subject:"\[obm\-l\] Re\: \[obm\-l\] Re\: \[obm\-l\] equação"

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

2023-10-25 Por tôpico Daniel Jelin

Obrigado, Marcelo, abs!

Em qua., 25 de out. de 2023 00:24, Marcelo Gonda Stangler <
marcelo.gonda.stang...@gmail.com> escreveu:

> Este problema, com um pouco de uso de substituição pode ser mostrado como
> análogo a isolar em x: k=x-e^(-1/x+1)
> Tu precisas limitar o "quanto" estás disposto a fatorar, pois poderiamos
> isolar x deixando-o em função de f(x) tal que f(x)-e^(-1/f(x)+1)=k. Mas
> suspeito que não é isto que queres.
> Se estamos falando de isolar algebricamente x, podemos notar alguns pontos:
>   Exp(x) para valores não triviais causa transformações relativas a x na
> base minimal que contém x de extensão sobre A, o corpo dos algébricos.
>   Se k é algébrico não nulo, x deve ser transcedental, visto que e é
> transcedental e (-1/x+1) pertence ao corpo dos A[x], assim x ser algebráico
> seria um absurdo.
>   Se x é algébrico, à exceção de 1, raiz de -1/x+1, k será transcedental
> uma vez que e o é.
> Assim, à exceção do caso (k,x)=(0,1), não haverá soluções em que x e k são
> algebráicos. Então, ao isolar o x, obteriamos algo em relação a "e" ou "ln".
> Como k=x-e^(-1/x+1), a base minimal de extensão que contém k é a união
> desta base de x, e da base transformada de x por Exp().
> Assim, a base minimal de x teria que ser a união da base de k e da base
> transformada de k por Exp() (1) ou Ln() (2).
> (1) implica que ambos são algébricos e (k,x)=(0,1)
> (2) implica que BM(x) = BM(k) U BM(Ln(k)) = BM(x) U BM(Exp(x)) U
> BM(Ln(k)), também implica (k,x)=(0,1)
>
> Dessa forma provamos que é impossível 'isolar' o x em função de k.
>
> Em ter, 24 de out de 2023 21:15, Daniel Jelin 
> escreveu:
>
>> Caros, olá. Tenho a seguinte equação: 1/ln(x) - 1/(x-1) = k, com x e k
>> reais. Quero isolar o x, mas não consigo. Pergunto: alguém tem alguma dica?
>> E pergunto tb: é possível que simplesmente não haja meios de isolar o x?
>> Nesse caso, como se prova isso? abs.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação exponencial

2019-10-16 Por tôpico Prof. Douglas Oliveira

Pocha, explicadissimo, thank you my friend.

Em qua, 16 de out de 2019 18:12, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Depende!
>
> (Esta discussao eh analoga aaquela outra de "Afinal, 0 eh natural ou
> nao?"... cuja resposta eh "Decida como quiser, diga para todos como voce
> decidiu, e seja coerente. De preferencia, escreva as coisas para evitar a
> pergunta.")
>
> O problema eh a convenção: quanto vale 0^0 ? Ha duas opções: alguns
> matemáticos usam que 0^0=1; outros (acho que a maioria?) preferem dizer que
> 0^0 nao eh uma operação permitida.
>
> Eu pessoalmente prefiro dizer que 0^0=1 (sou minoria?). Veja bem, eh uma
> convenção, apenas uma convenção, então não tem "certo" ou "errado"... Mas
> tenho alguns argumentos a favor disto:
> A1) Se f(x) e g(x) sao funcoes **analiticas** em torno de x=a, com lim
> f(x) = lim g(x) = 0 quando x->a, e f nao eh identicamente nula perto de a,
> entao lim f^g=1 quando x->a. Por este motivo, 99% dos exercicios de Calculo
> que caem numa "indeterminacao" do tipo 0^0 acabam dando 1!
> A2) Com esta convencao, a funcao f(x)=x^0 vale 1 para todo x real, sem
> excecao.
> A3) Tecnicamente, (A2) de novo, mas agora explicando onde isso eh util:
> para descrever um polinomio generico (ou uma serie de potencias, que a
> gente usa bastante para resolver algumas EDOs), a gente escreve SUM (k=0 a
> n) a_k x^k (ou SUM (k=0 a Inf) a_k x^k) -- aqui SUM eh um somatório. Pois
> bem, o primeiro termo ali, quando k=0, eh a_0.x^0, e eu quero que isso
> valha a_0 para todo x, inclusive para x=0. Se voce eh da escola do "0^0 nao
> eh permitido", você vai ter que escrever o a_0 fora do somatório sozinho,
> ou abrir uma exceção, ou fingir que nao viu o problema. :(
>
> Para fazer o contraponto, vejo argumentos a favor de definir 0^0 como
> "operacao invalida":
> B1) A funcao g(x,y)=x^y (x>0, y>0) NAO TEM LIMITE quando (x,y)->(0,0),
> então nao faz sentido botar um valor especifico para g(0,0).
> B2) Ok, 99% dos limites do tipo 0^0 dao 1, mas os outros 1% NAO DAO 1, e
> isto poderia causar confusao!
> B3) A funcao f(x)=0^x eh continua em (0,Inf). Colocando f(0)=1, ela fica
> descontinua em x=0.
>
> Ainda assim, prefiro 0^0=1 -- acho (A3) forte, acho MUITO mais conveniente
> pensar que 0^0=1 para nao ter que me separar aquele a_0 do polinomio.
>
> Abraco, Ralph.
>
> On Wed, Oct 16, 2019 at 4:36 PM Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>
>> Amigos, me ajudem por favor.
>>
>> Afinal de contas, zero, é ou não é raiz da equação
>> (sqrt(x))^x=x^(sqrt(x=)?
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação 4 grau

2018-06-26 Por tôpico Pedro José

Boa noite!

Desculpem-me enrolei-me na hora da resposta.

Disse que não tinha raízes entre 0 e 1, que tinha enter 1 e 2 e depois que
tinha entre -1 e 0 mas na hora da resposta:

Portanto a solução não seria (-1,1)? Ou se quisesse ser mais exclusivo
(-1,0)U(0,1), quando o certo seria (-1,0) U(1,2).



Em 26 de junho de 2018 20:59, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2018-06-26 15:09 GMT-03:00 Daniel Quevedo :
> > As raizes reais da equaÃ§Ã£o x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo:
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4+-4x%3D1
>
> DÃ¡ uma soluÃ§Ã£o em -0.24904... e outra em 1.6633...
> NÃ£o tem um problema com o enunciado??
>
> > A) (1,11)
> > B) (2, 12)
> > C) (3, 13)
> > D) (4, 14)
> > E) ( 5, 15)
> >
> > R: c
>
> AbraÃ§os,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação 4 grau

2018-06-26 Por tôpico Pedro José

Boa noite!

Estranho
Seja P(x) = x^4-4x.
P(1)= -3 e P(2)= 8. logo existe pelo menos um "a" pertencente a (1,2) tal
que P(a)=1; pois, P(x) é contínua e P(1)=1. Como P(2) > 1, não temos soluções para
x>2.

Outra forma P(x) = x(x^3-4) ==> x^3-4 = 1/x. Mesmo sem conhecer cálculo
diferencial, não sei é o seu caso, é fácil observar que para x >= 0, x^3-4
é monótona crescente e 1/x é mónotona decrescente para x>0 como x^3-4 =4
para x=2 e 1/x = 1/2 para x> 2 não haverá soluções já que o lado que maior
cresce e o que é menor decresce.
Não há soluções para x>2
Para x pertencente a (0,1] temos: 1/x>= 1 e  -3
1/x=1/2. Como uma crescente e a outra é decrescente e ambas contínuas
existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
x^3-4 é monotona crescente para x<0
1/x é monótona decrescente para x<0
Como para x=0 x^3-4=-4 e 1/x --> -oo e para x=-1 x^3-4 = -7, para x<=-1 não
existem raízes e, para -1
escreveu:

> Oi daniel,
>
> Faça (x^2+1)^2 =2(x+1)^2 e .
>
> Abraçõs
>
> Carlos Victor
>
> Em 26/06/2018 15:09, Daniel Quevedo escreveu:
>
> As raizes reais da equação x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo:
> A) (1,11)
> B) (2, 12)
> C) (3, 13)
> D) (4, 14)
> E) ( 5, 15)
>
> R: c
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau

2018-06-16 Por tôpico Pedro José

Mas
Boa noite!
Correto, a resposta está errada. Pois a=b=0, garante um par (0,0), que
atende para x pertencente à |R.
Embora o enunciado esteja mal formulado, concodo; por ser uma questão de
múltiplas escolhas, não atenderia nenhuma. Mas não há como fugir da opção b.
Saudações,
PJMS


Em Sáb, 16 de jun de 2018 20:30,  escreveu:

> Bem, sobrou o caso a=b=0... Mas eu não gosto muito do enunciado -
> eu escreveria "...pelo menos uma raiz REAL comum" - de fato, se a=b
> então as equações têm raízes complexas comuns.
> Abraços,
>   Gugu
>
> Quoting Pedro José :
>
> > Boa noite!
> > Como é uma questão de múltipla escolha, dá para perceber uma restrição
> > quanto ao|R.
> > Se a<>b. Se o delta de uma das equações for >= 0, o outro será menor que
> 0.
> > Portanto não há soluções.
> > Saudações,
> > PJMS
> >
> > Em Sáb, 16 de jun de 2018 16:59, luciano rodrigues <
> lucianorsl...@gmail.com>
> > escreveu:
> >
> >> Se a=b então o delta é negativo.
> >>
> >> > Em 16 de jun de 2018, às 16:09, Daniel Quevedo 
> >> escreveu:
> >> >
> >> > O nÃºmero de pares ordenados (a, b), de nÃºmeros reais tais que as
> >> equaÃ§Ãµes x^2 + ax + b^2 = 0 e x^2 + bx + a^2 = 0 possuem pelo menos
> uma
> >> raiz comum Ã©:
> >> > a) 0
> >> > b) 1
> >> > c) 2
> >> > d) 3
> >> > e) 4
> >> >
> >> > R: 0
> >> >
> >> > PS: NÃ£o entendi a questÃ£o pq, se a = b, as equaÃ§Ãµes sÃ£o iguais e
> >> assim satisfarÃ£o a condiÃ§Ã£o (pelo menos uma raiz comum), mesmo que
> essas
> >> nÃ£o sejam reais. Mas como provar que para a diferente de b nÃ£o hÃ¡
> raizes
> >> comuns?
> >> >
> >> >
> >> > --
> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> > acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>  acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> =
> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>
> =
> >>
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
> >  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

2018-06-12 Por tôpico Pedro José

Boa tarde!
Se esse problema, que você se refere acima, é do mesmo livro está errada
também, a reposta, suponho.
A reposta dá 39. Foi postada na nota inicial.
Os fatores primos 2,3 e 5 são imediatos o 15 pode ser posto em evidência e
o número é par, portanto, o dois.
Com um pouco mais de dificuldade chega-se a 29 e depois, com mais
dificuldade, parei no 113, pois, furou a resposta. Já que 113 |15^(15^15) +
15.
Achei estranho o enunciado falar em quatro fatores apenas e fui atrás de
pelo menos um, como contra prova.

Então já o segundo patinho feio. No mínimo estranho. Pode ser falha na
edição das perguntas.

Saudações,
PJMS

Em 12 de junho de 2018 16:09, Claudio Buffara 
escreveu:

> Pois é... ainda quero ver a resposta do livro pro problema do
> 15^(15^15))+15.
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 12 de jun de 2018, à(s) 15:11, Carlos Victor 
> escreveu:
>
> Olá pessoal,
>
> Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas inconsistentes
> no gabarito.
>
> Carlos Victor
>
> Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu:
>
> Boa tarde!
>
>
> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e,
> verifiquei que nunca vai dar a identidade.
> Dá o quociente de duas funções afins e portanto nunca dará x.
> Por curiosidade, os coeficientes dos polinômios de primeiro grau são, em
> módulo, termos da sequência de Fibonacci.
> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é
> a solução temos:
>
> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x  -
> 2 + x^2/(2x^2-3x+1)
>
> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será
> cancelado esse termo em x^3, por exemplo.
> Será que fiz barbeiragem nesse desenvolvimento?
>
> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
>
> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de
> (1-x)/x=x
>
> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==>
> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
>
> mas aplicando a solução proposta:
>
> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5)
> +5) - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser
> visto, de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
>
> O problema não está fechando, creio eu.
> Ou defeito na proposição ou no resultado.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir 
> escreveu:
>
>>
>> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática (
>> Gandhi )
>> E resposta que ele diz é
>> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)
>>
>> Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir <
>> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
>>>
>>> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira 
>>> escreveu:
>>>
 Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
 rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
 f(x)+f(y)=1+x
 f(y)+f(z)=1+y
 f(z)+f(x)=1+z
 pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
 acharíamos f(x).

 Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio
 abaixo, porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver
 isso, mas estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma
 bobagem imensa.

 Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é
 g^(-1)(y)=1/(1+y)). Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro
 onde x_(k+1)=g(x_k) -- observe que crio isto incluindo k negativo, o que é
 possível desde que nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o
 **conjunto** de valores {x_k} de "órbita" do número a.

 Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
 dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
 nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
 órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
 ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
 recorrência.

 Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
 para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
 para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
 é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
 Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
 fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
 então há várias órbitas infinitas Acho.

 Abraço, Ralph.

 P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
 lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
 interessante, não?
 P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
 algo usando o limite de x_k...


 On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir <

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

2018-06-12 Por tôpico Claudio Buffara

Pois é... ainda quero ver a resposta do livro pro problema do 15^(15^15))+15.

Enviado do meu iPhone

Em 12 de jun de 2018, à(s) 15:11, Carlos Victor  
escreveu:

> Olá pessoal,
> 
> Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas inconsistentes no 
> gabarito.
> 
> Carlos Victor
> 
> Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu:
> 
>> Boa tarde!
>> 
>> 
>> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e, 
>> verifiquei que nunca vai dar a identidade.
>> Dá o quociente de duas funções afins e portanto nunca dará x.
>> Por curiosidade, os coeficientes dos polinômios de primeiro grau são, em 
>> módulo, termos da sequência de Fibonacci.
>> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é a 
>> solução temos:
>> 
>> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x  - 2 
>> + x^2/(2x^2-3x+1)
>> 
>> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado 
>> esse termo em x^3, por exemplo.
>> Será que fiz barbeiragem nesse desenvolvimento?
>> 
>> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
>> 
>> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de (1-x)/x=x
>> 
>> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==> 
>> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
>> 
>> mas aplicando a solução proposta:
>> 
>> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5) +5) 
>> - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser 
>> visto, de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
>> 
>> O problema não está fechando, creio eu.
>> Ou defeito na proposição ou no resultado.
>>  
>> Saudações,
>> PJMS
>>  
>> 
>> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir  
>> escreveu:
>>>  
>>> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática ( 
>>> Gandhi ) 
>>> E resposta que ele diz é
>>> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1) 
>>> 
 Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir 
  escreveu:
 Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
 
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira  
> escreveu:
> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer 
> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
> f(x)+f(y)=1+x
> f(y)+f(z)=1+y
> f(z)+f(x)=1+z
> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha, 
> acharíamos f(x).
>  
> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo, 
> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas 
> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
>  
> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)). 
> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) 
> -- observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que 
> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de 
> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>  
> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f 
> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais 
> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se 
> a órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode 
> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como 
> recorrência.
>  
> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão, 
> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a 
> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, 
> que é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes 
> reais. Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos 
> a que fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são 
> enumeráveis, então há várias órbitas infinitas Acho.
>  
> Abraço, Ralph.
>  
> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a 
> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio 
> é interessante, não?
> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer 
> algo usando o limite de x_k...
> 
>  
>> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir 
>>  wrote:
>> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>>  
>> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>>  
>> Obs:  ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> -- 
>> Esta

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

2018-06-12 Por tôpico Carlos Victor

 

Olá pessoal, 

Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas
inconsistentes no gabarito. 

Carlos Victor 

Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu: 

> Boa tarde!
> 
> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e, 
> verifiquei que nunca vai dar a identidade. Dá o quociente de duas funções 
> afins e portanto nunca dará x. Por curiosidade, os coeficientes dos 
> polinômios de primeiro grau são, em módulo, termos da sequência de Fibonacci. 
> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é a 
> solução temos:
> 
> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x - 2 + 
> x^2/(2x^2-3x+1)
> 
> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado 
> esse termo em x^3, por exemplo. Será que fiz barbeiragem nesse 
> desenvolvimento?
> 
> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
> 
> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de (1-x)/x=x
> 
> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==> 
> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
> 
> mas aplicando a solução proposta:
> 
> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5) +5) 
> - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser visto, 
> de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
> 
> O problema não está fechando, creio eu. 
> Ou defeito na proposição ou no resultado. 
> Saudações, PJMS
> 
> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir  
> escreveu:
> 
> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática ( Gandhi 
> ) 
> E resposta que ele diz é 
> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1) 
> 
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir  
> escreveu: 
> 
> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x 
> 
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira  
> escreveu: 
> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer 
> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então: 
> f(x)+f(y)=1+x 
> f(y)+f(z)=1+y 
> f(z)+f(x)=1+z 
> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha, 
> acharíamos f(x). 
> 
> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo, 
> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas 
> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa. 
> 
> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)). Dado 
> um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) -- observe 
> que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que nenhum dos 
> números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de valores {x_k} de 
> "órbita" do número a. 
> 
> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f dentro 
> de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais nada, ou 
> seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a órbita é 
> infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode ESCOLHER f(a) como 
> quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como recorrência. 
> 
> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão, para 
> vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a para 
> algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que é uma 
> equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais. Então, 
> mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que fazem a 
> órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis, então há 
> várias órbitas infinitas Acho. 
> 
> Abraço, Ralph. 
> 
> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a lista... 
> Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é 
> interessante, não? 
> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer algo 
> usando o limite de x_k... 
> 
> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir  
> wrote: 
> 
> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que 
> 
> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) . 
> 
> Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x . 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo. 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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acredita-se estar livre de perigo. 
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
 
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

2018-06-12 Por tôpico Pedro José

Boa tarde!


Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e,
verifiquei que nunca vai dar a identidade.
Dá o quociente de duas funções afins e portanto nunca dará x.
Por curiosidade, os coeficientes dos polinômios de primeiro grau são, em
módulo, termos da sequência de Fibonacci.
E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é
a solução temos:

f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x  -
2 + x^2/(2x^2-3x+1)

só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado
esse termo em x^3, por exemplo.

Será que fiz barbeiragem nesse desenvolvimento?

Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.

Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de
(1-x)/x=x

Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==>
f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4

mas aplicando a solução proposta:

f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5)
+5) - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser
visto, de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.

O problema não está fechando, creio eu.
Ou defeito na proposição ou no resultado.

Saudações,
PJMS


Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir 
escreveu:

>
> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática (
> Gandhi )
> E resposta que ele diz é
> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)
>
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir <
> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>
>> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
>>
>> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira 
>> escreveu:
>>
>>> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
>>> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
>>> f(x)+f(y)=1+x
>>> f(y)+f(z)=1+y
>>> f(z)+f(x)=1+z
>>> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
>>> acharíamos f(x).
>>>
>>> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio
>>> abaixo, porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver
>>> isso, mas estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma
>>> bobagem imensa.
>>>
>>> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
>>> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) --
>>> observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
>>> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
>>> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>>>
>>> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
>>> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
>>> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
>>> órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
>>> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
>>> recorrência.
>>>
>>> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
>>> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
>>> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
>>> é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
>>> Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
>>> fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
>>> então há várias órbitas infinitas Acho.
>>>
>>> Abraço, Ralph.
>>>
>>> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
>>> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
>>> interessante, não?
>>> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
>>> algo usando o limite de x_k...
>>>
>>> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir 
>>> wrote:
>>>
 Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que

 f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .

 Obs:  ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

2018-06-11 Por tôpico Jeferson Almir

Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática (
Gandhi )
E resposta que ele diz é
R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)

Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir 
escreveu:

> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
>
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira 
> escreveu:
>
>> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
>> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
>> f(x)+f(y)=1+x
>> f(y)+f(z)=1+y
>> f(z)+f(x)=1+z
>> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
>> acharíamos f(x).
>>
>> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo,
>> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas
>> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
>>
>> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
>> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) --
>> observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
>> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
>> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>>
>> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
>> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
>> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
>> órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
>> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
>> recorrência.
>>
>> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
>> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
>> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
>> é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
>> Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
>> fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
>> então há várias órbitas infinitas Acho.
>>
>> Abraço, Ralph.
>>
>> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
>> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
>> interessante, não?
>> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
>> algo usando o limite de x_k...
>>
>> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir 
>> wrote:
>>
>>> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>>>
>>> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>>>
>>> Obs:  ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

2018-06-11 Por tôpico Jeferson Almir

Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x

Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
> f(x)+f(y)=1+x
> f(y)+f(z)=1+y
> f(z)+f(x)=1+z
> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
> acharíamos f(x).
>
> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo,
> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas
> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
>
> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) --
> observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>
> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
> órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
> recorrência.
>
> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
> é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
> Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
> fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
> então há várias órbitas infinitas Acho.
>
> Abraço, Ralph.
>
> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
> interessante, não?
> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
> algo usando o limite de x_k...
>
> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir 
> wrote:
>
>> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>>
>> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>>
>> Obs:  ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Trigonométrica

2016-09-10 Por tôpico Ricardo Leão

Muito Obrigado por responder e tirar a minha dúvida, professor Carlos !

Em 10 de setembro de 2016 16:09, Carlos Gomes 
escreveu:

> Olá Ricardo você está certo!
>
> Em 10 de setembro de 2016 14:31, Ricardo Leão 
> escreveu:
>
>> Olá amigos,
>> Eu tenho uma dúvida em relação ao seguinte enunciado:
>>
>> Sendo x medida em radianos, com 0 <= x <= 2pi, a soma de todas as raízes
>> da equação cos² 2x = sen² x é igual a:
>>
>> a) 3pi/2   c) 3pi e) 6pi
>> b) 2pi  d) 4pi
>>
>> De acordo com o gabarito oficial a resposta é Item B.
>>
>> Mas de acordo com meus cálculos x = { pi/6, 5pi/6, 7pi/6, 11pi/6, pi/2,
>> 3pi/2} com soma das raízes igual a 6pi.
>>
>> Por favor, algum colega poderia tirar essa dúvida ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina

2015-10-15 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo

Na verdade Pedro eu parti do princípio que ao ler minha pergunta vcs iriam
ler a solução que está no link que deixei ´na pergunta, e lá no link está
claro que ele toma valores de x>=4, foi  mal!

Em 15 de outubro de 2015 16:05, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Pessoal, gostaria de agradecer ao pessoal do grupo, vcs são demais, vcs
> entendem muito e raciocinam para kralho!Além disso são humildes ao
> responderem minhas dúvidas, vcs são 10!
>
> Em 15 de outubro de 2015 15:43, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas.
>> Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54).
>> Procure expressar melhor o que você deseja.
>>
>>
>>
>> Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a
>> congruência se repete...
>>
>> Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m)
>> é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0> tal que mdc(d,m) = 1., ou seja, a cardinalidade do grupo (Z /Zm)*.
>> Para calcular Ф(m), onde a fatoração de m é p1^y1 * p2^y2 *...* pn^yn
>> teremos:
>>  Ф(m)=m *(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) (i)
>>
>> assim para m=81, como mdc (5,81) =1 temos por Euler-Fermat que 5^Ф(81)  ≡
>> 1 (mod 81),
>>
>> 81= 3^4, logo por (i) Ф(81) = 81 (2/3)= 54 ==> 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==>
>> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81),
>> ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p  (mod 81)
>>
>> Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡
>> 1 (mod m),.
>>
>> Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m,
>> representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d  ≡ 1 (mod
>> m).
>>
>> Portanto temos que: ordma divide Ф(m).
>>
>> E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m.
>>
>> No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81.
>>
>> Recomendo você dar uma lida:
>> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf
>>
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Saudações.
>>
>> Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero
>>> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir
>>> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é
>>> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples?
>>> Aqui está a solução da equação diofantina:
>>> http://diego.mat.unb.br/click.html
>>> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente
>>> a -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu
>>> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu
>>> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81
>>> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se
>>> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências
>>> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser
>>> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as
>>> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém
>>> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo
>>> para mim, desde já agradeço!
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina

2015-10-15 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo

Pessoal, gostaria de agradecer ao pessoal do grupo, vcs são demais, vcs
entendem muito e raciocinam para kralho!Além disso são humildes ao
responderem minhas dúvidas, vcs são 10!

Em 15 de outubro de 2015 15:43, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas.
> Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54).
> Procure expressar melhor o que você deseja.
>
>
>
> Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a
> congruência se repete...
>
> Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m)
> é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0 tal que mdc(d,m) = 1., ou seja, a cardinalidade do grupo (Z /Zm)*.
> Para calcular Ф(m), onde a fatoração de m é p1^y1 * p2^y2 *...* pn^yn
> teremos:
>  Ф(m)=m *(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) (i)
>
> assim para m=81, como mdc (5,81) =1 temos por Euler-Fermat que 5^Ф(81)  ≡
> 1 (mod 81),
>
> 81= 3^4, logo por (i) Ф(81) = 81 (2/3)= 54 ==> 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==>
> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81),
> ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p  (mod 81)
>
> Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡ 1
> (mod m),.
>
> Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m,
> representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d  ≡ 1 (mod m).
>
> Portanto temos que: ordma divide Ф(m).
>
> E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m.
>
> No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81.
>
> Recomendo você dar uma lida:
> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf
>
> Saudações,
> PJMS.
>
>
>
>
>
>
>
> Saudações.
>
> Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero
>> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir
>> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é
>> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples?
>> Aqui está a solução da equação diofantina:
>> http://diego.mat.unb.br/click.html
>> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente a
>> -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu
>> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu
>> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81
>> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se
>> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências
>> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser
>> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as
>> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém
>> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo
>> para mim, desde já agradeço!
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

2015-10-14 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo

ah sim é verdade!

Em 14 de outubro de 2015 11:20, Gabriel Tostes 
escreveu:

> (1,0) nao eh solucao tbm?
>
>
>
> Sent from my iPad
> On Oct 14, 2015, at 11:04, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> wrote:
>
> EstÃ¡ aqui no site do professor Diego Marques:
> http://diego.mat.unb.br/click.html
> SÃ³ possui uma soluÃ§Ã£o, que Ã© a soluÃ§Ã£o trivial(x=3 e y=2).Mas Â o
> difÃcil Ã© provar que a soluÃ§Ã£o Ã© Ãºnica, veja que raciocÃnio
> fantÃ¡stico!
>
> Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araÃºjo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> E a soluÃ§Ã£o da equaÃ§Ã£o 3^x - 5^y = 2 ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação

2015-08-11 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo

Obrigado

Em 11 de agosto de 2015 14:27, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
escreveu:

 Olha o teorema 2.7 na pag 37 do livro de teoria dos números do José Plinio.

 Em 11 de agosto de 2015 13:46, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 x=5n+4 e y=3n+2 são as únicas soluções da equação 3x-5y=2?Em caso
 afirmativo, como provo que são as únicas soluções?

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --
 Esdras Muniz Mota
 Mestrando em Matemática
 Universidade Federal do Ceará



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro José

Bom dia!

Desculpe-me, não vi a restrição do método.

Sds,
PJMS

Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu:

 Obrigado, Pedro José!

 O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.

 Um abraço!
 Pedro Chaves

 
  Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
  From: petroc...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Bom dia!
 
  Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
  se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
 
  Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
 
  12 = 7 * 1 + 5
  7 = 5 * 1 + 2
  5 = 2 * 2 + 1
 
  Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
  7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
  modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
 
  5 = 12 - 7 (i)
  2 = 7 - 5 (ii)
  1 = 5 - 2 *2 (iii)
 
  (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
 
  (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
 
  então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
 
  então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
 
  Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
  equação 7 x - 12 y = 11.
 
  Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
  == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
 
  pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
 
  Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
 
  m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
  == y = -33 + 7*t (vi)
 
  (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
 
  Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
  7*t, t ƐZ }
 
  Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
  entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
  dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
  soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Tem o artigo do eduardo Tengan:
  http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
  demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
  equações.
 
  Saudações,
  PJMS
 
 
 
 
 
  Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
  b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu:
  Pedro,
 
  7 é o inverso de 7 módulo 12
 
  --
  Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/)
 
 
  -- Original Message ---
  From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
  Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
 
  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
  congruência? Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
  --- End of Original Message ---
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro Chaves

Obrigado, Pedro José!

O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.

Um abraço!
Pedro Chaves

 Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 
 From: petroc...@gmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.br 

 Bom dia! 

 Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente 
 se m.d.c.(a,b) divide c. 

 Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução. 

 Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides. 

 12 = 7 * 1 + 5 
 7 = 5 * 1 + 2 
 5 = 2 * 2 + 1 

 Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e 
 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de 
 modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.) 

 5 = 12 - 7 (i) 
 2 = 7 - 5 (ii) 
 1 = 5 - 2 *2 (iii) 

 (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv) 

 (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5 

 então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1. 

 então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1 

 Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da 
 equação 7 x - 12 y = 11. 

 Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33) 
 == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v) 

 pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33) 

 Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b. 

 m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33) 
 == y = -33 + 7*t (vi) 

 (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t 

 Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + 
 7*t, t ƐZ } 

 Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos 
 entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta 
 dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem 
 soluções se m.d.c.(a,b) divide c. 

 Tem o artigo do eduardo Tengan: 
 http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há 
 demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas 
 equações. 

 Saudações, 
 PJMS 

 Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire 
 b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu: 
 Pedro, 

 7 é o inverso de 7 módulo 12 

 -- 
 Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/) 

 -- Original Message --- 
 From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br 
 obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br 
 Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 
 Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 

 Caros Colegas, 

 A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por 
 congruência? Não consegui. 

 Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. 

 Abraços. 
 Pedro Chaves 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 

 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
 = 
 --- End of Original Message --- 

 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 

 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro José

Boa tarde!

Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m.

Desculpem-me,
PJMS

Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 Não parei para pensar se dá sempre.

 7 * x  ≡ 11 (mod12) == 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) == x ≡ 5 (mod12) == x = 5
 + 12* m : m Ɛ Z

 -12*y ≡11 (mod7) == 2*y ≡ 4 (mod7) == 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) == y ≡ 2 (mod12)
 == y =2 + 7*n : n ƐZ


  Substituindo na equação original temos:

 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 == 84*m - 84* n = 0 == m=n == x = 5
 +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ.

 Saudações,
 PJMS






 Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 Desculpe-me, não vi a restrição do método.

 Sds,
 PJMS

 Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves brped...@hotmail.com
 escreveu:

 Obrigado, Pedro José!

 O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.

 Um abraço!
 Pedro Chaves

 
  Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
  From: petroc...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Bom dia!
 
  Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
  se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
 
  Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
 
  12 = 7 * 1 + 5
  7 = 5 * 1 + 2
  5 = 2 * 2 + 1
 
  Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
  7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
  modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
 
  5 = 12 - 7 (i)
  2 = 7 - 5 (ii)
  1 = 5 - 2 *2 (iii)
 
  (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
 
  (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
 
  então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
 
  então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
 
  Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
  equação 7 x - 12 y = 11.
 
  Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
  == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
 
  pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
 
  Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
 
  m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
  == y = -33 + 7*t (vi)
 
  (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
 
  Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
  7*t, t ƐZ }
 
  Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
  entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
  dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
  soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Tem o artigo do eduardo Tengan:
  http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
  demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
  equações.
 
  Saudações,
  PJMS
 
 
 
 
 
  Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
  b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu:
  Pedro,
 
  7 é o inverso de 7 módulo 12
 
  --
  Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/)
 
 
  -- Original Message ---
  From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
  Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
 
  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
  congruência? Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
  --- End of Original Message ---
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =





-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro José

Boa tarde!

Não parei para pensar se dá sempre.

7 * x  ≡ 11 (mod12) == 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) == x ≡ 5 (mod12) == x = 5 +
12* m : m Ɛ Z

-12*y ≡11 (mod7) == 2*y ≡ 4 (mod7) == 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) == y ≡ 2 (mod12)
== y =2 + 7*n : n ƐZ


 Substituindo na equação original temos:

7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 == 84*m - 84* n = 0 == m=n == x = 5 +12
m e y = 2 + 2m : m ƐZ.

Saudações,
PJMS






Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 Desculpe-me, não vi a restrição do método.

 Sds,
 PJMS

 Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves brped...@hotmail.com
 escreveu:

 Obrigado, Pedro José!

 O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.

 Um abraço!
 Pedro Chaves

 
  Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
  From: petroc...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Bom dia!
 
  Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
  se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
 
  Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
 
  12 = 7 * 1 + 5
  7 = 5 * 1 + 2
  5 = 2 * 2 + 1
 
  Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
  7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
  modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
 
  5 = 12 - 7 (i)
  2 = 7 - 5 (ii)
  1 = 5 - 2 *2 (iii)
 
  (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
 
  (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
 
  então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
 
  então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
 
  Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
  equação 7 x - 12 y = 11.
 
  Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
  == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
 
  pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
 
  Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
 
  m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
  == y = -33 + 7*t (vi)
 
  (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
 
  Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
  7*t, t ƐZ }
 
  Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
  entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
  dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
  soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Tem o artigo do eduardo Tengan:
  http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
  demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
  equações.
 
  Saudações,
  PJMS
 
 
 
 
 
  Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
  b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu:
  Pedro,
 
  7 é o inverso de 7 módulo 12
 
  --
  Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/)
 
 
  -- Original Message ---
  From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
  Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
 
  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
  congruência? Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
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  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
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  acredita-se estar livre de perigo.

 --
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  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =




-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro Chaves

Obrigado a todos! 
Pedro Chaves
__

 Date: Wed, 22 Apr 2015 14:32:35 -0300 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina 
 (de novo) 
 From: petroc...@gmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.br 

 Boa tarde! 

 Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m. 

 Desculpem-me, 
 PJMS 

 Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José 
 petroc...@gmail.commailto:petroc...@gmail.com escreveu: 
 Boa tarde! 

 Não parei para pensar se dá sempre. 

 7 * x ≡ 11 (mod12) == 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) == x ≡ 5 (mod12) == x = 
 5 + 12* m : m Ɛ Z 

 -12*y ≡11 (mod7) == 2*y ≡ 4 (mod7) == 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) == y ≡ 2 
 (mod12) == y =2 + 7*n : n ƐZ 

 Substituindo na equação original temos: 

 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 == 84*m - 84* n = 0 == m=n == x = 5 
 +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ. 

 Saudações, 
 PJMS 

 Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José 
 petroc...@gmail.commailto:petroc...@gmail.com escreveu: 
 Bom dia! 

 Desculpe-me, não vi a restrição do método. 

 Sds, 
 PJMS 

 Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves 
 brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu: 
 Obrigado, Pedro José! 

 O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência. 

 Um abraço! 
 Pedro Chaves 

 Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 
 From: petroc...@gmail.commailto:petroc...@gmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br 

 Bom dia! 

 Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente 
 se m.d.c.(a,b) divide c. 

 Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução. 

 Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides. 

 12 = 7 * 1 + 5 
 7 = 5 * 1 + 2 
 5 = 2 * 2 + 1 

 Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e 
 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de 
 modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.) 

 5 = 12 - 7 (i) 
 2 = 7 - 5 (ii) 
 1 = 5 - 2 *2 (iii) 

 (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv) 

 (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5 

 então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1. 

 então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1 

 Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da 
 equação 7 x - 12 y = 11. 

 Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33) 
 == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v) 

 pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33) 

 Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b. 

 m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33) 
 == y = -33 + 7*t (vi) 

 (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t 

 Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + 
 7*t, t ƐZ } 

 Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos 
 entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta 
 dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem 
 soluções se m.d.c.(a,b) divide c. 

 Tem o artigo do eduardo Tengan: 
 http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há 
 demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas 
 equações. 

 Saudações, 
 PJMS 

 Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire 

 b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br

 escreveu: 
 Pedro, 

 7 é o inverso de 7 módulo 12 

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 obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br

 Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 
 Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 

 Caros Colegas, 

 A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por 
 congruência? Não consegui. 

 Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. 

 Abraços. 
 Pedro Chaves 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação funcional e Continuidade

2015-02-24 Por tôpico Gabriel Lopes

Aparentemente o caso de f  decrescente não era análogo , Obrigado Ralph.

Em 22 de fevereiro de 2015 22:19, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
escreveu:

 Tem funcoes demais... Basicamente:

 i) Escolha um a qualquer tal que 0a1.
 ii) Desenhe um grafico continuo decrescente QUALQUER de (0,1) ateh (a,a).
 iii) Desenhe o simetrico deste grafico com relacao aa reta y=x
 iv) Pronto, voce tem um grafico de funcao que satisfaz suas condicoes!

 Abraco, Ralph.

 2015-02-20 14:36 GMT-05:00 Gabriel Lopes cronom...@gmail.com:

 *Prezados colegas gostaria de ajuda com o seguinte problema:

 - Encontre todas as funções contínuas  f : [0,1] -- [0,1]  tais que:
 f(f(x)) = x  .

 *Procedi da seguinte maneira:

 1.Deduzi imediatamente (pelos fatos básicos de composição de funções)
 que  f  é bijetiva .

 2.Na continuação utilizei do seguinte TMA :  Se  f : X -- R  é uma
 função contínua  , então f é injetiva  se e somente se é crescente ou
 decrescente.

 3.Não consegui ir alem , olhei então a dica do meu livro que procedeu
 como eu fiz em 1 e 2 , e acresceu o seguinte : I. Suponha que  f  é
 crescente ( o caso em que f  é decrescente é análogo) , II. Suponha que
 para algum  x  em  (0,1)  :  f(x)  x   então  x = f(f(x))  f(x)  ,uma
 contradição e da mesma forma eliminamos o caso  f(x)  x  ;  portanto  f(x)
 = x  , para todo x em [0,1] .

 4.O problema fica quando tento provar o caso em que  f  é decrescente (
 que parece não ser  completamente análogo) ; obviamente a função  f(x) = 1
 - x   também satisfaz  , logo tentei obter uma contradição ao supor  f(x) 
 1 - x  para algum x em (0,1)  ; parei por aqui.

 *Sinto que talvez seja uma coisa boba ( alguma manipulação algébrica
 simples etc...) contudo não consegui continuar ;  se  for algo mais
 complexo poderiam enviar uma dica junto a solução?

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação modular

2013-09-12 Por tôpico saulo nilson

 |x+1|+|x|+3|x-1|+2|x-2| = |7x-6|

x=2
x+1+x+3x-3+2x-4=7x-6
sempre verdade
1=x2
x+1+x+3x-3-2x+4=7x-6
4x=8
x=2
6/7x1
x+1+x-3x+3-2x+4=7x-6
10x=14
x=7/5
0x=6/7
x+1+x+3x+3-2x+4=-7x+6
10x=-2
x=--1/5
-1x=0
x+1-x-3x+3-2x+4=-7x+6
2x=-2
x=-1
x=-1
-x-1-x-3x+3-2x+4=-7x+6
sempre verdade







2013/9/10 Lucas Colucci lucas.colucci.so...@gmail.com

 Acho que essa propriedade da soma ser igual ajuda se vc usar a
 desigualdade triangular...
 2013.09.09. 3:11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com ezt írta:



 Fala ai galera, meu professor me deu uma lista de equações modulares com
 infinitos exercícios. E eu que faltei na aula de módulo perdi os bizus pra
 resolver as questões e tenho que dividir em infinitos casos. Eu lembro que
 tinha uma propriedade de que se você descobrisse que a soma do argumento de
 cada modulo do lado esquerdo é exatamente o lado direito facilitava pra
 caramba, só não sei como, alguém pode me dar uma ajuda? Por exemplo, como
 vocês resolveriam as seguintes equações (todas são da lista):

 a) |x+1|+|x|+3|x-1|+2|x-2| = |7x-6|
 b) |x+1|+|x|+3|x-1|+2|x-2| = 7x-6
 c) |x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2| = |x+2|
 d) |x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2| = x+2

 Eu acho que deve ter alguma coisa a ver com |a+b| = |a|+|b| se e somente
 se a.b0, mas não estou conseguindo aplicar isso

 []'s
 João

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial

2013-09-03 Por tôpico saulo nilson

x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0

DELTA=9M^2+12M+4-4M^2
=5m^2+12m+4
x^2=(3m+2+-rq(5m^2+12m+4))/2
3m+2+rq(5m^2+12m+4)=3m+2-rq(5m^2+12m+4)
delta=144-80=64
m=(-12+-8)/10=-2 OU -2/5


2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com

 2013/9/2 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
 
  Determine m sabendo que a equação x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0
  tem 4 raízes reais em progressão aritmética.
 
  Sejam - b, -a,a e b as raízes em PA.
  Devemos ter b = 3a (1) ;a+b = 3m+2 (2) e ab = m^2 (3)
  Resolvendo o sistema formado por (1) , (2) e (3) encontrei
  um valor bem feio pra m.
  Algo errado?

 Você está usando Girard na equação quadrática em x^2. Cujas raízes são
 a^2 e b^2, portanto as relações (2) e (3) estão erradas. E não esqueça
 de verificar que quando você tiver terminado de resolver (1), (2) e
 (3) para achar a^2 e b^2, que ambos sejam positivos !

 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

 --
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial

2013-09-03 Por tôpico marcone augusto araújo borges

Veja que m = 6 satisfaz.

Date: Tue, 3 Sep 2013 22:12:16 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial
From: saulo.nil...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0

DELTA=9M^2+12M+4-4M^2
=5m^2+12m+4x^2=(3m+2+-rq(5m^2+12m+4))/23m+2+rq(5m^2+12m+4)=3m+2-rq(5m^2+12m+4)
delta=144-80=64m=(-12+-8)/10=-2 OU -2/5

2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com

2013/9/2 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com




 Determine m sabendo que a equação x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0

 tem 4 raízes reais em progressão aritmética.



 Sejam - b, -a,a e b as raízes em PA.

 Devemos ter b = 3a (1) ;a+b = 3m+2 (2) e ab = m^2 (3)

 Resolvendo o sistema formado por (1) , (2) e (3) encontrei

 um valor bem feio pra m.

 Algo errado?



Você está usando Girard na equação quadrática em x^2. Cujas raízes são

a^2 e b^2, portanto as relações (2) e (3) estão erradas. E não esqueça

de verificar que quando você tiver terminado de resolver (1), (2) e

(3) para achar a^2 e b^2, que ambos sejam positivos !



--

Bernardo Freitas Paulo da Costa



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[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial

2013-09-03 Por tôpico João Maldonado

Dá pra fazer assim
Sendo -3a, -a, a e 3a os termos da PA
Por Girrard
P2x2 = -10a² = -(3m+2)
P4x4 = 9a^4 = m²

Daí
100a^4 = (3m+2)^2 = 100m²/9
Daonde vem m = 6 ou m = -6/19

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial
Date: Wed, 4 Sep 2013 01:51:13 +




Veja que m = 6 satisfaz.

Date: Tue, 3 Sep 2013 22:12:16 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial
From: saulo.nil...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0

DELTA=9M^2+12M+4-4M^2
=5m^2+12m+4x^2=(3m+2+-rq(5m^2+12m+4))/23m+2+rq(5m^2+12m+4)=3m+2-rq(5m^2+12m+4)
delta=144-80=64m=(-12+-8)/10=-2 OU -2/5

2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com

2013/9/2 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com




 Determine m sabendo que a equação x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0

 tem 4 raízes reais em progressão aritmética.



 Sejam - b, -a,a e b as raízes em PA.

 Devemos ter b = 3a (1) ;a+b = 3m+2 (2) e ab = m^2 (3)

 Resolvendo o sistema formado por (1) , (2) e (3) encontrei

 um valor bem feio pra m.

 Algo errado?



Você está usando Girard na equação quadrática em x^2. Cujas raízes são

a^2 e b^2, portanto as relações (2) e (3) estão erradas. E não esqueça

de verificar que quando você tiver terminado de resolver (1), (2) e

(3) para achar a^2 e b^2, que ambos sejam positivos !



--

Bernardo Freitas Paulo da Costa



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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

2013-08-14 Por tôpico terence thirteen

Eu posso ensinar um método, mas creio que todos eles são essencialmente a
mesma coisa.

A minha ideia é partir da teoria soma-produto:

x+y=S
xy=P

A ideia é tentar calcular a diferença, x-y. Para isso, podemos usar
produtos notáveis: (x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy

Substituindo os valores: S^2-(x-y)^2 = 4P

x-y = sqrt(S^2-4P)

Agora fica fácil! Testa, é claro, os sinais + e - da radiciação.

Outra forma seria completar os quadrados. Mas uma outra possível solução
seria um deslocamento de variável:

Se temos x^2-Sx+P=0, façamos x=Z+d (d de delta), abrimos tudo e obtemos uma
equação de segundo grau em Z. A partir daí, ajuste o d a fim de que o termo
de primeiro grau se anule:

Z^2+2dZ+d^2
-SZ-Sd
+P

Z^2+(2d-S)Z+(D^2-Sd+P) = 0

d = S/2 serve! Obtemos algo como 'Z^2+T=0' e pronto!





Em 5 de agosto de 2013 19:39, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

 Vc tem toda a razão. É um método diferente, mas eu não me lembro, vou
 pesquisar!
 Abraços
 Hermann
 - Original Message - From: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Monday, August 05, 2013 6:52 PM
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau
 métodos de sol



 Uma coisa que eu aprendi eh que quase nenhum pais alem do Brasil chama
 esta formula de Baskara -- pelo menos nas minhas turmas
 internacionais, ninguem reconhece o nome, nem os indianos chamam
 assim... Acho que eh formula quadratica em varias linguas, mas
 fiquem aa vontade para me desmentir -- como eh no resto da America
 Latina?

 Mas, se eu entendi direito, nao eh esse o problema, neh? O seu aluno
 fazia realmente por algum outro metodo, eh isso? Nao consigo imaginar
 algo que seja tao geral quanto a formula usual, e que nao seja bem
 parecida com ela... Alguem do Peru vai ter que responder... :)

 Abraco,
 Ralph

 2013/8/5 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:

 Eu acho que vc completou o quadrado e isso é báskara, agradeço, mas o que
 eu
 desejava saber é que método é ensinado no Peru.
 Diferente de báskara.

 - Original Message -
 From: Esdras Muniz
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Monday, August 05, 2013 1:01 PM
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

 x² - 3x + 5 = 0
 x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)²
 (x - 3/2)² = (3/2)² - 5
 


 Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br
 escreveu:


 Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na
 época.

 Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da
 equação (sem báskara, sem S e P)

  ax^2+bx+c=0

 abraços

 Hermann

 --
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 acredita-se estar livre de perigo.





 --
 Esdras Muniz Mota
 Graduando em Matemática Bacharelado
 Universidade Federal do Ceará

 Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto

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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~**obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 ==**==**=


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神が祝福

Torres

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

2013-08-05 Por tôpico Hermann

Eu acho que vc completou o quadrado e isso é báskara, agradeço, mas o que eu 
desejava saber é que método é ensinado no Peru.
Diferente de báskara.
  - Original Message - 
  From: Esdras Muniz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, August 05, 2013 1:01 PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol


  x² - 3x + 5 = 0
  x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)²
  (x - 3/2)² = (3/2)² - 5
  



  Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na época.

Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da 
equação (sem báskara, sem S e P)

 ax^2+bx+c=0

abraços

Hermann

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  Esdras Muniz Mota
  Graduando em Matemática Bacharelado
  Universidade Federal do Ceará

  Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto 

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

2013-08-05 Por tôpico Ralph Teixeira

Uma coisa que eu aprendi eh que quase nenhum pais alem do Brasil chama
esta formula de Baskara -- pelo menos nas minhas turmas
internacionais, ninguem reconhece o nome, nem os indianos chamam
assim... Acho que eh formula quadratica em varias linguas, mas
fiquem aa vontade para me desmentir -- como eh no resto da America
Latina?

Mas, se eu entendi direito, nao eh esse o problema, neh? O seu aluno
fazia realmente por algum outro metodo, eh isso? Nao consigo imaginar
algo que seja tao geral quanto a formula usual, e que nao seja bem
parecida com ela... Alguem do Peru vai ter que responder... :)

Abraco,
 Ralph

2013/8/5 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:
 Eu acho que vc completou o quadrado e isso é báskara, agradeço, mas o que eu
 desejava saber é que método é ensinado no Peru.
 Diferente de báskara.

 - Original Message -
 From: Esdras Muniz
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Monday, August 05, 2013 1:01 PM
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

 x² - 3x + 5 = 0
 x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)²
 (x - 3/2)² = (3/2)² - 5
 


 Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

 Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na
 época.

 Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da
 equação (sem báskara, sem S e P)

  ax^2+bx+c=0

 abraços

 Hermann

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

2013-08-05 Por tôpico Hermann

Vc tem toda a razão. É um método diferente, mas eu não me lembro, vou 
pesquisar!

Abraços
Hermann
- Original Message - 
From: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, August 05, 2013 6:52 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau 
métodos de sol

Uma coisa que eu aprendi eh que quase nenhum pais alem do Brasil chama
esta formula de Baskara -- pelo menos nas minhas turmas
internacionais, ninguem reconhece o nome, nem os indianos chamam
assim... Acho que eh formula quadratica em varias linguas, mas
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Latina?

Mas, se eu entendi direito, nao eh esse o problema, neh? O seu aluno
fazia realmente por algum outro metodo, eh isso? Nao consigo imaginar
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parecida com ela... Alguem do Peru vai ter que responder... :)

Abraco,
Ralph

2013/8/5 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:
Eu acho que vc completou o quadrado e isso é báskara, agradeço, mas o que 
eu

desejava saber é que método é ensinado no Peru.
Diferente de báskara.

- Original Message -
From: Esdras Muniz
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, August 05, 2013 1:01 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

x² - 3x + 5 = 0
x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)²
(x - 3/2)² = (3/2)² - 5

Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na
época.

Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da
equação (sem báskara, sem S e P)

 ax^2+bx+c=0

abraços

Hermann

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Universidade Federal do Ceará

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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau

2013-07-24 Por tôpico Marcos Martinelli

Tendo encontrado uma das raízes de z^3 - 5z + 5 = 0, você pode tentar
forçar a fatoração. Mas creio que não será uma equação do segundo grau das
mais bonitas.


Em 24 de julho de 2013 14:49, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.comescreveu:

 Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não
 podem ser obtidas?


 Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli 
 mffmartine...@gmail.comescreveu:

 Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na
 equação do terceiro grau, teremos:

 (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 - z^3 - 5z + 5
 = 0 (*).

 Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de
 variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p +
 raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos:

 [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z]

 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 /
 (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita.

 Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 *
 raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1.


 Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz 
 vanderma...@gmail.comescreveu:

  Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas
 imaginárias, da equação:

 x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0

 Grato,

 Vanderlei

 --
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau

2013-07-24 Por tôpico João Maldonado

Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz)
Podemos rearranjar dessa forma
 z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy)
x³ + y³ = 5
3xy = 5, x³y³ = 125/27
SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0
x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)
y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)

Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra  se acha por bascara
delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)²
z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2

Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
From: vanderma...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não 
podem ser obtidas?

Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com 
escreveu:

Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na 
equação do terceiro grau, teremos:

(z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 - z^3 - 5z + 5 = 0 
(*).

Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. 
Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + 
raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos:


[Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z]
2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 
3)), vamos ter a equação anterior satisfeita.



Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) 
+ raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1.


Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu:


Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, 
da equação:
x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0
Grato,
Vanderlei



--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.




--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.




--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau

2013-07-24 Por tôpico João Maldonado

Corrigindo (erro de digitação)
y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3)
From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau 
Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300




Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz)
Podemos rearranjar dessa forma
 z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy)
x³ + y³ = 5
3xy = 5, x³y³ = 125/27
SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0
x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)
y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)

Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra  se acha por bascara
delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)²
z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2

Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
From: vanderma...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não 
podem ser obtidas?

Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com 
escreveu:

Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na 
equação do terceiro grau, teremos:

(z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 - z^3 - 5z + 5 = 0 
(*).

Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. 
Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + 
raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos:


[Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z]
2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 
3)), vamos ter a equação anterior satisfeita.



Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) 
+ raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1.


Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu:


Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, 
da equação:
x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0
Grato,
Vanderlei



--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.




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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.




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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau

2013-07-24 Por tôpico Vanderlei Nemitz

Muito obrigado! Bela solução a sua! Posso utilizar em qualquer equação
cúbica?


Em 24 de julho de 2013 16:56, João Maldonado
joao_maldona...@hotmail.comescreveu:

 Corrigindo (erro de digitação)
 y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3)
 --
 From: joao_maldona...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro
 grau
 Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300


 Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que
 x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz)
 Podemos rearranjar dessa forma
  z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy)
 x³ + y³ = 5
 3xy = 5, x³y³ = 125/27
 SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0
 x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)
 y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)

 Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra  se acha por bascara
 delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)²
 z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2

 --
 Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
 From: vanderma...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não
 podem ser obtidas?


 Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli 
 mffmartine...@gmail.comescreveu:

 Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na
 equação do terceiro grau, teremos:

 (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 - z^3 - 5z + 5 =
 0 (*).

 Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de
 variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p +
 raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos:

 [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z]

 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 /
 (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita.

 Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 *
 raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1.


 Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz 
 vanderma...@gmail.comescreveu:

  Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas
 imaginárias, da equação:

 x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0

 Grato,

 Vanderlei

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau

2013-07-24 Por tôpico João Maldonado

Sim, na verdade a fórmula de cardano vem daí
Mas em vez de ficar decorando uma fórmula gigante, você pode fatorar o polinômio
Dá pra fazer o mesmo com equações de grau quatro, mas aí a fatoração é diferente

[]'s
João

Date: Wed, 24 Jul 2013 23:57:15 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
Equação do terceiro grau
From: vanderma...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Muito obrigado! Bela solução a sua! Posso utilizar em qualquer equação cúbica?

Em 24 de julho de 2013 16:56, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com 
escreveu:




Corrigindo (erro de digitação)
y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3)
From: joao_maldona...@hotmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau 
Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300





Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz)
Podemos rearranjar dessa forma
 z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy)

x³ + y³ = 5
3xy = 5, x³y³ = 125/27
SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0
x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)
y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)

Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra  se acha por bascara

delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)²
z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2

Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
From: vanderma...@gmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não 
podem ser obtidas?


Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com 
escreveu:

Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na 
equação do terceiro grau, teremos:

(z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 - z^3 - 5z + 5 = 0 
(*).

Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. 
Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + 
raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos:



[Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z]
2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 
3)), vamos ter a equação anterior satisfeita.




Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) 
+ raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1.


Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu:



Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, 
da equação:
x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0
Grato,
Vanderlei




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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida

2013-06-20 Por tôpico Hermann

Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões semelhantes a 
esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução, abraços

e obrigado mais uma vez
Hermann
- Original Message - 
From: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida


2013/6/19 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:

Considere a eq dif

y' = (2x + x.cos(x))/2y

y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif?

Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.

Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução.

Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao
substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou
seja, válida para todo x).

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida

2013-06-20 Por tôpico Artur Costa Steiner

 É y' = (2x + x.cos(x))/2 * y ou y' = (2x + x.cos(x))/(2y)?

Da maneira como vc escreveu, pela convenção usual é o primeiro caso


Artur Costa Steiner

Em 20/06/2013, às 07:55, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

 Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões semelhantes a 
 esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução, abraços
 e obrigado mais uma vez
 Hermann
 - Original Message - From: Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida
 
 
 2013/6/19 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:
 Considere a eq dif
 
 y' = (2x + x.cos(x))/2y
 
 y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif?
 
 Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.
 Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução.
 
 Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao
 substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou
 seja, válida para todo x).
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida

2013-06-20 Por tôpico Jones Colombo

Em ambos os casos o procedimento é por métodos de variáveis separáveis -
 Se for o 2ª caso que o Artur comentou uma solução seria [image: y=\pm
\sqrt{x^2+\cos(x)+x\sin(x)}].
[]
Jones


2013/6/20 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com

  É y' = (2x + x.cos(x))/2 * y ou y' = (2x + x.cos(x))/(2y)?

 Da maneira como vc escreveu, pela convenção usual é o primeiro caso


 Artur Costa Steiner

 Em 20/06/2013, às 07:55, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

  Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões
 semelhantes a esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução,
 abraços
  e obrigado mais uma vez
  Hermann
  - Original Message - From: Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 bernardo...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida
 
 
  2013/6/19 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:
  Considere a eq dif
 
  y' = (2x + x.cos(x))/2y
 
  y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif?
 
  Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.
  Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução.
 
  Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao
  substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou
  seja, válida para todo x).
 
  Abraços,
  --
  Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida

2013-06-20 Por tôpico Hermann

y' = (2x + x.cos(x))/(2y) é esse caso, em latex ficaria y'= \frac{2x + 
x.cos(x)}{2y}


Aproveito para repetir minha última dúvida: um livro que tenha esse tipo de 
questão, peço isso pq não achei esta questão em alguns livros de eq dif em 
casa.

Abrços
Hermann

- Original Message - 
From: Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, June 20, 2013 9:12 AM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida



É y' = (2x + x.cos(x))/2 * y ou y' = (2x + x.cos(x))/(2y)?


Da maneira como vc escreveu, pela convenção usual é o primeiro caso


Artur Costa Steiner

Em 20/06/2013, às 07:55, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões semelhantes 
a esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução, abraços

e obrigado mais uma vez
Hermann
- Original Message - From: Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida


2013/6/19 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:

Considere a eq dif

y' = (2x + x.cos(x))/2y

y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif?

Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.

Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução.

Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao
substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou
seja, válida para todo x).

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida

2013-06-20 Por tôpico Artur Costa Steiner

Um livro específico sobre equações diferenciais eu no momento não tenho. Mas 
vou ver se acho uma boa referência. 

No caso, conforme o Jones citou, é uma equação de variáveis separáveis, o que 
torna tudo muito simples (desde que possamos achar em forma fechada a primitiva 
da função dada). Temos que

2y dy = 2x + x cos(x) dx

Integrando os dos membros, o que aqui é fácil (a integral de x cos(x) sai 
facilmente por partes), chegamos a 

y^2 = x^2 + cos(x) + x sin(x) + C

y = raiz(x^2 + cos(x) + x sin(x) + C) ou y = -raiz(x^2 + cos(x) + x sin(x) + C) 

A solução do Jones é o caso C = 0

Artur Costa Steiner

Em 20/06/2013, às 09:38, Jones Colombo jones.colo...@gmail.com escreveu:

 Em ambos os casos o procedimento Ã© por mÃ©todos de variÃ¡veis separÃ¡veis - 
 Â Se for o 2Âª caso que o Artur comentou uma soluÃ§Ã£o seria .
 []
 Jones
 
 
 2013/6/20 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com
  Ã‰ y' = (2x + x.cos(x))/2 * y ou y' = (2x + x.cos(x))/(2y)?
 
 Da maneira como vc escreveu, pela convenÃ§Ã£o usual Ã© o primeiro caso
 
 
 Artur Costa Steiner
 
 Em 20/06/2013, Ã s 07:55, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:
 
  AgradeÃ§o a resposta, vc conhece algum liro que tenha questÃµes 
  semelhantes a esta para que eu possa ver rspostas onde y seja soluÃ§Ã£o, 
  abraÃ§os
  e obrigado mais uma vez
  Hermann
  - Original Message - From: Bernardo Freitas Paulo da Costa 
  bernardo...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equaÃ§Ã£o diferencial dÃºvida
 
 
  2013/6/19 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:
  Considere a eq dif
 
  y' = (2x + x.cos(x))/2y
 
  y = x + x.cos(x)/2 Ã© uma soluÃ§Ã£o para esta eq dif?
 
  Cheguei na seguinte equaÃ§Ã£o cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.
  Normal, porque a funÃ§Ã£o (x + x*cos(x)/2) nÃ£o Ã© soluÃ§Ã£o.
 
  Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) serÃ¡ uma soluÃ§Ã£o se, ao
  substituir o y pela expressÃ£o em x, vocÃª obtiver uma identidade (ou
  seja, vÃ¡lida para todo x).
 
  AbraÃ§os,
  --
  Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
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  InstruÃ§Ãµes para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
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  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
 Â acredita-se estar livre de perigo.
 
 
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 Instruï¿½Ãµes para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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 acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência

2013-04-01 Por tôpico LEANDRO L RECOVA

Ok. Eu pensei que na definicao de R^{+}, o zero estava excluido. Nao percebi.
 Date: Sun, 31 Mar 2013 18:51:26 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá Leandro, consegui resolver o problema  e muito obrigado pela sugestão.
Seguinte: 

Faça x = 0  == f(f(0)) + af(0) = b(a+b) 0 = 0 == f(f(0)) = - af(0)

Seja f(0) = y_1 == f(f(0)) = f(y_1) = - a f(0)
Agora faça f(y_1) = y_2

perceba a recorrência: y_n = f(y_(n-1)). Substituindo na equação funcional 
temos:

y_(n+2) +a y_(n+1) -b(a+b) y_n = 0

Eq. Característica: r^2 +ar - b(a+b) = 0

Daí continua...
Abç

Em 31 de março de 2013 16:48, LEANDRO L RECOVA leandrorec...@msn.com escreveu:

Eu pensei no seguinte:
y=f(x). Entao,
f(y) + ay = b(a+b)x 
f(y) = b(a+b)x-ay 
Ja que f assume valores reais positivos (R^+), entao, temos que ter f(y)  0, 
ou seja, 

ay  b(a+b)x  = f(x)  b/a (a+b)x.  (*)
As funcoes f devem satisfazer a condicao (*).  Vou continuar pensando na 
questao.

Date: Sat, 30 Mar 2013 16:09:29 -0300
Subject: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Essa questão estava numa lista de Equações Recorrentes. É possível resolvê-la 
por recorrência?

Ache todas as funções f: R^+ --R^+ tais que f(f(x)) + af(x) = b(a+b)x onde a,b 
\in R^+.

-- 

Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior

Professor
de Matemática

Geo João Pessoa
– PB 

--

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 acredita-se estar livre de perigo.   
--

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 acredita-se estar livre de perigo.

-- 

Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior

Professor
de Matemática

Geo João Pessoa
– PB 

--

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 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência

2013-04-01 Por tôpico Artur Costa Steiner

Tem um detalhe aqui para o qual eu gostaria de chamar a atenção. Este seu 
raciocínio determina univocamente uma sequência que satisfaz às condições 
dadas. Mas parece que o enunciado falava de funções de R+ em R+. Eu não sei se 
dá para determinar uma univocamente, acho que há uma infinidade, desde que 
coincida nos inteiros com sua sequência.

Aliás, a notação R+ é ambígua. Alguns consideram que não inclui o 0 ( o que me 
parece mais de acordo com o símbolo +), mas outros consideram que inclui. 

Abraços.

Artur Costa Steiner

Em 01/04/2013, às 23:02, LEANDRO L RECOVA leandrorec...@msn.com escreveu:

 Ok. Eu pensei que na definicao de R^{+}, o zero estava excluido. Nao percebi.
  
 Date: Sun, 31 Mar 2013 18:51:26 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
 From: pedromatematic...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Olá Leandro, consegui resolver o problema  e muito obrigado pela sugestão.
 Seguinte: 
 
 
 Faça x = 0  == f(f(0)) + af(0) = b(a+b) 0 = 0 == f(f(0)) = - af(0)
 
 Seja f(0) = y_1 == f(f(0)) = f(y_1) = - a f(0)
 Agora faça f(y_1) = y_2
 
 perceba a recorrência: y_n = f(y_(n-1)). Substituindo na equação funcional 
 temos:
 
 y_(n+2) +a y_(n+1) -b(a+b) y_n = 0
 
 Eq. Característica: r^2 +ar - b(a+b) = 0
 
 Daí continua...
 Abç
 
 
 Em 31 de março de 2013 16:48, LEANDRO L RECOVA leandrorec...@msn.com 
 escreveu:
 Eu pensei no seguinte:
 
 y=f(x). Entao,
 
 f(y) + ay = b(a+b)x 
 
 f(y) = b(a+b)x-ay 
 
 Ja que f assume valores reais positivos (R^+), entao, temos que ter f(y)  0, 
 ou seja, 
 
 ay  b(a+b)x  = f(x)  b/a (a+b)x.  (*)
 
 As funcoes f devem satisfazer a condicao (*).  Vou continuar pensando na 
 questao.
 
 Date: Sat, 30 Mar 2013 16:09:29 -0300
 Subject: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
 From: pedromatematic...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 
 Essa questão estava numa lista de Equações Recorrentes. É possível resolvê-la 
 por recorrência?
 
 Ache todas as funções f: R^+ --R^+ tais que f(f(x)) + af(x) = b(a+b)x onde 
 a,b \in R^+.
 
 -- 
 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
 Professor de Matemática
 Geo João Pessoa – PB 
 
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 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência

2013-03-31 Por tôpico Pedro Júnior

Olá Leandro, consegui resolver o problema  e muito obrigado pela sugestão.
Seguinte:


Faça x = 0  == f(f(0)) + af(0) = b(a+b) 0 = 0 == f(f(0)) = - af(0)

Seja f(0) = y_1 == f(f(0)) = f(y_1) = - a f(0)
Agora faça f(y_1) = y_2

perceba a recorrência: y_n = f(y_(n-1)). Substituindo na equação funcional
temos:

y_(n+2) +a y_(n+1) -b(a+b) y_n = 0

Eq. Característica: r^2 +ar - b(a+b) = 0

Daí continua...
Abç


Em 31 de março de 2013 16:48, LEANDRO L RECOVA leandrorec...@msn.comescreveu:

 Eu pensei no seguinte:

 y=f(x). Entao,

 f(y) + ay = b(a+b)x

 f(y) = b(a+b)x-ay

 Ja que f assume valores reais positivos (R^+), entao, temos que ter f(y) 
 0, ou seja,

 ay  b(a+b)x  = f(x)  b/a (a+b)x.  (*)

 As funcoes f devem satisfazer a condicao (*).  Vou continuar pensando na
 questao.

 --
 Date: Sat, 30 Mar 2013 16:09:29 -0300
 Subject: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
 From: pedromatematic...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Essa questão estava numa lista de Equações Recorrentes. É possível
 resolvê-la por recorrência?

 Ache todas as funções f: R^+ --R^+ tais que f(f(x)) + af(x) = b(a+b)x
 onde a,b \in R^+.

 --
 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
 Professor de Matemática
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Professor de Matemática

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação exponencial

2012-08-08 Por tôpico Vanderlei *

*Obrigado Ralph. Mas existe um método algébrico para concluirmos que x = 2?*

Em 8 de agosto de 2012 00:40, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Lema: Se 0abc, entao a^x+b^x=c^x tem no maximo uma raiz positiva.
 Dem.: Note que x0 satisfaz a equacao sse f(x)=(c/b)^x-(a/b)^x=1. Mas esta
 funcao f(x) eh crescente (pois c/b1 e a/b1), entao tem no maximo uma raiz
 positiva!

 (De fato, note que f(0)=0 e f(+Inf)=+Inf, entao f(x)=1 tem EXATAMENTE uma
 raiz real positiva.)

 Abraco,
   Ralph

 2012/8/7 Vanderlei * vanderma...@gmail.com

 Alguém pode ajudar a resolver a equação.

 *[sqrt(4 - sqrt15)]^x + [sqrt(4 + sqrt15)]^x = [2sqrt2]^x*

 É trivial que o número 2 é solução, mas será que não existem outras?

 Obrigado!

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação exponencial

2012-08-08 Por tôpico Ralph Teixeira

Bom, claro que ao verificar que x=2 eh solucao e mostrar que ela eh unica,
voce resolveu a equacao... Mas entendo que voce quer saber como resolver
algebricamente uma equacao do tipo a^x+b^x=c^x (a, b e c dados).

Claro que isto depende do que algebricamente significa. Entao deixa eu
dizer assim: eu nao sei nenhuma maneira de escrever x como funcao de a, b e
c usando apenas as funcoes que eu conheco -- isto eh, potencias, raizes,
logaritmos, funcoes trigonometricas, e ateh algumas coisas mais obscuras
como a funcao W de Lambert. Aposto que nao eh possivel, mas nao tenho
certeza.

Abraco,
   Ralph

2012/8/8 Vanderlei * vanderma...@gmail.com

 *Obrigado Ralph. Mas existe um método algébrico para concluirmos que x =
 2?*

 Em 8 de agosto de 2012 00:40, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Lema: Se 0abc, entao a^x+b^x=c^x tem no maximo uma raiz positiva.
 Dem.: Note que x0 satisfaz a equacao sse f(x)=(c/b)^x-(a/b)^x=1.
 Mas esta funcao f(x) eh crescente (pois c/b1 e a/b1), entao tem no maximo
 uma raiz positiva!

 (De fato, note que f(0)=0 e f(+Inf)=+Inf, entao f(x)=1 tem EXATAMENTE uma
 raiz real positiva.)

 Abraco,
   Ralph

 2012/8/7 Vanderlei * vanderma...@gmail.com

 Alguém pode ajudar a resolver a equação.

 *[sqrt(4 - sqrt15)]^x + [sqrt(4 + sqrt15)]^x = [2sqrt2]^x*

 É trivial que o número 2 é solução, mas será que não existem outras?

 Obrigado!

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação de variáveis inteiras

2011-06-02 Por tôpico Pedro Júnior

Exatamente Ralph, quando utilizei as leis de seno e cosseno achei o cosseno
de um dos ânulos maior que 1 o que torna inválido o problema.
Falou Ralph, comunicarei ao comitê olímpico da UFCG.
Abraços.

Em 30 de maio de 2011 14:06, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 2) Com este enunciado, não há triângulo nestas condições...

 Tracei a bissetriz interna AX do ângulo A, fiz CX=x. Note que AXC é
 isósceles, então AC=2xcosC, então BC=xcosCx=XC. Em outras palavras, a
 bissetriz interna AX corta o lado BC *fora* de BC, absurdo.

 Não seria ângulo C=2A? Aí seria um triângulo 30-60-90 bonitinho...

 3) Bom, se x=0 então y=7, e vice-versa. Se x=1, note que y não dá inteiro,
 e vice-versa. Vamos então supor logo que x,y=2 no resto do problema.

 Eu passei o x^2 pro lado de lá para fatorar:
 (xy-7+x)(xy-7-x)=y^2.

 (Agora, minha intuição me diz que, em geral, ambos xy-7+x e xy-7-x devem
 ser BEM maiores que y, então isto vai restringir o problema... AH-HA!)

 Note que xy-7-xxy-7+x (pois x=2). Assim, devemos ter xy-7-xy (caso
 contrário, ambos os fatores seriam maiores ou iguais a y, e então o produto
 seria maior que y^2).

 xy-7+x-y0
 (x-1)(y+1)=5

 Como x-1=1, devemos ter y+1=5, isto é, basta analisar y=2,3,4.

 Abraço,
 Ralph
 2011/5/30 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com

 Questões 02 e 03 da 2ª Parte da XXIV OCM - 2011 Nível 03, que ocorreu
 neste último sábado dia 28 de Maio:

 *02.* Um triângulo ABC é tal que o ângulo A=2C e AC = 2BC.. Mostre que
 este triângulo é retângulo.
 Usei a lei dos senos e lei dos cossenos mas não consegui concluir, favor
 quem tiver alguma ideia, contribuir...

 *03.* Determine todos os pares de inteiros não negativos que são soluções
 da equação (xy - 7)^2 = x^2 + y^2.

 Sem nenhuma estratégia descobrir que os pares (3,4); (4,3); (0,7); (7,0)
 satisfazem tal equação.
 Tentei enxergar o teo. de Pitágoras, fazendo x e y como catetos e xy - 7
 como hipotenusa.
 Há alguma resolução algébrica, alguma substituição que torne a equação com
 uma só incórnita?

 Desde já aradeço.

 --

 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

 Professor de Matemática

 Geo João Pessoa – PB





-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação de variáveis inteiras

2011-06-02 Por tôpico Willy George Amaral Petrenko

*03.* Determine todos os pares de inteiros não negativos que são soluções da
equação (xy - 7)^2 = x^2 + y^2.

Vou dar uma solução alternativa para este problema, um pouco mais direta.

x^2*y^2 - 14xy + 49 = x^2 + y^2. == x^2*y^2 - 12xy + 49 = x^2 + +2xy + y^2.
== (xy - 6)^2 + 13 = (x+y)^2.

Agora vc tem um problema do tipo A^2 - B^2 = 13, para A = x+y e B = xy-6. Ou
seja (A-B)(A+B) = 13. Que é fácil resolver. Só tome cuidado que A e B não
são mais positivos, então tem que analisar os 4 casos: (A-B,A+B) =  (1,13) ,
(13,1) , (-1,-13) , (-13,-1).

Abraço

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)

2011-01-20 Por tôpico marcone augusto araújo borges


Muito obrigado.Será que é muito complicado provar que mdc( a^2+b^2,4ab+1) = 1?
 


Date: Wed, 19 Jan 2011 03:05:19 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br


Olá, Marcone,expandindo temos:
(a^2 + b^2)x^2 - (4ab + 1)x + a^2 + b^2 = 0


Supondo a^2 + b^2 != 0, temos:
x^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) x + 1 = 0



Seja k a raiz inteira. Temos que k^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) k + 1 = 0
Como k^2 e 1 são inteiros, temos que ter (4ab+1)/(a^2+b^2) k inteiro.
Assim, temos que: a^2+b^2 | (4ab+1)k.


Seja w sua outra raiz. Então:
(i) k + w = (4ab + 1)/(a^2+b^2)
(ii) k*w = 1


Por (ii), se descobrirmos k, sabemos w.


Acho que temos que trabalhar com:
a^2+b^2 | (4ab+1)k


Será que temos mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1?
Se sim, acho que acabamos, visto que ficamos com: a^2+b^2 | k.
Da equação original, temos: (a^2 + b^2)k^2 - (4ab + 1)k + a^2 + b^2 = 0.
Dividindo por k, temos: (a^2+b^2)k - (4ab+1) + (a^2+b^2)/k = 0.
De onde tiramos que k | a^2+b^2.
Mas, se k | a^2+b^2 e a^2+b^2 | k, temos que k = a^2+b^2.
Assim, w = 1/(a^2+b^2).


Substituindo na equação original, ficamos com:
(a^2 + b^2)(a^2+b^2)^2 - (4ab + 1)(a^2+b^2) + a^2 + b^2 = 0
Dividindo por a^2+b^2, temos:
(a^2 + b^2)^2 - (4ab+1) + 1 = 0
(a^2 + b^2)^2 = 4ab


As únicas soluções inteiras de (a^2+b^2)^2 = 4ab são:
(a, b) \in { (0, 0), (1, 1), (-1, -1) }


(0, 0) não pode ser.


Caso 1: (1, 1)
Logo, k = 2, w = 1/2.
Pode testar que funciona, pois 2(x-1)^2 = x tem raízes 2 e 1/2.


Caso 2: (-1, -1)
Logo, k = 2, w = 1/2.
Mas não funciona, visto que: 2(x+1)^2 = x não tem solução!
2x^2 + 4x + 2 = x
2x^2 + 3x + 2 = 0
Delta = 9 - 4*2*2  0, logo, não tem raízes reais.


Bom, tudo isso supondo que mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1.
Ainda falta provar isso :)
Se não for verdadeiro, ignore tudo o que escrevi! hehehe


Abraços,
Salhab








2011/1/9 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com


Sejam a,b números inteiros .Sabendo que  a equação (ax - b)^2 + ( bx - a)^2 = x 
tem uma raiz inteira,encontre os valores de suas raizes.
Conto com a habitual atenção de todos,pela qual agradeço antecipadamente.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação algébrica

2010-09-13 Por tôpico Tiago

Olá, você já estudou análise real? Sei que no livro no Rudin tem isto
demonstrado da maneira mais elementar possível (elementar no sentido de usar
poucas ferramentas). Só usa que R é completo e algumas desigualdades. Não
lembro exatamente como é a demonstração, mas basicamente é isso:

*Teorema*: Dado r real positivo e n natural, existe um único x positivo tal
que x^n=r. (O que você quer segue trivialmente disto).

*Ideia da demonstração:* Ver que a solução é única é fácil, visto que 0ab
implica em 0a^nb^n. Para mostrar a existência, considere o conjunto A dos
t reais tais que t^nr. Mostre que este conjunto é limitado e portanto
existe sup(A). Você deve mostrar que x=sup(A), isto é, sup(A)^n=r. Para
isso, suponha sup(A)^nr e, depois, sup(A)^nr e chegue em contradições.

Talvez tenha no Elon também, mas eu não o conheço direito.

2010/9/13 Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com

 A maneira que me vem à cabeça é usar o teorema do valor intermediario.

 Podemos fazer algumas suposições:
 |r|  1. De fato, se |r|1, troque r por R=1/r e x por X=1/x. Assim,
 teremos X^n=R, com |R|1, e resolver essa equacao é equivalente
 resolver a original.

 Caso n ímpar:
 Se r  0, podemos trocar x por -x e r por -r. Vamops entao supor r1.

 Enfim, existe um valor de x tal que x^n-r0. Isso e relativamente
 facil de demonstrar usando limites ou algo que valha.
 Igualmente, existe outro valor de x tal que x^n-r0.

 Pelo teorema do valor intermediario, existe um cara entre estes dois
 extremos tal que x^n=r=0.

 O caso par fica por sua conta :)


 Em 11/09/10, Guilherme Vieirarjguilhermevie...@hotmail.com escreveu:
 
  Solicito aos amigos uma demonstração do teorema enunciado a seguir.
  Obviamente, a propriedade é muito conhecida. A demonstração, entretanto,
  parece-me muito difícil.
 
  Teorema: Se x é uma variável real, n é um número natural (não nulo) e r é
  uma constante real, a equação algébrica x^n = r admite uma única solução
  real quando n é ímpar e admite duas soluções reais quando n é par e r0.
 
 
  Obrigado!!!
  Guilherme


 --
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 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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-- 
Tiago J. Fonseca
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[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] equação

2008-04-27 Por tôpico bobroy


Ok Pacini ,
Só  faltou  colocar  a expressão  em  módulo .

[]'s 

BOB


 ''-- Mensagem Original --
 ''Date: Sat, 26 Apr 2008 15:03:18 -0300
 ''From: [EMAIL PROTECTED]
 ''Subject: [obm-l] RE: [obm-l] equação
 ''To: obm-l@mat.puc-rio.br, obm-l@mat.puc-rio.br
 ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 ''
 ''
 ''Olá ,
 ''
 ''Verifique  se  esta solução  está  coreta.
 ''
 ''Seja  N =(senx)^14 + (cosx)^14 . Observe  que 
 ''
 ''N  é maior do que  ou igual a 2.(senx.cosx)^7 e  como senx.cosx =1/sen2x
 '', temos  que  N  é maior do que ou igual a 1/64. A  igualdade ocore 
para
 ''(senx)^14 = (cosx)^14  ok /
 ''
 ''abraços  
 ''
 ''Pacini
 ''
 '' ''-- Mensagem Original --
 '' ''From: Pedro  [EMAIL PROTECTED]
 '' ''To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '' ''Subject: [obm-l] equação
 '' ''Date: Thu, 1 Nov 2001 01:12:48 -0200
 '' ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '' ''
 '' ''
 '' ''Amigos da lista , me dê um idéia para essa equação:
 '' ''
 '' ''
 '' 
''
 '' ''
 '' ''Anexo: 2181a1a59ab195dd3341a5c7802bbd4efacbba7e.gif
 '' ''
 ''
 ''
 ''
 ''=
 ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 ''http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 ''=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau

2007-05-16 Por tôpico saulo nilson


se vc sabe uma vc reduz a equaçao para uma de 2o grau.

On 5/15/07, Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] wrote:


 Obvio que eu confio mais em vocês do que no meu programa Mathematica,
porém das 3 raízes aí de baixo a única que bateu foi cos(pi/9), alguém
poderia colocar essa questão num programa parecido Maple por exemplo ou
Matlab ou confirmar esse erro do Mathematicaou meu é claro. Obrigado
Tio Cabri

- Original Message -
*From:* claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
*To:* obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
*Sent:* Tuesday, May 15, 2007 1:58 PM
*Subject:* [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau



  *De:* [EMAIL PROTECTED]
  *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
  *Cópia:*
  *Data:* Mon, 14 May 2007 19:25:33 -0300 (BRT)
  *Assunto:* [obm-l] equação do terceiro grau
 Resolver a equação 8x^3 - 6x - 1 = 0


Seja f(x) = 8x^3 - 6x - 1

f(-1) = -3  0
f(-1/2) = 1  0 == tem uma raiz entre -1 e -1/2
f(0) = -1  0 == tem uma raiz entre -1/2 e 0
f(1) = 1  0  == tem uma raiz entre 0 e 1

Ou seja, f tem 3 raízes reais, todas de módulo  1.
Logo, podemos expressá-las na forma x = cos(t).

Sabemos que cos(3t) é um polinômio de 3o. grau em cos(t).
Especificamente,
cos(3t) = cos(2t+t) =
cos(2t)cos(t) - sen(2t)sen(t) =
(2*cos^2(t) - 1)*cos(t) - 2*sen^2(t)*cos(t) =
2*cos^3(t) - cos(t) - 2*cos(t) + 2*cos^3(t) =
4*cos^3(t) - 3*cos(t)   (que sorte...)

x = cos(t) é raiz da equação ==
8*cos^3(t) - 6*cos(t) - 1 = 0 ==
2*cos(3t) = 1 ==
cos(3t) = 1/2.

Se quisermos t no intervalo [0,2pi), teremos:
3t = pi/3 ou 5pi/3 ou 7pi/3 ou 11pi/3 ou 13pi/3 ou 17pi/3 ==
t = pi/9 ou 5pi/9 ou 7pi/9 ou 11pi/9 ou 13pi/9 ou 17pi/9 ==
cos(t) = cos(pi/9) ou cos(5pi/9) ou cos(7pi/9)
(pois cos(11pi/9) = cos(7pi/9), cos(13pi/9) = cos(5pi/9) e cos(17pi/9) =
cos(pi/9))

Logo, as raízes da equação são:
cos(pi/9), cos(5pi/9) e cos(7pi/9).

[]s,
Claudio.

[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau

2007-05-15 Por tôpico Tio Cabri st

Obvio que eu confio mais em vocês do que no meu programa Mathematica, porém das 
3 raízes aí de baixo a única que bateu foi cos(pi/9), alguém poderia colocar 
essa questão num programa parecido Maple por exemplo ou Matlab ou confirmar 
esse erro do Mathematicaou meu é claro. Obrigado
Tio Cabri
  - Original Message - 
  From: claudio.buffara 
  To: obm-l 
  Sent: Tuesday, May 15, 2007 1:58 PM
  Subject: [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau



De: [EMAIL PROTECTED] 

Para: obm-l@mat.puc-rio.br 

Cópia:  

Data: Mon, 14 May 2007 19:25:33 -0300 (BRT) 

Assunto: [obm-l] equação do terceiro grau 

   Resolver a equação 8x^3 - 6x - 1 = 0
  

  Seja f(x) = 8x^3 - 6x - 1

  f(-1) = -3  0
  f(-1/2) = 1  0 == tem uma raiz entre -1 e -1/2
  f(0) = -1  0 == tem uma raiz entre -1/2 e 0
  f(1) = 1  0  == tem uma raiz entre 0 e 1

  Ou seja, f tem 3 raízes reais, todas de módulo  1.
  Logo, podemos expressá-las na forma x = cos(t).

  Sabemos que cos(3t) é um polinômio de 3o. grau em cos(t).
  Especificamente,
  cos(3t) = cos(2t+t) = 
  cos(2t)cos(t) - sen(2t)sen(t) = 
  (2*cos^2(t) - 1)*cos(t) - 2*sen^2(t)*cos(t) =
  2*cos^3(t) - cos(t) - 2*cos(t) + 2*cos^3(t) =
  4*cos^3(t) - 3*cos(t)   (que sorte...)

  x = cos(t) é raiz da equação ==
  8*cos^3(t) - 6*cos(t) - 1 = 0 ==
  2*cos(3t) = 1 ==
  cos(3t) = 1/2.

  Se quisermos t no intervalo [0,2pi), teremos:
  3t = pi/3 ou 5pi/3 ou 7pi/3 ou 11pi/3 ou 13pi/3 ou 17pi/3 ==
  t = pi/9 ou 5pi/9 ou 7pi/9 ou 11pi/9 ou 13pi/9 ou 17pi/9 ==
  cos(t) = cos(pi/9) ou cos(5pi/9) ou cos(7pi/9)
  (pois cos(11pi/9) = cos(7pi/9), cos(13pi/9) = cos(5pi/9) e cos(17pi/9) = 
cos(pi/9))

  Logo, as raízes da equação são:
  cos(pi/9), cos(5pi/9) e cos(7pi/9).

  []s,
  Claudio.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação

2004-08-13 Por tôpico Artur Costa Steiner

Bom, OK.
Inicialmente, verificamos que devemos ter m0. A eq. dada eh entao
equivalente a m^2*x - 4x + 8 =4m ou (m^2-4)x + 8 - 4m =0. Se m^2 - 4 0,
com m0, entao a eq. tem uma, e apenas uma, solucao. Logo, esta condicao
corre para m em R - {-2, 0, 2}.
Se m^2-4=0, entao a eq. tera infinitas solucoes se tambem tivermos 8 - 4m
=0. Logo,tal condicao ocorre apenas para m=2.
Se m^2-4=0 e  8 - 4m 0, entao o sistema nao tera nenhuma solucao. Esta
condicao ocorre apenas para m=-2.
Artur

(mx/4) - (x-2)/m = 1


- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED], [EMAIL PROTECTED]
[EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação
Data: 13/08/04 16:45

Nao seria do 2. grau na variavel m?

At 15:06 13/8/2004, Artur Costa Steiner wrote:
Levando em conta a solucao que vc tentou, hah alguma coisa errada no
enunciado, pois a equacao dada eh do primeiro grau.

- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Equação
Data: 13/08/04 12:29

Boa tarde a todos,

Agradeço qualquer ajuda no exercicio abaixo:


(FUVEST)Determine todos os valores de m para os quais a equação
(mx/4) - (x-2)/m = 1

a)admite uma única solução.
b)não admite solução.
c)admite infinitas soluções.

(a) Fiz o Delta = 0 , achei x=1 , substitui na equacao e m=2.
(b) ainda nao tentei
(c) Fiz o Delta  0 (para admitir varias solucoes) e,
consequentemente,
 qualquer que seja x#1 implica que a equacao dada tem
solucao. Mas qual seria então o intervalo de m nesse
caso. Seria o conjunto R?

Obrigado.

Anderson








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@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @


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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau

2004-01-31 Por tôpico Rafael

Caro Fábio,

Agora, sim, ao meu ver, a solução está perfeita!

O caso que você aborda em (III), inclusive, satisfaz à equação citada
anteriormente por mim (t = 1),  sendo (x ; a ; b) = (-t ; 2t ; t) = (-1 ; 2
; 1).

Gostaria de perguntar a você, em tempo, o porquê de a condição imposta pelo
UTF (algum dentre x, x+a, x+b ser zero) aplicar-se ao problema. Perdoe-me,
não conheço profundamente esse teorema.

[]s,

Rafael



- Original Message -
From: Fábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, January 31, 2004 1:34 PM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau


 Tá bom, vou tentar de novo:

 A equação dada é x^3 + (x+a)^3 = (x+b)^3. Pelo UTF, algum dentre x, x+a ou
x+b
 tem que ser 0.

 I) x = 0

 Impossível, pois x pertence a Z*.

 II) x+a = 0 = x = -a

 Então -a^3 = (b-a)^3 = -a = b-a = b = 0. Há infinitas soluções da
forma
 (x, a, b) = (-t, t, 0), t em Z*.

 III) x+b = 0 = x = -b

 Então -b^3 + (a-b)^3 = 0 = a-b = b = a = 2b. Logo há infinitas
soluções da
 forma (x, a, b) = (-t, 2t, t), t em Z*.

 Acho que *agora* eu enumerei todas as soluções inteiras com x não-nulo.

 []s,

 - --
 Fábio Dias Moreira

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau

2004-01-31 Por tôpico Fábio Dias Moreira

-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1

[Saturday 31 January 2004 15:48: [EMAIL PROTECTED]]
 Caro Fábio,

 Agora, sim, ao meu ver, a solução está perfeita!

 O caso que você aborda em (III), inclusive, satisfaz à equação citada
 anteriormente por mim (t = 1),  sendo (x ; a ; b) = (-t ; 2t ; t) = (-1 ; 2
 ; 1).

 Gostaria de perguntar a você, em tempo, o porquê de a condição imposta pelo
 UTF (algum dentre x, x+a, x+b ser zero) aplicar-se ao problema. Perdoe-me,
 não conheço profundamente esse teorema.
 [...]

O UTF, na realidade, diz que se n2, então a^n + b^n = c^n não tem solução com 
a, b, c inteiros positivos.

Não é muito difícil ver que se n é par, a, b, c podem ser inteiros não-nulos 
quaisquer sem que haja soluções. Se n for ímpar, passe os termos da equação 
de um lado para o outro, trocando os sinais de a, b, c até que os três sejam 
positivos. Então há duas possibilidades de equação:

I) a^n + b^n + c^n = 0
II) a^n + b^n = c^n

As duas equações não possuem soluções não-nulas (a equação I é obvia; a II, 
pelo UTF). Bastou, portanto, reescrever o polinômio dado na forma a^3 + b^3 = 
c^3 para resolver o problema. No caso particular n=3, não é necessário apelar 
para o paper do Wiles; existem várias demonstrações elementares deste caso.

[]s,

- -- 
Fábio ctg \pi Dias Moreira
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação!!

2003-10-30 Por tôpico Artur Costa Steiner

- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] equação!!
Data: 30/10/03 12:15


Voce encontrou na maquina alguma solucao real?? Racionais nao existem.

A segunda derivada deste polinomio P (obtido passando-se 727 para o primeiro
membro na equacao dada) eh um trinomio do segundo grau com coeficientes
positivos e discriminante negativo. Logo, para todo real x este trinomio eh
positivo, do que concluimos que P nao tem pontos de maximo. Como P e do 4o
grau, isto acarreta que P tem 1 e apenas 1 ponto de minimo. (A existencia de
algum minimo decorre da continuidade de P e do fato de que P eh limitado
inferiormente; e a unicidade deste minimo eh consequencia do fato de que, se
P tivesse mais de um minimo relativo, entao teria necessariamente um maximo
relativo - o que nao ocorre). Como P assume uma infinidade de valores
negativos, segue-se que P tem exatamente duas raizes reais e duas raizes
complexas nao reais conjugadas. As raizes reais sao aproximadamente 4,907142
e -5,41873 (obtidas numericamente). Nao sei se são racionais ou nao. Eh
possivel afirmar que P nao tem raizes racionais?
Eu procurei uma forma de achar as raizes analiticamente mas nao cheguei a
uma conclusao. Para todo x1 temos que P(x) = (x^5-x)/(x-1) - 727, talvez
isto permita chegar a alguma coisa interessate que eu nao vi.
Artur  


OPEN Internet
@
Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação!!

2003-10-30 Por tôpico Augusto Cesar de Oliveira Morgado

Em Thu, 30 Oct 2003 16:47:51 -0300, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] disse:

... segue-se que P tem exatamente duas raizes reais e duas raizes
 complexas nao reais conjugadas. As raizes reais sao aproximadamente 4,907142 e  
-5,41873 (obtidas numericamente). Nao sei se são racionais ou nao. Eh possivel afirmar 
que P nao tem raizes racionais?


Eh possivel afirmar que P nao possui raiz racional. Se a fraçao irredutivel a/b eh 
raiz de um polinomio de coeficientes inteiros, entao a divide o termo independente (no 
caso, -727) e b divide o coeficiente do termo de maior grau (no caso, 1).
Logo, b = 1 ou -1 e a = 727 ou -727 ou 1 ou -1. Em suma, se houvesse raiz racional, 
tal raiz seria 727 ou -727 ou 1 ou -1. Mas nenhum desses numeros eh raiz.
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

2003-10-24 Por tôpico Leandro Lacorte Recôva

Mdc(a,b)=1 

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Giselle
Sent: Friday, October 24, 2003 2:44 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

Só uma dúvida, pode parecer idiota, mas o que significa (a,b) = 1?

- Original Message - 
From: luiz frança [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, October 24, 2003 1:53 PM
Subject: [obm-l] equação diofantina

  se  (a,b)=1

  ax +by = k  , x, y e k inteiros

  porvar que sempre existe uma soluma solução x,y
 que satisfaça a equação para qualquer k escolhido.

 será mesmo verdade?  bom... a principio se

 ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K.
 pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que vale
 pra k=1 ???

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação

2003-10-01 Por tôpico Will

Nossa !
Escrevi uma bobagem enorme !

---
a^2 - 4a = 0

O que, estudando o sinal, só é verdade se 0 = a = 4
--

Esse intervalo é justamente quando a^2 - 4a = 0 !!!

Bom, mas deixa pra lá.

- Original Message -
From: Will [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, October 01, 2003 12:23 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação


pensei também na seguinte solução.

Vamos chamar ambos os termos de a.

XY = X + Y = a

Então a equação de segundo grau

x^2 -ax +a

tem raízes reais, com soma e produto iguais.
Fazendo (delta)=0 , temos

a^2 - 4a = 0

O que, estudando o sinal, só é verdade se 0 = a = 4

Como (delta) tem que ser um quadrado perfeito, ficamos com a=0, a=1 ou a=4.
Descartamos a=1 por razões óbvias...
chegamos em a=0 ou a=4, de onde saem as
duas respostas que já temos.

Will

Antes tarde do que nunca...


- Original Message -
From: Carlos [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, September 30, 2003 8:32 PM
Subject: [obm-l] Equação


Um aluno me passou uma equação de 1. Grau com duas
incôgnitas.

Quais os numeros inteiros que atendem a equação abaixo:

XY = X + Y

Por exemplo (0,0) (2,2) atendem a equação.

Teria como ter uma saída algébrica?

Agradeço



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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

2002-11-14 Por tôpico Domingos Jr.




2) 
se a0 != 1
tome x = q.a0 com q inteiro, q != 0
fica simples verificar que a0|f(x) e, como 
f(x)= a0 = x é raiz de um polinômio de grau n (a1x 
+a2x^2 + anx^n)
e esse polinômio pode ter no máximo n-1 raízes da 
forma q.a0 (uma raiz é 0), temos infinitas formas de escolher x = q.a0 de forma 
a não ser nenhuma das n-1 raízes.
como a0|f(x), a0 != 1, a0 != f(x), f(x) é 
composto

suponha, por absurdo, que existe um polinômio f(x) 
tal que para todo x = N com N inteiro, f(x) é primo
f(x) = f(N + k) = a0 + a1.(N + k) + ... + 
an.(N+k)^n, expandindo as potências obtemos um polinômio q(k) de grau n e coef. 
inteiros.
f(x) = f(N+k) = g(k)
g(k) é primo para todo k = 0
g(0) = a0 e a0 é primo, logo a0 != 1, pelo 
enunciado acima, temos que g(x) não pode ser primo para todo x = 0, uma 
contradição.


o (1) parece exigir alguma sacada esperta, ainda 
não tive uma boa idéia.

PS: Se alguém já resolveu o problema eu já aviso de 
antemão que não encontrei a resposta na lista, nãoestaria mandando 
auma resposta repetidapor preguiça de ler as mensagens 
anteiores!!!

  - Original Message - 
  From: 
  rocha31 
  
  To: obm-l 
  Sent: Thursday, November 14, 2002 12:00 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
  equação
  
  Estou estudando teoria dos números pelo livro do José Plínio de Olivera 
  Santos e tem uns problemas que não cosegui revolver;
  1. Provar que para p primo (p-1)!=p-1 (mod 1+2+3+...(p-1))
  2.Seja f(x)= a0 +a1x +a2x^2 + anx^n um polinomio com coeficientes 
  inteiros onde an  0 e n=1. Mostrar que f(x) é composto para infinitos 
  valoresda varavél x.
  Obrigado pela ajuda.
  Roberto Gomes
  P.S. sou natural de Fortaleza, mas moro em Recife. Prf. Morgado, eu conheci 
  o senhor numa aula que o senhor deu em Fortaleza, no curso GEO não me lembro o 
  ano ao certo acho que foi em 1992.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

2002-11-14 Por tôpico Domingos Jr.




2) 
se a0 != 1
tome x = q.a0 com q inteiro, q != 0
fica simples verificar que a0|f(x) e, como 
f(x)= a0 = x é raiz de um polinômio de grau n (a1x 
+a2x^2 + anx^n)
e esse polinômio pode ter no máximo n-1 raízes da 
forma q.a0 (uma raiz é 0), temos infinitas formas de escolher x = q.a0 de forma 
a não ser nenhuma das n-1 raízes.
como a0|f(x), a0 != 1, a0 != f(x), f(x) é 
composto

suponha, por absurdo, que existe um polinômio f(x) 
tal que para todo x = N com N inteiro, f(x) é primo
f(x) = f(N + k) = a0 + a1.(N + k) + ... + 
an.(N+k)^n, expandindo as potências obtemos um polinômio q(k) de grau n e coef. 
inteiros.
f(x) = f(N+k) = g(k)
g(k) é primo para todo k = 0
g(0) = a0 e a0 é primo, logo a0 != 1, pelo 
enunciado acima, temos que g(x) não pode ser primo para todo x = 0, uma 
contradição.


o (1) parece exigir alguma sacada esperta, ainda 
não tive uma boa idéia.

PS: Se alguém já resolveu o problema eu já aviso de 
antemão que não encontrei a resposta na lista, nãoestaria mandando 
auma resposta repetidapor preguiça de ler as mensagens 
anteiores!!!

  - Original Message - 
  From: 
  rocha31 
  
  To: obm-l 
  Sent: Thursday, November 14, 2002 12:00 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
  equação
  
  Estou estudando teoria dos números pelo livro do José Plínio de Olivera 
  Santos e tem uns problemas que não cosegui revolver;
  1. Provar que para p primo (p-1)!=p-1 (mod 1+2+3+...(p-1))
  2.Seja f(x)= a0 +a1x +a2x^2 + anx^n um polinomio com coeficientes 
  inteiros onde an  0 e n=1. Mostrar que f(x) é composto para infinitos 
  valoresda varavél x.
  Obrigado pela ajuda.
  Roberto Gomes
  P.S. sou natural de Fortaleza, mas moro em Recife. Prf. Morgado, eu conheci 
  o senhor numa aula que o senhor deu em Fortaleza, no curso GEO não me lembro o 
  ano ao certo acho que foi em 1992.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

2002-11-14 Por tôpico Domingos Jr.




2) 
se a0 != 1
tome x = q.a0 com q inteiro, q != 0
fica simples verificar que a0|f(x) e, como 
f(x)= a0 = x é raiz de um polinômio de grau n (a1x 
+a2x^2 + anx^n)
e esse polinômio pode ter no máximo n-1 raízes da 
forma q.a0 (uma raiz é 0), temos infinitas formas de escolher x = q.a0 de forma 
a não ser nenhuma das n-1 raízes.
como a0|f(x), a0 != 1, a0 != f(x), f(x) é 
composto

suponha, por absurdo, que existe um polinômio f(x) 
tal que para todo x = N com N inteiro, f(x) é primo
f(x) = f(N + k) = a0 + a1.(N + k) + ... + 
an.(N+k)^n, expandindo as potências obtemos um polinômio q(k) de grau n e coef. 
inteiros.
f(x) = f(N+k) = g(k)
g(k) é primo para todo k = 0
g(0) = a0 e a0 é primo, logo a0 != 1, pelo 
enunciado acima, temos que g(x) não pode ser primo para todo x = 0, uma 
contradição.


o (1) parece exigir alguma sacada esperta, ainda 
não tive uma boa idéia.

PS: Se alguém já resolveu o problema eu já aviso de 
antemão que não encontrei a resposta na lista, nãoestaria mandando 
auma resposta repetidapor preguiça de ler as mensagens 
anteiores!!!

  - Original Message - 
  From: 
  rocha31 
  
  To: obm-l 
  Sent: Thursday, November 14, 2002 12:00 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
  equação
  
  Estou estudando teoria dos números pelo livro do José Plínio de Olivera 
  Santos e tem uns problemas que não cosegui revolver;
  1. Provar que para p primo (p-1)!=p-1 (mod 1+2+3+...(p-1))
  2.Seja f(x)= a0 +a1x +a2x^2 + anx^n um polinomio com coeficientes 
  inteiros onde an  0 e n=1. Mostrar que f(x) é composto para infinitos 
  valoresda varavél x.
  Obrigado pela ajuda.
  Roberto Gomes
  P.S. sou natural de Fortaleza, mas moro em Recife. Prf. Morgado, eu conheci 
  o senhor numa aula que o senhor deu em Fortaleza, no curso GEO não me lembro o 
  ano ao certo acho que foi em 1992.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

2002-11-14 Por tôpico Domingos Jr.

Desculpem, o programa de envio de email estava indicado TIMEOUT do servidor
SMTP e eu não sabia que a mensagem tinha sido mandada 3 vezes!

=
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=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

2002-11-14 Por tôpico Paulo Santa Rita

Ola Prof Nicolau e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Bom, agora que eu sei que o Prof Morgado nao e magro, vamos engordar o 
problema que ele ja resolveu :

Seja A um conjunto com N elementos e 0  P  N. Quantos conjuntos B podemos 
formar tais que :

1)B tem P elementos
2)Cada elemento de B e um subconjunto de A
3)Quaisquer dois elementos de B sao disjuntos
4)O conjunto vazio nao esta em B

Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
5,1705,141102

From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação
Date: Thu, 14 Nov 2002 16:46:57 -0200

On Thu, Nov 14, 2002 at 11:51:09AM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado 
wrote:
  ATÉ VOCÊ, NICOLAU? Estou me sentindo um homem invisível!
 Morgado

Foi mal, eu deixei a mensagem pela metade ontem de noite e quando
voltei continuei sem ver a sua. Pessoalmente você não é nada invisível! ;-)

[]s, N.

=
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

2002-11-14 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Thu, Nov 14, 2002 at 10:34:27AM -0200, Marcelo Leitner wrote:
 Exatamente, eu nao tinha enxergado que (-3+4i) = (1+2i)^2, aih
 optei pelo metodo mais generico..
 Tem algum jeito de identificar essa fatoracao jah de primeira
 vista ou eh soh conhecendo elas mesmo?

Uma opção é usar coordenadas polares:
sqrt(r (cos t + i sen t)) = sqrt(r) (cos (t/2) + i sen (t/2))

Outra opção é fazer o tipo de coisa que você fez: 
vamos resolver

a+bi = (c+di)^2 = (c^2 - d^2) + 2cd i

donde

c^2 - d^2 = a
2cd = b

temos

d = b/(2c)

e

c^2 - b^2/(4 c^2) = a

Assim c é uma das raízes reais da equação biquadrada

4 c^4 - 4 a c^2 - b^2 = 0

Ou seja 

c = +- sqrt( (  a + sqrt(a^2 + b^2)) / 2 )
d = +- sqrt( (- a + sqrt(a^2 + b^2)) / 2 )

[]s, N.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

2002-11-14 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Thu, Nov 14, 2002 at 11:51:09AM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote:
  ATÉ VOCÊ, NICOLAU? Estou me sentindo um homem invisível!
 Morgado

Foi mal, eu deixei a mensagem pela metade ontem de noite e quando
voltei continuei sem ver a sua. Pessoalmente você não é nada invisível! ;-)

[]s, N.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

2002-11-14 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Thu, Nov 14, 2002 at 04:43:38PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote:
 On Thu, Nov 14, 2002 at 10:34:27AM -0200, Marcelo Leitner wrote:
  Exatamente, eu nao tinha enxergado que (-3+4i) = (1+2i)^2, aih
  optei pelo metodo mais generico..
  Tem algum jeito de identificar essa fatoracao jah de primeira
  vista ou eh soh conhecendo elas mesmo?
 
 Uma opção é usar coordenadas polares:
 sqrt(r (cos t + i sen t)) = sqrt(r) (cos (t/2) + i sen (t/2))
 
 Outra opção é fazer o tipo de coisa que você fez: 
 vamos resolver
 
 a+bi = (c+di)^2 = (c^2 - d^2) + 2cd i
 
 donde
 
 c^2 - d^2 = a
 2cd = b
 
 temos
 
 d = b/(2c)
 
 e
 
 c^2 - b^2/(4 c^2) = a
 
 Assim c é uma das raízes reais da equação biquadrada
 
 4 c^4 - 4 a c^2 - b^2 = 0
 
 Ou seja 
 
 c = +- sqrt( (  a + sqrt(a^2 + b^2)) / 2 )
 d = +- sqrt( (- a + sqrt(a^2 + b^2)) / 2 )

Andei repetindo o Morgado de novo! Oops...

Mas desta vez ele só deu a fórmula, e eu mostrei como chegar nela. Ha!
Talvez isso tenha algo a ver com o fato de que eu não sabia a fórmula,
eu a obtive enquanto escrevia o e-mail.

De qualquer forma, vamos todos ler o que o Morgado escreve.
Vale a pena.

[]s, N.


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