"O livro “Gödel’s Way”, de Doria, Newton e Gregory Chaitin tornou-se um
best-seller no campo da matemática, ajudando a conferir a Gödel o
reconhecimento histórico que lhe faltou em vida"
Agora, esta informação é no mínimo um exagero, não?
SV
On 2/24/12, Décio Krause<[email protected]> wrote:
Muito bem. Todos sabemos da competência desses caras. Parabéns a todos
pelos
resultados e pelo reconhecimento. Precisamos disso, e eles merecem isso.
Mas, lendo a coluna indicada do Nassif, chamaram-me a atenção os
comentários
que se seguem à coluna. Impressionante a ignorância generalizada,
principalmente dos tcheguevaristas, que estão sempre de plantão para dar
pitados em qualquer coisa, de Shakespeare a Gödel.
D
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Décio Krause
Departamento de Filosofia
Universidade Federal de Santa Catarina
88040-900 Florianópolis - SC - Brasil
http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause
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Em 24/02/2012, às 09:55, yuri lumer<[email protected]> escreveu:
http://www.advivo.com.br/blog/luisnassif/os-tres-brasileiros-que-refutaram-as-bases-do-neoliberalismo
O livro “O Universo NeoLiberal do Desencanto”, do economista José Carlos
de
Assis e do matemático Francisco Antonio Doria, traz uma história
extraordinária, de como três brasileiros – no campo da lógica –
ajudaram a
desmontar o principal princípio do neoliberalismo: aquele que dizia que
em
um mercado com livre competição os preços tendem ao equilíbrio.
É mais uma das descobertas do incansável lutador José Carlos de Assis.
As teses do trio – lógico Newton da Costa, matemático Antonio Doria e
economista Marcelo Tsuji são um clássico da ciência brasileira que
começa
a
ganhar reconhecimento mundial, ma história complexa, porém fascinante,
que
merece ser detalhada.
*Newton Costa*
Francisco Doria
O primeiro passo é – a partir do livro – reconstituir as etapas da
matemática no século 20, sua luta para se tornar uma ciência formal,
isto
é, com princípios de aplicação geral. E os diversos obstáculos nesse
caminho.
O método axiomático na matemática
A matemática sempre se baseou no método axiomático de Euclides.
1 Escolhem-se noções e conceitos primitivos.
2 Utiliza-se uma argumentação lógica.
3 Manipulando os conceitos com a lógica, chega-se aos resultados
derivados, os teoremas da geometria.
Foi só a partir do final do século 19 que Giuseppe Peano incorporou
definitivamente o método axiomático à matemática tornando-se, desde
então,
a técnica mais segura para a geração de conhecimento matemático.
Em 1908 Ernest Zermelo axiomatizou a teoria dos conjuntos e, a partir
daí,
todos os resultados conhecidos da matemática. Formou-se a chamada
matemática “feijão-com-arroz” usada por engenheiros, economistas,
ecólogos
e biólogos matemáticos.
Desde então, no âmbito da alta matemática instaurou-se uma discussão
secular: tudo o que enxergamos como verdade matemática pode ser
demonstrado?
A formalização da matemática
Com esses avanços do método axiomático, pensava-se que tinha se
alcançado
na formalização da matemática, tratada como ciência exata capaz de
calcular
e demonstrar todos os pontos de uma realidade.
Mas aí começaram a surgir os paradoxos, dos quais o mais famoso foi o de
Russel:
- Em uma cidade, existem dois grupos de homens: os que se barbeiam a
si
mesmos e os que se barbeiam com o barbeiro. A que grupo pertencem os
barbeiros?
Ora, um axioma não pode comportar uma afirmação contraditória em si. De
acordo com as deduções da lógica clássica, de uma contradição pode-se
deduzir qualquer coisa, acaba o sonho do rigor matemático e o sistema
colapsa.
Houve uma penosa luta dos matemáticos para recuperar a matemática da
trombada dos paradoxos até definir o que são as verdades matemáticas, o
que
coube ao matemático David Hilbert (1862-1943).
David Hilber (1862-1943)
Nos anos 20, Hilbert formulou um programa de investigação dos
fundamentos
da matemática, definindo o que deveriam ser os valores centrais:
- *Consistência*: a matemática não poderia conter contradições.
- *Completude*: a matemática deve provar todas suas verdades.
- *Procedimento de decisão*: a matemática precisa ter um procedimento,
digamos, mecânico permitindo distinguir sentenças matemáticas
verdadeiras
das falsas.
A partir desses princípios, a ideia era transformar a matemática em uma
ciência absoluta com regras definitivas. No Segundo Congresso de
Matemática, em Paris, Hilbert propôs os famosos 23 problemas cuja
solução
desafiaria as gerações seguintes de matemáticos.
(http<http://www.rude2d.kit.net/hilbert.html>
://
<http://www.rude2d.kit.net/hilbert.html>www<
http://www.rude2d.kit.net/hilbert.html>
.
<http://www.rude2d.kit.net/hilbert.html>rude<
http://www.rude2d.kit.net/hilbert.html>
2
<http://www.rude2d.kit.net/hilbert.html>d<
http://www.rude2d.kit.net/hilbert.html>
.
<http://www.rude2d.kit.net/hilbert.html>kit<
http://www.rude2d.kit.net/hilbert.html>
.
<http://www.rude2d.kit.net/hilbert.html>net<
http://www.rude2d.kit.net/hilbert.html>
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<http://www.rude2d.kit.net/hilbert.html>hilbert<
http://www.rude2d.kit.net/hilbert.html>
.
<http://www.rude2d.kit.net/hilbert.html>html<
http://www.rude2d.kit.net/hilbert.html>
).
Seus estudos foram fundamentais para o desenvolvimento da ciência da
computação.
A pedra no sapato de Hilbert
Kurt Gödel (1906-1978)
Mas havia uma pedra em seu caminho quando 1931, o matemático alemão Kurt
Gödel (1906-1978), radicado nos Estados Unidos, formula seu *teorema da
incompletude* para a aritmética, inaugurando a era moderna na
matemática.
Muitos estudiosos sustentam que seu “teorema da incompletude” é a maior
realização do gênio humano na lógica, desde Aristóteles.
No começo, os achados de Gödel se tornaram secundários no
desenvolvimento
da matemática do século. A partir dos estudos de dois dos nossos heróis
–
Doria e Da Costa – os matemáticos descobriram porque a matemática não
conseguia explicar uma série enorme de problemas matemáticos.
E aí se entra em uma selva de conceitos de difícil compreensão.
Mas, em síntese, é assim:
- Suponha um sistema de axiomas, com vários axiomas. Por definição,
esse
axioma não demonstra fatos falsos, só verdadeiros.
- Dentre os axiomas, no entanto, há uma sentença formal que, por
definição, não pode ser demonstrada.
- Se não pode ser demonstrada que é verdadeira, também não pode ser
demonstrada que é falsa (acho que o matemático se baseou no axioma da
Folha
com a ficha falsa da Dilma). Logo é uma sentença “indecidível” – isto
é,
não pode nem ser provada nem reprovada.
- Se o sistema é consistente – isto é, se consegue provar o que é
provável e não consegue o que não é – então, para ser consistente, ele
será
incompleto.
Pronto, bagunçou totalmente a lógica dos que supunham a matemática uma
ciência exata.
Anos depois, o lógico norte-americano Alonzo Church (1903-1995) e o
matemático inglês Alan Turing (1912-1954) desenvolveram outro conceito,
a
*
indecibilidade*.
Ambos demonstraram que há programas de computador insolúveis.
Alan Turing (1912-1954)
Turing, aliás, tem uma biografia extraordinária
http://www.turing.org.uk/turing/. Durante a Segunda Guerra foi
criptógrafo
do Exército inglês. Conseguiu quebrar a criptografia da máquina alemã
Enigma, até então considerada impossível de ser desvendada. Tornou-se
herói
de guerra. E lançou as bases para a teoria da programação em computador,
quando conseguiu reduzir todas as informações a uma sucessão de 0000 e
1111.
Em 1952 confessou-se homossexual a um policial que havia batido na
porta
de sua casa. Preso, com base em uma lei antissodomia (revogada apenas em
1975), foi condenado a ingerir hormônios femininos para inibir o
libido.
Os hormônios deformaram seu corpo. Acabou se matando com uma maçã
envenenada em 1954.
A teoria da programação nasce em 1936 em um artigo onde Turing analisa
em
detalhes os procedimentos de cálculos matemáticos e lança o esboço da
“máquina de Tuning”, base da computação moderna.
Nesse modelo o procedimento é determinístico – isto é, nos cálculos não
há
lugar para o acaso.
Muitas vezes ocorrem os “loops infinitos”, situações em que o
computador
não consegue encontrar a solução e fica calculando sem parar. Turing já
havia provado ser impossível um programa que prevenisse os “crashes” de
computador. Explicar a “parada” no programa de computador se tornou um
dos
bons enigmas para os matemáticos.
Durante bom tempo, até início dos anos 50, os matemáticos procuravam a
chave da felicidade: o programa que permitisse antecipar os crashes dos
demais programas. Mas em 1936 Turing já havia provado ser impossível.
Mais um revés para os que imaginavam a matemática capaz de explicar (ou
computar) todos os fenômenos matemáticos.
O teorema de Rice
Em 1951, outro matemático, Henry Gordon Rice avançou em um teorema
considerado “arrasa quarteirão”.
Henry Gordon Rice (1920- )
Denominou-se de funções parciais àquelas em que não existe um método
geral
e eficaz de decisão. Se uma propriedade se aplica a todas as funções
parciais, ela é chamada de *propriedade trivial*. E se a propriedade
traz
a
solução correta para cada algoritmo, ela é chamada de método de *decisão
eficaz*.
Uma propriedade só é eficaz se for aplicada a todas as funções. E essa
função não existe.
Para desespero dos que acreditavam que a matemática poderia explicar
tudo,
o teorema de Rice começou a se estender para a maior parte das áreas da
matemática.
O equilíbrio de Nash
O inventor oficial da computação, Von Neuman, não conseguia resolver um
caso geral em que se analisava uma solução para a soma de um conjunto de
decisões.
Quem resolveu foi um dos gênios matemáticos do século, John Nash,
personagem principal do filme “Uma mente brilhante”, nascido em 1928 e
vivo
ainda.
John Nash (1928 - )
Em uma tese de apenas 29 páginas – que lhe rendeu o PhD e o Nobel – ele
mostrou que casos de jogos não-colaborativos (como em um mercado) a
solução
aceitável de cada jogador correspondia ao equilíbrio dos mercados
competitivos.
O “equilíbrio de Nash” mostra uma situação em que há diversos jogadores,
cada qual definindo a sua estratégia ótima. Chega-se a uma situação em
que
cada jogador não tem como melhorar sua estratégia, em função das
estratégias adotadas pelos demais jogadores. Cria-se, então, essa
situação
do “equilíbrio de Nash”.
Como explica Dória, em linguagem popular: a situação de equilíbrio é
aquela
que se melhorar piora.
O princípio de Nash é: todo jogo não-cooperativo possui um equilíbrio de
Nash.
O “equilíbrio de Nash” tornou-se um dos pilares da matemática moderna.
A matemática na economia
O primeiro economista a tentar encontrar o preço de equilíbrio na
economia
foi Léon Walras (1834-1910). Montou equações que identificam as
intersecções da curva da oferta e da demanda, para chegar ao preço
ótimo.
Depois, montou equações para diversos mercados, concluindo que, dadas as
condições ideais para a oferta e para a procura, sempre seria possível
encontrar soluções matemáticas.
Mas não apresentou uma solução para o conjunto de operações da economia.
O que abriu espaço para o “equilíbrio dos mercados” foram dois
matemáticos
– Kenneth Arrow (1921) e Gérard Debreu (1921-2004).
Walras tivera o pioneirismo de formular o estado de um sistema econômico
como a solução de um sistema de equações simultâneas, que representavam
a
demanda de bens pelos consumidores, a oferta pelos produtores e a
condição
de equilíbrio tal que a oferta igualasse a demanda em cada mercado. Mas,
argumentavam eles, Walras não dera nenhuma prova de que a equação
proposta
(o somatório de todas as equações da economia) tivesse solução.
Só décadas depois, esse dilema – de como juntar em uma mesma solução
todas
as equações de um universo econômico – passou a ser tratado, com o
desenvolvimento da teoria dos jogos, graças à aplicação do “equilíbrio
de
Nash” à economia. Mostraram que a solução de Nash para o jogo
corresponde
aos preços de equilíbrio.
Essa acabou sendo a base teórica que legitimou praticamente três décadas
de
liberalismo exacerbado.
Entra em cena o “outro Nash”
Aí surge em cena o “outro Nash”, Alain Lewis, um gênio matemático,
negro,
mistura de Harry Belafonte e Denzel Washington, criado nos guetos de
Washington, depois estudante em Princenton, onde conquistou o respeito
até
de referências como Paul Samuelson.
Partiu dele o primeiro grande questionamento à econometria como "teoria
eficaz" (isto é, capaz de matematizar todos os fenômenos econômicos).
Em um conjunto de obras, a partir de 1985, Lewis tentou demonstrar que
as
noções fundamentais da teoria econômica não são "eficazes" - isto é, não
explicam todos os fenômenos econômicos - e, portanto, devem ser
descartadas. Comprovou sua tese para um número específico de casos.
Em 1991, em Princenton, Lewis ligava de madrugada para trocar ideias com
um
colega brasileiro, justamente Francisco Antônio Doria. Excepcionalmente
brilhante, trato difícil, o primeiro surto de Lewis foi em 1994. Há dez
anos nenhum amigo sabe mais dele. Provavelmente internado em alguma
clínica.
Sua principal contribuição foi comprovar que em jogos não associativos
(aqueles em que há disputas entre os participantes) embora exista o
"equilíbrio de Nash" descrevendo cada ação, ganhos e perdas dos
competidores, o resultado geral é "não computável" . Ou seja, podem
existir
soluções particulares mas sem que possam ser reunidas num algoritmo
geral.
Aparecem os brasileiros
O objetivo da teoria econômica é identificar as decisões individuais que
valem para o coletivo. De nada vale matematizar o resultado de dois
agentes
individuais se a solução não se aplicar ao conjunto de agentes
econômicos.
Havia razões de sobra para Lewis ligar toda noite, impreterivelmente às
duas da manhã, para Dória.
Desde os anos 80, Doria e Newton da Costa estudavam soluções para o
problema da teoria do caos. Queriam identificar, através de fórmulas,
quando um sistema vai desenvolver ou não um comportamento caótico. Esse
desafio havia sido proposto em 1983 por Maurice Hirsch, professor de
Harvard.
Eram estudos relevantes, especialmente para a área de engenharia. Como
saber se a vibração na asa de um avião em voo poderá ficar incontrolável
ou
não?
Depois, provaram uma versão do teorema de Rice para matemática usual:
que
usa em economia.
Depois de muitos estudos, ambos elaboraram uma resposta brilhante sobre
a
teoria do caos demonstrando que não existe um critério geral para
prever o
caos, qualquer que seja a definição que se encontre para caos.
Esse conceito transbordou para outros campos computacionáveis. A partir
dele foi possível inferir a impossibilidade de se ter um antivírus
universal para computador, ou uma vacina universal para doenças.
Num certo dia, no segundo andar do Departamento de Filosofia da USP,
Doria
foi abordado por um jovem economista, Marcelo Tsuji, que já trabalhava
na
consultoria de Delfim Neto. Aliás, anos atrás Paulo Yokota já havia me
alertado de que o rapaz era gênio. Na época, Delfim encaminhou-o para se
doutorar com Doria e da Costa.
Marcelo disse a Doria ter coisas interessantes para lhe relatar. Disse
que
tinha encontrado uma prova mais geral para o teorema de Lewis utilizando
as
técnicas desenvolvidas por Doria e Da Costa.
Doria pediu para Marcelo escrever. Depois, Doria e Nilton revisaram o
trabalho, todo baseado nas técnicas de lógica de ambos.
Chegou-se ao resultado em 1994. Mas o trabalho com Tsudi só foi
publicado
em 1998. Revistas de economia matemática recusaram publicar. Conseguiram
espaço em revistas de lógica.
O grande desafio do chamado neoliberalismo seria responder às duas
questões:
1. Como os agentes fazem escolhas.
2. Como a ordem geral surge a partir das escolhas individuais.
A conclusão final matava definitivamente a ideia de que em mercados
competitivos se chegaria naturalmente ao preço de equilíbrio. O trabalho
comprovava que o “equilíbrio de Nash” ocorria, com os mercados chegando
aos
preços de equilíbrio. Mas que era impossível calcular o momento. Logo,
toda
a teoria não tinha como ser aplicada.
O reconhecimento mundial
O Brasil não tem tradição científica para reconhecer trabalhos na
fronteira
do conhecimento. Assim, o reconhecimento do trabalho do trio está se
dando
a partir do exterior.
O livro “Gödel’s Way”, de Doria, Newton e Gregory Chaitin tornou-se um
best-seller no campo da matemática, ajudando a conferir a Gödel o
reconhecimento histórico que lhe faltou em vida.
Gödel's Way
In the 1930s, Kurt Gödel showed that the usual formal mathematical
systems
cannot prove nor disprove all true mathematical sentences. This notion
of
incompleteness and a related property—undecideability, formulated by
Alan
Turing—are often presented as ideas that are only relevant to
mathematical
logic and have nothing to do with the real world. However, *Gödel’s Way*
proves
the contrary.
Gregory Chaitin, Newton da Costa and Francisco Antonio Doria show that
incompleteness and undecidability are everywhere, from mathematics and
computer science, to physics and mathematically formulated portions of
chemistry, biology, ecology, and economics.
Have you ever wondered why we can’t create an antivirus program for
computers that doesn’t require constant updates? Or why so much of the
software we use has bugs and needs to be upgraded with patch-up
subroutines? Fascinatingly, the reasons involve Gödel’s incompleteness
theorems. Nor is astronomy immune from the fun, as the authors show. We
can
formulate a certain measure of a universe, called a metric tensor, so
that
it is undecidable whether it is a “Big Bang universe”—with a definite
origin in time—or a universe without a global time coordinate.
(Interestingly, Gödel himself studied universes of the latter type.)
Recentemente, o artigo de ambos com Marcelo Tsudi integrou um handbook
inglês de trabalhos clássicos nas áreas de economia e computação.
No próximo mês, Doria – ele próprio um admirador da economia
neoclássica –
estará ministrando um curso na Áustria, para uma academia defensora da
economia ortodoxa, mas que não tem o viés primário dos nossos cabeças de
planilha.
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