwójkowy, dodajemy pisemnie bez
przeniesienia (czyli cyfry na każdej pozycji {\em modulo}~\math{2})
i~wynik interpretujemy znów jako liczbÄ w~zapisie dwójkowym.
PrzykÅad:
\startformula
6\oplus 12=(110)_2\oplus(1100)_2=(1010)_2=10.
\stopformula
(Okazuje siÄ, że to dziaÅanie jest ÅÄ
czne i~przemienne, elementem
neutralnym jest~\math{0}, każdy element jest swojÄ
przeciwnoÅciÄ
,
a~ponadto nim-suma ma fundamentalne znaczenie dla analizy gry {\em
Nim} i~pewnych innych gier.)
\stopteacher
\startexercises
\startitem
Przeliczcie nastÄpujÄ
ce liczby w~zapisie dwójkowym na system
dziesiÄ
tkowy:
% \startsimplecolumns
\startitemize[a,columns,two,joinedup][stopper=)]
\startitem
\math{(101)_2}
\stopitem
\startitem
\math{(101011)_2}
\stopitem
\stopitemize
% \stopsimplecolumns
\startanswer
\startitemize[a,text][stopper=]
\startitem
\math{(101)_2=2^0+2^2=1+4=5};
\stopitem
\startitem
\math{(101011)_2=1+2+8+32=43}.
\stopitem
\stopitemize
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Przeliczcie nastÄpujÄ
ce liczby na system dwójkowy:
\startitemize[a,columns,two,joinedup][stopper=)]
\startitem
\math{10}
\stopitem
\startitem
\math{77}
\stopitem
\stopitemize
\startanswer
\startitemize[a]
\startitem
\math{10=8+2=(1010)_2};
\stopitem
\startitem
Aby przeliczyÄ na system dwójkowy liczbÄ \math{77}, można
np. dzieliÄ jÄ
przez~\math{2} (z~resztÄ
) tak dÅugo, aż
otrzymamy zero, a~reszty wypisywaÄ jako kolejne (od prawej
strony) cyfry dwójkowe:
\starttabulate[|r|]
\NC \math{77:2=38~\text{r.}~1}\NR
\NC \math{38:2=19~\text{r.}~0}\NR
\NC \math{19:2=9~\text{r.}~1}\NR
\NC \math{9:2=4~\text{r.}~1}\NR
\NC \math{4:2=2~\text{r.}~0}\NR
\NC \math{2:2=1~\text{r.}~0}\NR
\NC \math{1:2=0~\text{r.}~1}\NR
\stoptabulate
Zatem \math{77=(1001101)_2}.
\stopitem
\stopitemize
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Znajdźcie nastÄpujÄ
ce nim-sumy:
\startitemize[a,columns,two,joinedup,broad,intro][stopper=)]
\startitem
\math{18\oplus 0}
\stopitem
\startitem
\math{13\oplus 13}
\stopitem
\startitem
\math{10\oplus 77}
\stopitem
\startitem
\math{10\oplus 6\oplus 12}
\stopitem
\stopitemize
\startanswer
\startitemize[a,text][stopper=]
\startitem
\math{18\oplus 0=18};
\stopitem
\startitem
\math{13\oplus 13=0};
\stopitem
\startitem
\math{10\oplus 77=71};
\stopitem
\startitem
\math{10\oplus 6\oplus 12=0} (ten przykÅad warto policzyÄ
przynajmniej dwa razy, w~różnej kolejnoÅci!).
\stopitem
\stopitemize
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopchapter
\startchapter[title={Nim\time{20--25}}]
\startsubject[title={Zasady gry}]
Na trzech kupkach kÅadziemy kamienie (lub żetony, patyczki itp.).
Gracze wykonujÄ
ruchy na przemian. Ruch polega na zabraniu
dowolnej liczby kamieni (co najmniej jednego, byÄ może wszystkich)
z~dowolnej kupki. Gracz, który weźmie ostatni kamieÅ, wygrywa.
\stopsubject
\startsubject[title={Zadania}]
\startexercises
\startitem
Rozegrajcie kilka partii (można zaczÄ
Ä np. od kupek liczÄ
cych
\math{5}, \math{7} i~\math{9} kamieni). Czy potraficie
odkryÄ, który gracz ma strategiÄ wygrywajÄ
cÄ
i~jak powinien
graÄ, żeby wygraÄ?
\stopitem
\startitem
Narysujcie graf {\em Nima} dla rozgrywki, która zaczyna siÄ od
kupek o~liczebnoÅciach \math{1}, \math{1} i~\math{2}.
(Wygodnie bÄdzie opisaÄ wierzchoÅki grafu trójkami liczb,
np. \math{(1,1,2)}.) Znajdźcie N-pozycje i~P-pozycje. Przy
każdej pozycji zapiszcie nim-sumÄ liczebnoÅci kupek. Czy
zauważyliÅcie pewnÄ
prawidÅowoÅÄ?
\startteacher
{\em N-pozycja} to pozycja, w~której {\em nastÄpny} gracz
(czyli ten, czyja jest kolej) wygra, jeÅli bÄdzie graÄ
prawidÅowo (obojÄtnie, co zrobi drugi gracz). {\em
P-pozycja} to pozycja, w~której {\em poprzedni} gracz
(czyli ten, który do niej doprowadziÅ) wygra, jeÅli bÄdzie
graÄ prawidÅowo. MajÄ
c graf gry N-pozycje i~P-pozycje
znajduje siÄ \quotation{indukcjÄ
wstecznÄ
}: pozycje koÅcowe
to P-pozycje, pozycje, z~których można dojÅÄ jednym ruchem
do P-pozycji to N-pozycje, zaŠpozycje, z~których {\em
każdy} ruch prowadzi do N-pozycji to znów P-pozycje
(w~szczególnoÅci warunek ten speÅniajÄ
pozycje koÅcowe!).
\stopteacher
\startanswer
\placefigure[none,middle]{}{%
\starttikzpicture[x=2.5cm,y=-2cm]
\def\pos#1#2#3#4#5{$(#1,#2,#3)^{#4}$\rlap{\!,\,#5}}
\node (112) at (0,0) {\hphantom{\!,\,2}\pos112N2\hphantom{\!,\,2}};
\node (012) at (-1,1) {\pos012N3};
\node (102) at (0,1) {\pos102N3};
\node (111) at (1,1) {\pos111N1};
\node (002) at (-2,2) {\pos002N2};
\node (011) at (-1,2) {\pos011P0};
\node (101) at (1,2) {\pos101P0};
\node (110) at (2,2) {\pos110P0};
\node (001) at (-1,3) {\pos001N1};
\node (010) at (0,3) {\pos010N1};
\node (100) at (1,3) {\pos100N1};
\node (000) at (0,4) {\pos000P0};
\startscope[->]
\draw (112) -- (012);
\draw (112) -- (102);
\draw (112) -- (111);
\draw (112) -| (110);
\draw (012) -- (002);
\draw (012) -- (011);
\draw (012) -- (010);
\draw (102) -- (002);
\draw (102) -- (101);
\draw (102) -- (100);
\draw (111) -- (011);
\draw (111) -- (101);
\draw (111) -- (110);
\draw (002) -- (001);
\draw (002) |- (000);
\draw (011) -- (001);
\draw (011) -- (010);
\draw (101) -- (001);
\draw (101) -- (100);
\draw (110) -- (010);
\draw (110) -- (100);
\draw (001) -- (000);
\draw (010) -- (000);
\draw (100) -- (000);
\stopscope
\stoptikzpicture}
P-pozycje to dokÅadnie te pozycje, dla których nim-suma
liczebnoÅci kupek wynosi~\math{0}.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Który gracz ma strategiÄ wygrywajÄ
cÄ
, jeÅli poczÄ
tkowe
liczebnoÅci kupek wynoszÄ
\math{(3,5,9)}? A~\math{(3,5,6)}?
(W~jednej z~tych sytuacji pierwszy gracz wygrywa, o~ile bÄdzie
graÅ prawidÅowo. Jaki powinien byÄ jego pierwszy ruch? Ile
istnieje takich \quotation{wygrywajÄ
cych} ruchów?)
\startanswer
\math{3\oplus 5\oplus 9=15\ne 0}, wiÄc jest to N-pozycja
i~pierwszy gracz wygrywa. Ponieważ \math{3\oplus 5=6}, może
wziÄ
Ä \math{3}~kamienie z~trzeciej kupki (zostawiajÄ
c na
niej~\math{6}; przy okazji widaÄ, że \math{3,5,6} jest
P-pozycjÄ
i~gracz startujÄ
cy z~niej przegrywa). Ponieważ
\math{3\oplus 9=10>5}, zabranie żadnej liczby kamieni
z~drugiej kupki nie pozwala wygraÄ pierwszemu graczowi;
analogicznie jest z~pierwszÄ
kupkÄ
(\math{5\oplus 9=12>3}).
Zatem jedyny wygrywajÄ
cy ruch to zabranie \math{3}~kamieni
z~trzeciej kupki.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
WymyÅlcie kilka wariantów {\em Nima}; sprawdźcie, jak siÄ
w~nie gra.
\startanswer
Można zwiÄkszyÄ liczbÄ kupek, wprowadziÄ minimalnÄ
lub
maksymalnÄ
liczbÄ kamieni, jakie można zabraÄ w~jednym
ruchu, zmieniÄ warunek wygranej na przeciwny (przegrywa
gracz, który weźmie ostatni kamieÅ) i~in. (Jeden
z~wariantów {\em Nima}, {\em Wythoff}, jest przedmiotem
kolejnego zadania.)
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopsubject
\stopchapter
\startchapter[title={Wythoff\time{20--30}}]
\startsubject[title={Zasady gry}]
Gra przebiega podobnie jak {\em Nim}, z~dwiema różnicami: sÄ
tylko
dwie kupki kamieni, ale oprócz zabrania dowolnej liczby kamieni
z~wybranej kupki można też zabraÄ dowolnÄ
liczbÄ kamieni z~{\em
obu} kupek na raz, pod warunkiem, że weźmiemy ich {\em tyle
samo} z~każdej z~nich.
\stopsubject
\startsubject[title={Zadania}]
\startexercises
\startitem
Rozegrajcie kilka partii (dla różnych liczebnoÅci poczÄ
tkowych
kupek). Jakimi wynikami może siÄ zakoÅczyÄ {\em Wythoff}?
\startanswer
WygranÄ
któregoŠz~graczy\ppauza remis jest niemożliwy.
\stopanswer
\stopitem
\startitem[2]
Znajdźcie przykÅadowe P-pozycje i N-pozycje.
\startanswer
PrzykÅadowe P-pozycje: \math{(1,2)}, \math{(3,5)}.
PrzykÅadowe N-pozycje: \math{(0,n)}, \math{(n,n)},
\math{(1,966)}.
\stopanswer
\stopitem
\startitem[3]
Rozważmy nastÄpujÄ
cÄ
grÄ. Na pewnym polu szachownicy
ustawiamy pionek. W~każdym ruchu można przesunÄ
Ä go o~dowolnÄ
liczbÄ pól w~dóÅ, w~lewo bÄ
dź ukosem w~lewo-dóÅ. Zauważcie,
że gra ta w~istocie nie różni siÄ od {\em Wythoffa}.
\stopitem
\startitem
Naszkicujcie graf {\em Wythoffa} dla gry rozpoczynajÄ
cej siÄ od kupek
liczÄ
cych \math{1} i~\math{2} kamieni.
\startanswer
\starttikzpicture[x=3cm,y=1cm,baseline=(01.base)]%{($(0,1)-(0,.5ex)$)}]
\def\pos#1#2#3{\math{(#1,#2)^{#3}}}
\node (00) at (0,0) {\pos00P};
\node (10) at (1,0) {\pos10N};
\node (20) at (2,0) {\pos20N};
\node (01) at (0,1) {\pos01N};
\node (11) at (1,1) {\pos11N};
\node (21) at (2,1) {\pos21P};
\startscope[->]
\draw (21) -- (11);
\draw (21) -- +(0,.5) -| (01);
\draw (21) -- (10);
\draw (21) -- (20);
\draw (11) -- (01);
\draw (11) -- (00);
\draw (11) -- (10);
\draw (01) -- (00);
\draw (20) -- (10);
\draw (20) -- +(0,-.5) -| (00);
\draw (10) -- (00);
\stopscope
\stoptikzpicture
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Opiszcie ukÅady poczÄ
tkowe, które gwarantujÄ
wygranÄ
II~graczowi
(czyli P-pozycje).
\startanswer
Uwaga: poniższe rozumowanie lepiej widaÄ na obrazku
(odrÄcznie).
Oprócz tych wymienionych w~odpowiedzi do \in{punktu}{.}[2],
ukÅady takie to m.in. \math{(4,7)}, \math{(6,10)} itd.
Każdy taki ukÅad powstaje z~poprzedniego w~nastÄpujÄ
cy
sposób: bierzemy najmniejszÄ
liczbÄ naturalnÄ
~\math{n_1},
która dotÄ
d nie wystÄ
piÅa w~żadnym ukÅadzie\ppauza bÄdzie to
liczba kamieni w~mniejszej kupce; w~wiÄkszej kupce bÄdzie
\math{n_2=n_1+d} kamieni, gdzie różnica~\math{d} jest
o~jeden wiÄksza niż różnica liczebnoÅci kupek w~poprzednim
ukÅadzie.
Takie pary liczb majÄ
odpowiednie wÅasnoÅci. Po pierwsze,
nie można (zabierajÄ
c kamienie zgodnie z~zasadami) przejÅÄ
od żadnego z~tych ukÅadów do żadnego z~poprzednich: ponieważ
każda liczba naturalna wystÄpuje wÅród opisanych ukÅadów
dokÅadnie raz (dlaczego?), zabierajÄ
c kamienie z~{\em
jednej} kupki nie jesteÅmy w~stanie przejÅÄ do jednego
z~poprzednich ukÅadów; ponieważ zaÅ {\em różnice} również
siÄ nie powtarzajÄ
, zabierajÄ
c kamienie z~{\em obu} kupek
również nie dojdziemy do żadnego z~poprzednich ukÅadów.
Po drugie, jeÅli startujemy z~ukÅadu innego niż któryÅ
z~powstaÅych w~opisany sposób, zawsze możemy dojÅÄ do
któregoÅ z~nich; najÅatwiej zobaczyÄ to rysujÄ
c je na
szachownicy i~korzystajÄ
c z~wersji {\em Wythoffa} opisanej
w~\in{punkcie}[3].
WÅasnoÅci te powodujÄ
, że każdy z~opisanych ukÅadów prowadzi
do wygranej gracza, którego ruch akurat przypada, a~każdy
inny ukÅad do jego przegranej.
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopsubject
\stopchapter
\startchapter[title={Hex\time{15--20}}]
\startsubject[title={Zasady gry}]
Gra toczy siÄ na planszy w~ksztaÅcie rombu zÅożonej z~pól
w~ksztaÅcie szeÅciokÄ
tów foremnych; boki rombu sÄ
oznaczone
kolorem biaÅym bÄ
dź czarnym tak, że przeciwlegÅe boki majÄ
ten sam
kolor. Gracze na przemian zagrywajÄ
swoje piony (gracz~I biaÅe,
gracz~II czarne) na tych polach; raz poÅożony na planszy pion
pozostaje w~tym samym miejscu do koÅca gry. Wygrywa ten z~graczy,
który poÅÄ
czy boki rombu w~\quotation{swoim} kolorze ÅaÅcuchem
swoich pionów (tj. ciÄ
giem pionów leżÄ
cych na polach stykajÄ
cych
siÄ bokami).
\def\hexboard#1#2{%
\coordinate (w) at (1,0);
\coordinate (e) at ($(2,0)+#1*(3,0)$);
\coordinate (n) at ($(0,1.155)+(1.5,-0.866)+#1*(1.5,0.866)$);
\coordinate (s) at ($(0,-1.155)+(1.5,0.866)+#1*(1.5,-0.866)$);
\coordinate (c) at ($(1.5,0)+#1*(1.5,0)$);
\filldraw[fill=black!40] (w) -- (c) -- (n) -- cycle;
\filldraw[fill=black!40] (s) -- (c) -- (e) -- cycle;
\filldraw[fill=white] (w) -- (c) -- (s) -- cycle;
\filldraw[fill=white] (n) -- (c) -- (e) -- cycle;
\foreach \ROW in {1,...,#1}
\foreach \COL in {1,...,#1}
{
\filldraw[fill=white,
shift={($\ROW*(30:1.732)+\COL*(-30:1.732)$)}]
(0:1) -- (60:1) -- (120:1) -- (180:1) -- (240:1)
-- (300:1) -- cycle;
}
\foreach \ROW in {1,...,#1}
\node at ($\ROW*(30:1.732)+(-30:1.732)+(150:1.732)$)
{\switchtobodyfont[#2]\Characters{\ROW}};
\foreach \COL in {1,...,#1}
\node at ($\COL*(-30:1.732)+(30:1.732)+(-150:1.732)$)
{\switchtobodyfont[#2]\COL};
}
\placefigure[none,middle]{}{%
\starttikzpicture[scale=0.5]
\hexboard{5}{6pt}
\stoptikzpicture}
\stopsubject
\startsubject[title={Zadania}]
\startexercises
\startitem
Rozegrajcie kilka partii na planszach różnych wymiarów
(\math{2\times 2}, \math{3\times 3}, \math{4\times 4},
\math{5\times 5}). Który gracz ma strategiÄ wygrywajÄ
cÄ
na
maÅych planszach?
\stopitem
\startitem
Jakimi wynikami może skoÅczyÄ siÄ {\em Hex}?
\startanswer
WygranÄ
któregoŠz~graczy\ppauza remis jest niemożliwy.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Udowodnijcie, że pierwszy gracz ma strategiÄ wygrywajÄ
cÄ
na
planszy dowolnego rozmiaru.
\startanswer
Można zastosowaÄ rozumowanie zwane {\em kradzieżÄ
strategii}. Gdyby to {\em drugi gracz} miaÅ strategiÄ
wygrywajÄ
cÄ
(czyli miaÅ {\em optymalnÄ
} odpowiedź na każdy
ruch pierwszego, prowadzÄ
cy do wygranej), pierwszy gracz
mógÅby zrobiÄ pierwszy ruch dowolnie, a~potem
\quotation{zapomnieÄ} o~nim i~traktowaÄ odpowiedź drugiego
jako \quotation{pierwszy} ruch i~stosowaÄ wygrywajÄ
cÄ
strategiÄ (jako \quotation{drugi} gracz). Gdyby strategia
ta wymagaÅa postawienia pionu tam, gdzie gracz ten już
postawiÅ swój pion (np. w~pierwszym ruchu), można postawiÄ
pion gdziekolwiek. Ponieważ stojÄ
cy gdzieÅ pion pierwszego
gracza w~niczym nie może {\em pogorszyÄ} jego sytuacji,
opisane postÄpowanie prowadzi do wygranej pierwszego gracza,
wbrew zaÅożeniu, że to drugi ma strategiÄ wygrywajÄ
cÄ
.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Który gracz ma strategiÄ wygrywajÄ
cÄ
na planszy \math{3\times
3}, jeÅli biaÅe nie mogÄ
w~pierwszym ruchu zagraÄ na Årodku
planszy?
\startteacher
Zadanie otwarte, do dyskusji/eksperymentów.
\stopteacher
\stopitem
\stopexercises
\stopsubject
\stopchapter
\startchapter[title={ZakreÅl do piÄtnastu\time{15--20}}]
\startsubject[title={Zasady gry}]
Wypisujemy na kartce liczby od~\math{1} do~\math{9}. Gracze na
przemian zakreÅlajÄ
liczbÄ (każdy swoim kolorem). Gracz, który
jako pierwszy wÅród \quotation{swoich} liczb bÄdzie miaÅ trójkÄ
liczb, których suma wynosi~\math{15}, wygrywa.
\stopsubject
\startsubject[title={Zadania}]
\startexercises
\startitem
Jakimi wynikami może zakoÅczyÄ siÄ gra?
\startanswer
WygranÄ
jednego z~graczy lub remisem.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Rozegrajcie kilka\ppauza kilkanaÅcie gier. Czy pierwszy gracz
może zawsze wygraÄ? A~drugi?
\startanswer
Nie, gdy obaj gracze grajÄ
optymalnie, gra koÅczy siÄ
remisem. (OptymalnÄ
strategiÄ zobaczymy za chwilÄ.)
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Wypiszcie wszystkie trójki liczb ze zbioru
\math{\{1,2,\dots,9\}}, które sumujÄ
siÄ do~\math{15}. Jak
wypisaÄ je \quotation{po kolei}, czyli tak, by żadnej nie
pominÄ
Ä i~żadnej nie wypisaÄ wiÄcej niż jeden raz? Ile ich
jest? Które liczby ile razy wystÄpujÄ
w~tych trójkach?
\startanswer
\math{(1,5,9)}, \math{(1,6,8)}, \math{(2,4,9)},
\math{(2,5,8)}, \math{(2,6,7)}, \math{(3,4,8)},
\math{(3,5,7)}, \math{(4,5,6)}. Każda trójka wypisana jest
rosnÄ
co i~wypisane sÄ
w~porzÄ
dku leksykograficznym. Trójek
jest \math{8}, a~poszczególne liczby wystÄpujÄ
w~nich:
\math{5} czterokrotnie, \math{2,4,6,8} trzykrotnie,
\math{1,3,7,9} dwukrotnie.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Jak uÅożyÄ liczby od \math{1} do~\math{9}, żeby byÅo Åatwiej
graÄ, tj. żeby trójki sumujÄ
ce siÄ do~\math{15} byÅy
\quotation{dobrze widoczne}?
\startanswer
UÅożenie ich np. w~nastÄpujÄ
cym {\em kwadracie magicznym}
\starttabulate[|c|c|c|][before={},after={}]
\NC 2 \NC 9 \NC 4 \NC\NR
\NC 7 \NC 5 \NC 3 \NC\NR
\NC 6 \NC 1 \NC 8 \NC\NR
\stoptabulate
pokazuje, że rozważana gra jest to po prostu
{\em KóÅko i~krzyżyk} w~przebraniu.
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopsubject
\stopchapter
\startchapter[title={KóÅko i~krzyżyk\time{15--20}}]
\startsubject[title={Zasady gry}]
Znane każdemu (?).
\stopsubject
\startsubject[title={Zadania}]
\startexercises
\startitem
Jakie sÄ
możliwe wyniki w~grze w~{\em KóÅko i~krzyżyk}?
\startanswer
Wygrana jednego z~graczy lub remis.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Narysujcie dwa poczÄ
tkowe poziomy drzewa gry. Narysujcie
jednÄ
lub dwie gaÅÄzie aż do zakoÅczenia gry.
\startanswer
(odrÄcznie)
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Oszacujcie liczbÄ możliwych rozgrywek w~{\em KóÅko i~krzyżyk}.
\startanswer
\startitemize[a,packed][stopper=)]
\startitem
Prostym ograniczeniem górnym jest \math{9!=362\,880}.
\stopitem
\startitem
JeÅli wziÄ
Ä pod uwagÄ symetrie w~poczÄ
tkowych dwóch
ruchach (w~późniejszych ruchach staje siÄ to bardziej
skomplikowane), można postÄpowaÄ nastÄpujÄ
co. Pierwszy
ruch można wykonaÄ na \math{3} sposoby (Årodek, róg,
bok). JeÅli pierwszy ruch byÅ w~Årodku, drugi ruch może
zostaÄ wykonany na \math{2} sposoby; jeÅli w~rogu lub na
boku, na \math{5} sposobów. Zatem pierwsze dwa ruchy
można wykonaÄ na \math{1\cdot 2+2\cdot 5=12} sposobów,
a~pozostaÅe siedem na nie wiÄcej niż \math{7!=5040}
sposobów; zatem wszystkich gier może byÄ najwyżej
\math{12\cdot 7!=60\,480}.
\stopitem
\startitem
JeÅli wziÄ
Ä pod uwagÄ symetrie do trzeciego ruchu,
analogiczne rozumowanie pokazuje, że liczba możliwych
rozgrywek nie przekracza
\startformula
(2\cdot4+2\cdot4+3\cdot7)\cdot 6!=30\,960.
\stopformula
\stopitem
\startitem
Powyższa analiza nie bierze pod uwagÄ ani możliwych
symetrii w~dalszych ruchach, ani tego, że niektóre gry
koÅczÄ
siÄ przed zapeÅnieniem planszy. W~2002 roku
obliczono, że dokÅadna liczba rozgrywek w~{\em kóÅko
i~krzyżyk} wynosi \math{26\,830}.
\stopitem
\stopitemize
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Rozegrajcie kilka gier. Co powinien zrobiÄ pierwszy gracz?
Jaki ruch pierwszego gracza {\em gwarantuje} mu wygranÄ
,
niezależnie od tego, jak gra drugi gracz? A~jaki {\em
gwarantuje} przegranÄ
, jeÅli drugi gracz gra optymalnie?
\startanswer
ObojÄtnie, co zrobi pierwszy gracz w~pierwszym ruchu, jeÅli
w~dalszym ciÄ
gu bÄdzie graÅ optymalnie, nie przegra; jednak
żaden ruch nie gwarantuje mu wygranej. (Nie bÄdziemy tego
rozpisywaÄ/dowodziÄ.)
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Jak wyglÄ
da macierz gry w~{\em KóÅko i~krzyżyk}?
\startanswer
\quotation{Strategiami} każdego z~graczy bÄdÄ
funkcje, które
każdej {\em sytuacji} na planszy przyporzÄ
dkowujÄ
{\em
ruch}. OczywiÅcie, różne ukÅady strategii I i~II gracza
bÄdÄ
prowadziÄ do różnych wyników gry.
\stopanswer
\stopitem
% \startitem
% Opiszcie wÅasnoÅci gry w~kóÅko i~krzyżyk.
% \startanswer
% Jest dwóch graczy; gracze wykonujÄ
ruchy kolejno, a~nie
% jednoczeÅnie (chyba, że przez \quotation{ruch} bÄdziemy
% rozumieÄ \quotation{wybór strategii} (w~sensie poprzedniego
% zadania)); gracze dysponujÄ
peÅnÄ
informacjÄ
; gra koÅczy siÄ
% po skoÅczenie wielu ruchach (maksymalnie dziewiÄciu);
% \stopanswer
% \stopitem
\startitem
Opiszcie optymalnÄ
strategiÄ w~{\em KóÅko i~krzyżyk} dla I i~II
gracza.
\startanswer
Oto przykÅadowy zapis strategii optymalnej (co ciekawe,
dziaÅajÄ
cy dla każdego gracza). W~każdej sytuacji należy
sprawdzaÄ, czy kolejne punkty majÄ
zastosowanie, i~jeÅli
tak, wykonaÄ opisanÄ
w~nich akcjÄ.
\startitemize[a,packed][stopper=)]
\startitem[a]
JeÅli masz dwa symbole w~rzÄdzie, a~trzecie miejsce jest
puste, zakreÅl to puste miejsce; {\em wygrywasz}.
\stopitem
\startitem
JeÅli przeciwnik ma dwa symbole w~rzÄdzie, a~trzecie
miejsce jest puste, zakreÅl to puste miejsce.
\stopitem
\startitem
JeÅli możesz, stwórz {\em zagrożenie}, czyli sytuacjÄ,
w~której masz {\em dwa} rzÄdy z~dwoma swoimi symbolami
i~trzecim pustym miejscem.
\stopitem
\startitem
JeÅli w~nastÄpnym ruchu przeciwnik bÄdzie w~stanie
utworzyÄ {\em zagrożenie}, utwórz sytuacjÄ opisanÄ
w~\in{punkcie}{)}[a].
\stopitem
\startitem
JeÅli Årodek jest wolny, zagraj w~nim.
\stopitem
\startitem
JeÅli przeciwnik zagraÅ w~narożniku i~przeciwlegÅy
narożnik jest wolny, zagraj w~nim.
\stopitem
\startitem
JeÅli którykolwiek narożnik jest wolny, zagraj w~nim.
\stopitem
\startitem
Zagraj gdziekolwiek.
\stopitem
\stopitemize
\stopanswer
\stopitem
\startitem
WymyÅlcie kilka wariantów {\em KóÅka i~krzyżyka}.
\startanswer
Do znanych wariantów należÄ
np. {\em KóÅko i~krzyżyk} na
planszy \math{4\times 4} (do wygranej trzeba mieÄ \math{4}
swoje symbole w~wierszu, kolumnie lub na przekÄ
tnej), {\em
gomoku} (do wygranej trzeba mieÄ \math{5} symboli, plansza
ma rozmiar \math{19\times19}), {\em KóÅko i~krzyżyk}
trójwymiarowe (i~w~wyższych wymiarach), {\em Anty-kóÅko
i~krzyżyk}, gdzie gracz, który ma trzy symbole w~rzÄdzie,
przegrywa, {\em kwantowe KóÅko i~krzyżyk} i~wiele innych.
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopsubject
\stopchapter
\startchapter[title={KieÅki\time{10--15}}]
\startsubject[title={Zasady gry}]
Na kartce rysujemy cztery kropki (lub innÄ
ich liczbÄ). Gracze
wykonujÄ
ruchy na przemian. Ruch polega na poÅÄ
czeniu dwóch
wybranych kropek liniÄ
i~narysowaniu na tej linii (ale nie na
żadnym z~koÅców) kolejnej kropki, przy czym należy przestrzegaÄ
nastÄpujÄ
cych dwóch zasad:
\startitemize[r,text][stopper=]
\startitem
linie nie mogÄ
siÄ przecinaÄ,
\stopitem
\startitem[kielki2]
z~jednej kropki mogÄ
wychodziÄ co najwyżej trzy linie.
\stopitem
\stopitemize
Gracz, który nie może wykonaÄ ruchu zgodnie z~tymi zasadami,
przegrywa.
\stopsubject
\startsubject[title={Zadania}]
\startexercises
\startitem
Rozegrajcie kilka partii. Czy potraficie graÄ tak, żeby gra
siÄ {\em nie} skoÅczyÅa?
\stopitem
\startitem
Udowodnijcie, że gra w~{\em KieÅki} zawsze koÅczy siÄ po skoÅczenie
wielu ruchach.
\startanswer
Na poczÄ
tku jest \math{4\times 3=12} możliwych koÅców linii,
bo z~każdej z~\math{4} kropek mogÄ
wychodziÄ
maksymalnie~\math{3} linie. W~każdym ruchu, rysujÄ
c liniÄ,
zmniejszamy tÄ liczbÄ o~\math{2} (\quotation{wykorzystujemy}
dwa możliwe koÅce) i~zwiÄkszamy o~\math{1} (bo dorysowana
kropka może byÄ koÅcem tylko dla jednej linii, zgodnie
z~\in{zasadÄ
}[kielki2]).
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopsubject
\stopchapter
\startchapter[title={Gry w~koÅci\time{10--20}}]
\startexercises
\startitem
Rozważmy nastÄpujÄ
cÄ
grÄ. Rzucamy koÅciÄ
(symetrycznÄ
,
szeÅciennÄ
), po czym, jeÅli chcemy, rzucamy ponownie (ale
najwyżej raz).
\startitemize[a,packed][stopper=)]
\startitem
Jak bÄdzie wyglÄ
daÅa macierz tej gry?
\startanswer
W~wierszach bÄdÄ
znajdowaÄ siÄ {\em strategie gracza},
czyli \quotation{przepisy} okreÅlajÄ
ce sposób postÄpowania
(tj. czy przerzucamy koÅÄ czy nie) dla każdego wyniku
pierwszego rzutu. W~kolumnach bÄdÄ
znajdowaÄ siÄ {\em
strategie przyrody}, czyli wyniki dwóch kolejnych rzutów
koÅciÄ
.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Ile jest możliwych strategii gracza, a~ile przyrody w~tej
grze?
\startanswer
Gracz ma \math{2^6=64} strategie: dla każdego z~szeÅciu
możliwych wyników niezależnie okreÅlamy, czy przerzucamy
koÅÄ, czy nie (zasada mnożenia lub wariacje
z~powtórzeniami\ppauza szeÅÄ razy wybieramy niezależnie
jednÄ
z~dwóch możliwoÅci). Przyroda ma \math{6^2=36}
strategii.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Rozważmy nastÄpujÄ
cÄ
strategiÄ: \quotation{jeÅli wypadnie
\math{k} lub mniej oczek, przerzucamy koÅÄ, w~przeciwnym
wypadku pozostajemy przy wyniki pierwszego rzutu}. Jakie
powinno byÄ \math{k}, aby wartoÅÄ oczekiwana wyniku byÅa
najwiÄksza?
\startanswer
WartoÅÄ oczekiwana wynosi
\startformula
k(\tfrac{1}{6^2}1+\cdots+\tfrac{1}{6^2}6)
+\bigl(\tfrac{1}{6}(k+1)+\cdots+\tfrac{1}{6}6\bigr)
=\tfrac{1}{12}(-k^2+6k+42),
\stopformula
a~wiÄc osiÄ
ga maksimum dla \math{k_{\rm max}=3}.
\stopanswer
\stopitem
\stopitemize
\stopitem
\startitem
Rozważmy podobnÄ
grÄ, w~której można przerzuciÄ koÅÄ co najwyżej
dwa razy.
\startitemize[a,packed][stopper=)]
\startitem
Ile jest możliwych strategii gracza w~tej grze?
\startanswer
Po pierwszym rzucie mamy tym razem nie dwie możliwoÅci
(pozostanie bÄ
dź przerzucenie), ale \math{1+2^6}
możliwoÅci: pozostanie (jeden sposób) bÄ
dź kontynuacja
(\math{2^6} sposobów na mocy poprzedniego zadania).
Ponieważ dalsze postÄpowanie okreÅlamy niezależnie dla
każdego z~szeÅciu wyników, analogicznie jak poprzednio
mamy
\startformula
(1+2^6)^6=75\,418\,890\,625
\stopformula
możliwych strategii.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Która strategia jest korzystniejsza (daje wiÄkszÄ
wartoÅÄ
oczekiwanÄ
): \quotation{rzucamy tak dÅugo, aż wypadnie
wiÄcej niż \math{3} oczka, ale nie wiÄcej niż trzy razy},
czy \quotation{jeÅli w~pierwszym rzucie wypadÅa szóstka,
pozostajemy przy tym wyniku, w~przeciwnym przypadku
rzucamy drugi raz; jeÅli wówczas wypadnie wiÄcej niż trzy
oczka, pozostajemy przy tym wyniku, a~jeÅli nie, rzucamy
po raz ostatni}?
\startanswer
Pierwsza strategia daje wartoÅÄ oczekiwanÄ
\math{4\frac{5}{8}=4{,}625}, zaÅ druga
\math{4\frac{13}{24}\approx 4{,}542}.
\stopanswer
\stopitem
\stopitemize
\stopitem
\startitem
Rozważmy nastÄpujÄ
cÄ
grÄ: rzucamy parÄ
koÅci, po czym możemy raz
przerzuciÄ jednÄ
, drugÄ
lub obie koÅci. Wynikiem jest suma
oczek na obu koÅciach, chyba, że wypadÅy dwie szóstki, wówczas
wynik wynosi zero. JakÄ
zaproponowalibyÅcie strategiÄ w~tej
grze?
\startanswer
Pytanie otwarte, nie jesteÅmy w~stanie Åatwo wyliczyÄ
strategii maksymalizujÄ
cej wartoÅÄ oczekiwanÄ
wyniku w~tej
grze. Warto przedyskutowaÄ kilka problemów zwiÄ
zanych z~tÄ
grÄ
, np. liczbÄ możliwych strategii (można przyjÄ
Ä, że koÅci
sÄ
rozróżnialne lub nie!), sposób postÄpowania, gdy wypadnie
jedna szóstka (np. gdy przerzucimy tylko drugÄ
koÅÄ, wartoÅÄ
oczekiwana wyniesie
\startformula
\tfrac{1}{6}(6+1)+\cdots+\tfrac{1}{6}(6+5)+\tfrac{1}{6}\cdot0
=7\tfrac{1}{2}\text{,}
\stopformula
wiÄc jeÅli na drugiej koÅci wypadÅo wiÄcej niż~\math{1}, nie
warto jej przerzucaÄ), wariant, w~którym za dwie szóstki
otrzymujemy \math{-6} punktów.
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopchapter
\startchapter[title={Projektowanie wÅasnej gry\time{reszta
czasu, \hskip 0pt plus 4em\penalty20\hskip 0pt plus -4em\relax 20--60}}]
\startsubject[title={PoczÄ
tkowe zasady gry}]
Gracze sÄ
wÅaÅcicielami fabryk znajdujÄ
cych siÄ nad rzekÄ
.
Produkcja jest zwiÄ
zana z~powstawaniem odpadów, które wÅaÅciciele
wylewajÄ
do rzeki. Gdy poziom zanieczyszczeÅ okaże siÄ zbyt duży,
nastÄpuje kontrola i~wszystkie fabryki zostajÄ
zamkniÄte. Wygrywa
ten, który zdoÅaÅ do tego momentu wyprodukowaÄ najwiÄcej (zarobiÄ
najwiÄcej pieniÄdzy).
We wspólnej puli kÅadziemy kamienie (patyczki, sztony...)
w~liczbie dziesiÄciokrotnie wiÄkszej od liczby graczy. Gracze
kolejno rzucajÄ
kostkÄ
. Po rzucie każdy gracz zabiera tyle
kamieni, ile wyrzuciÅ oczek. Gdy kamienie siÄ skoÅczÄ
, wygrywa
gracz, który zebraÅ ich najwiÄcej.
\stopsubject
\startsubject[title={Zadania}]
\startexercises[2*broad]
\startitem
WymyÅlcie tytuÅ dla tej gry.
\stopitem
\startitem
Powyższe zasady zawierajÄ
pewnÄ
niejasnoÅÄ. Znajdźcie jÄ
.
\startanswer
Nie wiadomo, co zrobiÄ, gdy gracz koÅczÄ
cy grÄ ma wziÄ
Ä {\em
wiÄcej} kamieni, niż pozostaÅo w~puli: czy powinien wziÄ
Ä
tyle, ile ich tam jest, czy wpierw uzupeÅniÄ pulÄ
odpowiedniÄ
liczbÄ
kamieni i~wziÄ
Ä tyle, ile wskazuje
kostka.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Czy ta gra zawsze siÄ skoÅczy? Jaka jest minimalna, Årednia
i~maksymalna liczba ruchów?
\startanswer
Tak\ppauza jest skoÅczenie wiele kamieni, w~każdym ruchu
zabiera siÄ co najmniej jeden. Najmniej ruchów bÄdzie, gdy
wszyscy bÄdÄ
wyrzucali szóstki: \math{\lceiling
10n/6\rceiling}, gdzie \math{n} to liczba graczy.
NajwiÄcej ruchów (\math{10n}) bÄdzie, gdy wszyscy bÄdÄ
wyrzucali jedynki. Årednio bÄdzie \math{\lceiling
10n/3{,}5\rceiling} ruchów.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Powyżej opisana gra jest bardzo nudna. Dlaczego?
\startanswer
Ponieważ gracze nie podejmujÄ
żadnych decyzji, wszystko
rozstrzygajÄ
rzuty koÅÄmi.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Jak można ulepszyÄ tÄ grÄ?
\startanswer
Oto (otwarta) lista pomysÅów (niektóre z~nich sÄ
{\em zÅe},
ale niech uczniowie sami do tego dojdÄ
!). Warto zwróciÄ
uwagÄ, że {\em dobry} pomysÅ oznacza nie tylko, że gra staje
siÄ interesujÄ
ca (trzeba podejmowaÄ nieÅatwe decyzje,
zdarzajÄ
siÄ nieoczekiwane zwroty akcji itp.), ale też ma
uzsadanienie w~fabule gry. Każdy pomysŠwymaga też
sprawdzenia\ppauza przetestowania na kilku (w~rzeczywistoÅci
kilkudziesiÄciu czy kilkuset) rozgrywkach i~ewentualnej
modyfikacji (a~czasem porzucenia).
\startitemize[packed]
\startitem
Zmiana liczby kamieni.
\stopitem
\startitem
Zmiana liczby koÅci (np. każdy gracz rzuca trzema koÅÄmi).
\stopitem
\startitem
MożliwoÅÄ kilkukrotnego (np. trzykrotnego) powtórzenia
rzutu wybranymi koÅÄmi.
\stopitem
\startitem
Zabieranie kamieni w~innej liczbie niż wynik na kostce
(lub suma wyników): można rozważyÄ iloczyn, kwadrat lub
pierwiastek sumy, sumÄ różnic miÄdzy wynikami lub
jeszcze innÄ
funkcjÄ. (Niektóre funkcje nadajÄ
siÄ do
tego kiepsko, np. kwadrat sumy prowadzi do doÅÄ dużych
liczb, co jest niewygodne.)
\stopitem
\startitem
Wprowadzenie ukÅadów {\em bonusowych}, np. dwa lub trzy
identyczne wyniki lub trzy kolejne liczby naturalne na
kostkach mogÄ
daÄ efekt specjalny (np. odebranie
zebranych kamieni \ppauza w~ustalonej liczbie,
np. zależnej od liczby oczek\ppauza innym graczom,
zmuszenie innych graczy do oddania kamieni do puli
i~in.)
\stopitem
\startitem
Wprowadzenie ukÅadów {\em malusowych}, np. każda szóstka
może oznaczaÄ koniecznoÅÄ oddania do puli lub innym
graczom pewnej liczby kamieni itp.
\stopitem
\startitem
Gracze mogÄ
wykonywaÄ ruchy równoczeÅnie zamiast
kolejno. (Trzeba ustaliÄ, jak wtedy postÄpowaÄ, jeÅli
w~trakcie ruchu skoÅczÄ
siÄ kamienie w~puli, oraz jakie
dokÅadnie informacje sÄ
jawne dla pozostaÅych graczy
w~czasie ruchu.)
\stopitem
\startitem
Można zmieniÄ warunki zwyciÄstwa, np. wygrywaÄ może
gracz, który zebraÅ najwiÄcej kamieni, ale z~wyÅÄ
czeniem
tego, który spowodowaŠwyczerpanie puli.
\stopitem
\startitem
Przy jednym rodzaju kamieni zarobione pieniÄ
dze
i~usuniÄte zanieczyszczenia wyrażajÄ
siÄ tÄ
samÄ
liczbÄ
. Można wprowadziÄ dwa rodzaje kamieni
i~zróżnicowaÄ te liczby, ustalajÄ
c, że np. \math{n}
zanieczyszczeÅ jest zwiÄ
zane z~zarobieniem \math{n^2},
\math{\sqrt{n}} lub innÄ
iloÅciÄ
pieniÄdzy.
\stopitem
\stopitemize
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopsubject
\stopchapter
\startnotmode[nauczyciel]
\page
\setuppagenumber[state=stop]
\midaligned{%
\starttikzpicture[scale=1.8,rotate=-30]
\hexboard{2}{10pt}
\stoptikzpicture
}
\par\blank[6*big]
\midaligned{%
\starttikzpicture[scale=1.8,rotate=-30]
\hexboard{3}{10pt}
\stoptikzpicture
}
\page
\midaligned{%
\starttikzpicture[scale=1.8,rotate=60]
\hexboard{4}{10pt}
\stoptikzpicture
}
\page
\centerbox{%
\starttikzpicture[scale=1.8,rotate=60]
\hexboard{5}{10pt}
\stoptikzpicture
}
\stopnotmode
\stoptext
___________________________________________________________________________________
If your question is of interest to others as well, please add an entry to the
Wiki!
maillist : ntg-context@ntg.nl / http://www.ntg.nl/mailman/listinfo/ntg-context
webpage : http://www.pragma-ade.nl / http://tex.aanhet.net
archive : http://foundry.supelec.fr/projects/contextrev/
wiki : http://contextgarden.net
___________________________________________________________________________________
