A volta é fácil também: ao calcular a representação decimal de a/b (a e b naturais), nas divisões sucessivas por b só existem b-1 restos possíveis (resto = 0 em alguma etapa implica numa decimal finita) e, portanto, após não mais do que b-1 divisões, um resto vai se repetir, marcando o início de um novo período na representação decimal.
Agora, suponha que X = 0,123456789112233445566778899111222333444555666777888999... seja racional. Então existirão n e p naturais tais que, a partir da n-ésima casa decimal (1/10^n), os algarismos de X vão se repetir numa sequência com período p. Mas, pela lei de formação de X, vai existir uma sequência de n+p+1 algarismos iguais a 1, e esta sequência vai começar após a n-ésima casa decimal. Ou seja, a sequência vai estar incluída na parte periódica da representação decimal de X. Mas como o período é p, isso implica que a parte periódica teria que ser 111..11 (p algarismos 1) ==> contradição à lei de formação de X. []s, Claudio. On Fri, Apr 8, 2022 at 11:17 AM Pedro José <petroc...@gmail.com> wrote: > Bom dia! > Posso concluir que um número representado por uma infinidade de algarismos > decimais é racional se e somente se tem um período de repetições desses > algarismos? > A ida é fácil se tiver o período é racional. > Já a volta não sei se é verdade e se for há como provar? > > Meu objetivo primário é saber se: > 0,123456789112233445566778899111222333444555666777888999... é racional. As > reticências se referem ao aumento de mais um algarismo repetido a cada > sequência, ou seja a primeira aparição de 1 será 1, a 2a 11 a 3a 111 e > assim sucessivamente, o mesmo vale para os demais algarismos. > > Alguém poderia me ajudar? > Grato, > PJMS > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
