> O teorema de Gödel pode ser enunciado aproximadamente assim: "nao existe > nenhuma teoria T extendendo a teoria minima da aritmetica Q, que seja > simultaneamente (recursivamente) axiomatizavel, (omega)-consistente e > completa"
Recordo antes de mais nada que os pré-requisitos para a aplicação do teorema, como bem lembrou o Petrucio em mensagem recente, incluem, mais especificamente: * * * 1. SF tem um conjunto de axiomas tal que se pode reconhecer mecanicamente quando uma dada expressão escrita na linguagem de SF é ou não um axioma; 2. SF tem um conjunto de regras de inferências tal que se pode reconhecer mecanicamente quando uma dada sequência de expressões escrita na linguagem de SF é ou não uma instância de aplicação de uma das regras; 3. A noção de prova utilizada em SF é finitária (ou seja, as provas são finitas); 4. SF só prova verdades; 5. SF prova uma porção significativa de resultados da Teoria dos Números. * * * Importante ainda é notar que, na demonstração canônica da incompletabilidade, pretende-se demonstrar um resultado sobre um certo sistema S usando essencialmente apenas os recursos expressivos e dedutivos deste próprio sistema S --- que deve assim ser dotado de uma certa capacidade de "auto-reflexão" (capacidade esta que o condena à incompletabilidade). > Como fica isso do ponto de vista paraconsistente? Será que é possivel provar > que existe uma teoria paraconsistente T' que seja completa, axiomatizavel, > inconsistente, mas 'paraconsistente'? Ou existe uma versao paraconsistente > do teorema de Gödel? Isso já foi discutido em algum paper? Estou viajando > demais :-) ? Cê tá viajando não, Bruno... Se estivermos falando de um fragmento "suficientemente expressivo" da matemática, paraconsistente ou não, haverá por certo alguma versão do teorema de Gödel que poderá ser demonstrada. No entanto, se a lógica e a semântica associada forem "enfraquecidas" a ponto de permitir por exemplo que uma certa sentença possa ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa, então não deveria ser tão problemático em princípio descobrir que a sentença de Gödel, que afirma de si própria ser indemonstrável, é de fato demonstrável. Pessoas como Graham Priest defendem exatamente este ponto de vista, e dizem que tais sentenças são exemplos de "dialetéias" (algo como "contradições reais"). Claro que este ponto de vista também pode ser criticado. Hartry Field, no livro recente "Saving Truth from Paradox", defende que este argumento mostra justamente que o sistema matemático pensado por Priest não é capaz de verificar sua própria correção de forma efetiva (contrariando os pontos 2 ou 4 da lista acima). Ficaria fora de alcance assim a demonstração de "soundness" do sistema a partir de seus próprios recursos. * * * Por outro lado, um ponto que eu acredito NÃO ter sido explorado ainda devidamente está relacionado justamente à noção de *omega-consistência*, elucidada aqui na lista pelo Finger. No caso da omega-consistência não há uma inconsistência ou contradição explícita envolvida, mas algo como uma contradição "em potência", e há pouco espaço assim para uma contribuição da paraconsistência de modo genérico (a definição usual de paraconsistência pode ser formulada a nível proposicional e abstrato, envolvendo sentenças e suas negações). Uma BOA lógica paraconsistente que explorasse os espaços para além do nível proposicional deveria, na minha opinião, dar conta deste tipo de inconsistência. Desconheço, não obstante, qualquer trabalho que já tenha sido feito nesta direção. Joao Marcos -- My homepage: http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ _______________________________________________ Logica-l mailing list [email protected] http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
