Seja A pertencente a M_n (R) (A é uma matriz do espaço das matrizes quadradas de ordem n *com coeficientes reais*).
*Lema 01)* Se A é simétrica -> todos seus autovalores são números reais. *obs* ("corolário" do Lema 01): dado que temos todos os autovalores reais, sempre podemos escolher os autovetores de A com todos os elementos reais. *Lema 02)* Se A é simétrica -> existe uma matriz S (cujas colunas são todos os autovetores de A) tal que A = S . D . S^(t), onde D é uma matriz diagonal formada por todos os autovalores de A e S^(t) é, como usual, a transposta de S. *Queremos mostrar*: se A pertence a M_n (R) e é *simétrica definida positiva *, então todos os elementos de sua diagonal principal são positivos. Do Lema 02, existe uma matriz S = (s_ij) e D = (d_ij) [d_ii = lâmbda_i (autovalores de A) para qualquer i e d_ij=0 para qualquer i <> j]. Seja X = S.D. Da definição do produto de matrizes: x_ij = soma(1 <= k <= n) s_ik . d_kj = s_ij. d_jj = s_ij . lâmbda_j. Agora, façamos o produto de X por S^(t) para obter A: a_ij = soma(1 <= k <= n) x_ik . s_jk = soma(1 <= k <= n) (s_ik . lâmbda_k) . s_jk. Podemos forçar i=j: a_ii = soma(1 <= k <= n) lâmbda_k . (s_ik)^2 > 0, uma vez que todos os lâmbda_k são positivos e nem todos os s_ik podem ser nulos. Em 8 de agosto de 2013 08:21, Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com>escreveu: > Pessoal, preciso de uma ajuda em Álgebra Linear: > > Uma matriz simétrica A é definida positiva se todos os seus autovalores > são positivos. > > *Como provar que em uma matriz definida positiva todos os elementos da > diagonal principal são positivos?* > > > Obrigado! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.