Se T possui aritmética suficiente para representar as funções recursivo primitivas, e se tiver um conjunto r.e. de teoremas, então T é incompleta.
T pode ser paraconsistente, ultraconsistente, neoconsistente, o que quiserem. 2009/8/13 Joao Marcos <[email protected]> > > O teorema de Gödel pode ser enunciado aproximadamente assim: "nao existe > > nenhuma teoria T extendendo a teoria minima da aritmetica Q, que seja > > simultaneamente (recursivamente) axiomatizavel, (omega)-consistente e > > completa" > > Recordo antes de mais nada que os pré-requisitos para a aplicação do > teorema, como bem lembrou o Petrucio em mensagem recente, incluem, > mais especificamente: > > * * * > > 1. SF tem um conjunto de axiomas tal que se pode reconhecer > mecanicamente quando uma dada expressão escrita na linguagem de SF é > ou não um axioma; > > 2. SF tem um conjunto de regras de inferências tal que se pode > reconhecer mecanicamente quando uma dada sequência de expressões > escrita na linguagem de SF é ou não uma instância de aplicação de uma > das regras; > > 3. A noção de prova utilizada em SF é finitária (ou seja, as provas > são finitas); > > 4. SF só prova verdades; > > 5. SF prova uma porção significativa de resultados da Teoria dos Números. > > * * * > > Importante ainda é notar que, na demonstração canônica da > incompletabilidade, pretende-se demonstrar um resultado sobre um certo > sistema S usando essencialmente apenas os recursos expressivos e > dedutivos deste próprio sistema S --- que deve assim ser dotado de uma > certa capacidade de "auto-reflexão" (capacidade esta que o condena à > incompletabilidade). > > > Como fica isso do ponto de vista paraconsistente? Será que é possivel > provar > > que existe uma teoria paraconsistente T' que seja completa, > axiomatizavel, > > inconsistente, mas 'paraconsistente'? Ou existe uma versao > paraconsistente > > do teorema de Gödel? Isso já foi discutido em algum paper? Estou > viajando > > demais :-) ? > > Cê tá viajando não, Bruno... > > Se estivermos falando de um fragmento "suficientemente expressivo" da > matemática, paraconsistente ou não, haverá por certo alguma versão do > teorema de Gödel que poderá ser demonstrada. No entanto, se a lógica > e a semântica associada forem "enfraquecidas" a ponto de permitir por > exemplo que uma certa sentença possa ser ao mesmo tempo verdadeira e > falsa, então não deveria ser tão problemático em princípio descobrir > que a sentença de Gödel, que afirma de si própria ser indemonstrável, > é de fato demonstrável. Pessoas como Graham Priest defendem > exatamente este ponto de vista, e dizem que tais sentenças são > exemplos de "dialetéias" (algo como "contradições reais"). > > Claro que este ponto de vista também pode ser criticado. Hartry > Field, no livro recente "Saving Truth from Paradox", defende que este > argumento mostra justamente que o sistema matemático pensado por > Priest não é capaz de verificar sua própria correção de forma efetiva > (contrariando os pontos 2 ou 4 da lista acima). Ficaria fora de > alcance assim a demonstração de "soundness" do sistema a partir de > seus próprios recursos. > > * * * > > Por outro lado, um ponto que eu acredito NÃO ter sido explorado ainda > devidamente está relacionado justamente à noção de > *omega-consistência*, elucidada aqui na lista pelo Finger. No caso da > omega-consistência não há uma inconsistência ou contradição explícita > envolvida, mas algo como uma contradição "em potência", e há pouco > espaço assim para uma contribuição da paraconsistência de modo > genérico (a definição usual de paraconsistência pode ser formulada a > nível proposicional e abstrato, envolvendo sentenças e suas negações). > > Uma BOA lógica paraconsistente que explorasse os espaços para além do > nível proposicional deveria, na minha opinião, dar conta deste tipo de > inconsistência. Desconheço, não obstante, qualquer trabalho que já > tenha sido feito nesta direção. > > > Joao Marcos > > -- > My homepage: > http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ > _______________________________________________ > Logica-l mailing list > [email protected] > http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l >
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