>> cos(cos(cos(cos x))) = sen(sen(sen(sen x))) Esta equação não tem raízes reais. De fato, vamos mostrar que
f(x)=sin(sin(sin(sinx))) < cos(cos(cos(cosx)))=g(x) para qualquer x real, ok? Deu um trabalhão para eu achar esta resposta, por favor confirmem-na. ---///--- LEMA 1: |sina+cosa| <= sqrt(2) para qualquer a. PROVA: De fato, sina+cosa = sqrt(2).sin(a+pi/4). LEMA 2: Se a,b estão em [0,Pi/2], então sinb < cosa equivale a a+b < pi/2 PROVA: De fato, sinb < cosa = sin(pi/2-a) sse b < pi/2-a, já que seno é crescente no intervalo [0,Pi/2]. ---///--- Vamos começar com x em [0,Pi/2]. Temos: PELO LEMA 1: 0 <= sinx+cosx <= sqrt(2) < pi/2 PELO LEMA 2: (Tome b=sinx, a=cosx) 0 < sin(sin(x)) < cos(cos(x)) < 1 < pi/2 MAS SENO É CRESCENTE EM [0,pi/2]: 0 < sin(sin(sin(x))) < sin(cos(cos(x))) < 1 USANDO ISSO E LEMA 1 (com a = cos(cos(x))) sin(sin(sin(x)))+cos(cos(cos(x))) < sin(cos(cos(x)))+cos(cos(cos(x))) < < sqrt(2) < pi/2 PELO LEMA 2: Tome b=sin(sin(sinx)) e a=cos(cos(cosx)) sin(sin(sin(sin(x)))<cos(cos(cos(cos(x)) Essa era a parte difícil. O resto é mais tranquilo... ---///--- Agora, note que cos(cos(Pi-x))=cos(-cos(x))=cos(x) e sin(Pi-x)=sin(x). Portanto, f(x)=f(Pi-x) e g(x)=g(Pi-x). Assim, se x estiver em [Pi/2,Pi], então Pi-x está em [0,Pi/2], e portanto: f(x) = f(Pi-x) < g(Pi-x) = g(x) Para x em [-Pi,0], não é difícil ver que: f(x) <= 0 < g(x) Enfim, ambas as funções são periódicas de período 2Pi; como f(x)<g(x) em [-Pi,Pi], provamos que f(x)<g(x) para todo x real. Enfim, a equação acima não tem raiz real. Que tal? Algum erro? Se tudo estiver correto, creio que mostramos que sinsinsinsin...sinx < coscoscoscos...cosx quando ambos os lados tenham o mesmo número **par** de aplicações da função trigonométrica. Abraço, Ralph ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================