> É simples. Se você for um "matemático clássico", então tome a=b=raiz(2).
> Então a elevado a b é racional ou irracional. Se for irracional, acabou. Se
> for racional, refaça e tome a=raiz(2) elevado a raiz(2) e b=raiz(2). Daí que
> a elevado a b é racional. Pronto, sem precisar "exibir" os números. Mas se
> você for um intuicionista, não aceita esse tipo de prova. Tá simplificado,
> mas acho que dá para entender, não?
Uma *outra* demonstração que um intuicionista NÃO aceitaria,
mencionada na mesma mensagem do Stolzenberg que citei antes, seria a
demonstração atribuída a Euclides da *existência de uma infinidade de
primos*:
Suponha que p_1 = 2 < p_2 = 3 < p_3 = 5 < ... < p_n sejam todos os primos.
Considere P = (p_1 * p_2 * p_3 * ... * p_n) + 1.
Como P > p_n, o último dos primos, podemos escolher (é uma escolha finita)
um primo p qualquer que divida P. Logo, p não pode ser nenhum dos p_i's,
para 1 <= i <= n, pois P / p_i deixa 1 como resto. Assim, p deve
ser um primo
"novo", que não estava na lista anterior.
Uma demonstração inteiramente "existencial", não é? De fato, qual é o
p, em cada caso?!
* * *
Um intuicionista não se "convence", a partir da demonstração acima, de
que há infinitos primos. No entanto, qualquer intuicionista
minimamente educado seria capaz de propor um algoritmo que comece de
um número primo qualquer e "saia à caça" do próximo número primo e que
irá, "surpreendentemente", encontrá-lo sempre em tempo finito (afinal,
a demonstração acima "nos" garante que existe um primo entre os
números p_n e P-1).
É assim grande a capacidade dos intuicionistas de se "surpreenderem",
já que eles "não sabem" que há uma infinitude de primos (pelo menos
não a partir da demonstração acima, com a qual nenhum filósofo grego
teria problemas)...
* * *
JM
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