Seja A pertencente a M_n (R) (A é uma matriz do espaço das matrizes
quadradas de ordem n *com coeficientes reais*).
*Lema 01)* Se A é simétrica -> todos seus autovalores são números reais.
*obs* ("corolário" do Lema 01): dado que temos todos os autovalores reais,
sempre podemos escolher os autovetores de A com todos os elementos reais.
*Lema 02)* Se A é simétrica -> existe uma matriz S (cujas colunas são todos
os autovetores de A) tal que A = S . D . S^(t), onde D é uma matriz
diagonal formada por todos os autovalores de A e S^(t) é, como usual, a
transposta de S.
*Queremos mostrar*: se A pertence a M_n (R) e é *simétrica definida positiva
*, então todos os elementos de sua diagonal principal são positivos.
Do Lema 02, existe uma matriz S = (s_ij) e D = (d_ij) [d_ii = lâmbda_i
(autovalores de A) para qualquer i e d_ij=0 para qualquer i <> j].
Seja X = S.D. Da definição do produto de matrizes:
x_ij = soma(1 <= k <= n) s_ik . d_kj = s_ij. d_jj = s_ij . lâmbda_j.
Agora, façamos o produto de X por S^(t) para obter A:
a_ij = soma(1 <= k <= n) x_ik . s_jk = soma(1 <= k <= n) (s_ik .
lâmbda_k) . s_jk. Podemos forçar i=j:
a_ii = soma(1 <= k <= n) lâmbda_k . (s_ik)^2 > 0, uma vez que todos os
lâmbda_k são positivos e nem todos os s_ik podem ser nulos.
Em 8 de agosto de 2013 08:21, Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com>escreveu:
> Pessoal, preciso de uma ajuda em Álgebra Linear:
>
> Uma matriz simétrica A é definida positiva se todos os seus autovalores
> são positivos.
>
> *Como provar que em uma matriz definida positiva todos os elementos da
> diagonal principal são positivos?*
>
>
> Obrigado!
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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