Caros Sourav e Giorgio,
Com relação à sua mensagem, agradecemos pelo interesse em nosso artigo, mas
gostaríamos de esclarecer alguns enganos de vossa parte na apreciação dos
resultados.
(1) Vocês afirmam "Em primeiro lugar, a validade nas estruturas Twisted,
que são as novas estruturas introduzidas no artigo, é booleana e, portanto,
o primeiro resultado principal Teorema 8.21 (como todos os lemas
precedentes) é uma consequência direta (e não uma extensão) do resultado
bem conhecido de que as estruturas a valores booleanos validam todos os
axiomas ZFC (veja o livro do Bell "Set Theory") [...] o que leva ao fato de
que as álgebras booleanas twisted [...] não são nada além de álgebras
booleanas. Portanto, as estruturas twisted não oferecem novos modelos para
ZFC."
Há aqui um engano. As estruturas twist para a lógica 3-valorada LPT0, a
partir das quais construímos os modelos de ZFC, formam uma variedade de
álgebras que é termwise equivalente à variedade MV3 de MV-álgebras que são
a classe de modelos de L3, a lógica 3-valorada de Lukasiewicz. Isto é
consequência do fato de que LPT0 coincide (a menos de linguagem) com a
lógica J3 de da Costa e D'Ottaviano, a qual é por sua vez equivalente (no
sentido introduzido por Blok e Pigozzi em "Abstract algebraic logic and the
deduction metatheorem") com L3. Logo, do ponto de vista algébrico, os
twist-valued models que nós introduzimos para a teoria de conjuntos vão
além dos Boolean-valued models: as MV álgebras de MV3 não são Boolean
algebras em geral. Checar a satisfação dos axiomas de ZFC nessas estruturas
requer uma análise minuciosa da longa demonstração apresentada no referido
livro de Bell, adaptando em certos pontos alguns detalhes técnicos para o
contexto mais geral das twist-structures. As estruturas twist para LPT0
contém álgebras de Boole como subestruturas (por exemplo, o conjunto dos
pares da forma (a,~a)), mas há mais coisas nesses modelos: a segunda
coordenada dos pares nao é necessariamente o complemento booleano da
primeira, há uma negação paraconsistente, e há conjuntos "inconsistentes" x
tais que (x=x) e não (x=x) é o caso, onde obviamente "não" é a negação
paraconsistente. Assim, os Boolean-valued models foram levados para um
contexto mais geral.
Se a proximidade dos twist-valued models com os Boolean-valued models no
fragmento sem negação paraconsistente (o ZF "puro") é visto como uma
limitação, essa limitação já aparece no (único) modelo de ZF "puro"
apresentado no artigo de Lowe e Tarafder, PS3. Com efeito, o raciocínio que
vocês apresentam para as estruturas twist para LPT0 no início da sua
mensagem pode ser aplicado mutatis mutandis às estruturas twist para PS3,
também apresentadas no nosso paper: aqueles items (i) a (iii) valem também
para as estruturas twist para PL3. Logo, a classe de modelos de ZF baseados
nessas estruturas (em particular PS3!) seriam Boolean-valued models de ZF,
segundo seu raciocínio. Mas já esclarecemos acima que esse não é bem o caso.
Justamente um ponto interessante do nosso artigo é que apresentamos uma
abordagem diferente daquela apresentada por Lowe e Tarafder, abstraindo a
estrutura de PS3 para estruturas twist em lugar de analisar as propriedades
das implicações (como é feito naquele artigo, que de todas maneiras explora
muito bem diferentes implicações para definir novos modelos algébricos de
fragmentos de ZF), o que permitiu obter uma classe de modelos de ZF, um
modelo para cada álgebra de Boole completa. Analisar as coisas desde essa
perspectiva permitiu provar que PS3 é *também* modelo do axioma da escolha,
adaptando a prova para LPT0 dada no paper (adaptada, por sua vez, da prova
de Bell, como foi mencionado antes). Os detalhes não foram dados no artigo
porque é realmente uma adaptação imediata do caso de LPT0. Isto nos leva à
segunda questão:
(2) Vocês mencionam no final da mensagem que "O segundo resultado principal
do artigo [...] afirma que a estrutura twisted para PS_3 [...] é um modelo
de todos os axiomas de ZFC. Embora não haja provas desta afirmação no
artigo, é fácil mostrar que isto é falso. De fato, há instâncias (do
esquema) de separação que não são válidas no modelo a valores na álgebra
PS_3."
Esta frase é curiosa, dado que Lowe e Tarafder mostram no Corollary 11 que
PS3 é modelo de ZF. Em particular, o esquema de Separação é satisfeito por
PS3 (é uma consequência dos Theorems 4 e 9). Evidentemente houve aqui
também um engano. O que é mostrado nesse artigo, na seção "Comparison to
other paraconsistent set theories" (Theorem 15), é que PS3 não satisfaz
algumas instâncias do esquema de *Compreensão* da teoria ingênua de
conjuntos, que no entanto é satisfeito por algumas teorias paraconsistentes
de conjuntos apresentadas na literatura.
Finalmente, consideramos que é muito bom que a área de teoria
paraconsistente de conjuntos tenha novas propostas, saindo da tradicional
abordagem da teoria ingênua de conjuntos e tentando, no seu lugar, analisar
(extensões de) ZF/ZFC. Alguns anos atrás nós propusemos uma variante
paraconsistente de ZF, baseada em lógicas da inconsistência formal (LFIs),
no artigo "Paraconsistent set theory by predicating on consistency"
publicado em 2013 no Journal of Logic and Computation. Ali nos baseamos em
LFIs muito fracas, não algebrizáveis, e apresentamos uma versão axiomática,
sem modelos. O passo seguinte era utilizar lógicas mais fortes, e J3 era a
opção mais óbvia. Assim, motivados pelo belo artigo de Lowe e Tarafder,
decidimos retomar a questão, introduzindo os twist-valued models. Achamos
que esta semântica pode oferecer uma perspectiva interessante para diversas
teorias paraconsistentes de conjuntos.
Um abraço
Walter e Marcelo
Em dom., 15 de dez. de 2019 às 13:04, Giorgio Venturi <gio.vent...@gmail.com>
escreveu:
> Caros membros da lista de lógica,
>
> Escrevemos a respeito do artigo recentemente (5 de dezembro) publicado
> nesta lista: "Twist-Valued Models for Three-Valued Paraconsistent Set
> Theory", de Carnielli e Coniglio. Em razão do tema, tão próximo ao nosso
> trabalho, sentimos a necessidade de apontar alguns aspectos importantes,
> para que as afirmações não induzam em erro os pesquisadores que trabalham
> nessa área.
>
> Em primeiro lugar, a validade nas estruturas Twisted, que são as novas
> estruturas introduzidas no artigo, é booleana e, portanto, o primeiro
> resultado principal Teorema 8.21 (como todos os lemas precedentes) é uma
> consequência direta (e não uma extensão) do resultado bem conhecido de que
> as estruturas a valores booleanos validam todos os axiomas ZFC (veja o
> livro do Bell "Set Theory"). A razão é que
>
> (i) a validade é definida apenas em função do primeiro componente do
> produto (definição 4.7),
> (ii) as operações "meet", "join", "arrow", e "~" da Twist-algebra são as
> mesmas da álgebra booleana, no primeiro componente,
> (iii) o conjunto de valores designados de álgebra booleana twisted é
> tomado como {(1,a) : a é qualquer elemento da álgebra}.
>
> o que leva ao fato de que as álgebras booleanas twisted com as operações
> mencionadas em (ii) e o conjunto de valores designados mencionado em (iii)
> não são nada além de álgebras booleanas. Portanto, as estruturas twisted
> não oferecem novos modelos para ZFC.
>
> O segundo resultado principal do artigo Theorem 9.4 e Remark 9.5 afirma
> que a estrutura twisted para PS_3 (introduzida como reasonable implication
> algebra, necessária para produzir modelos de teoria de conjuntos no artigo
> "Generalized algebra-valued models of set theory", de Loewe e Tarafder) é
> um modelo de todos os axiomas de ZFC. Embora não haja provas desta
> afirmação no artigo, é fácil mostrar que isto é falso. De fato, há
> instâncias (do esquema) de separação que não são válidas no modelo a
> valores na álgebra PS_3.
>
> Atenciosamente,
> Sourav Tarafder
> Giorgio Venturi
>
> Il giorno gio 5 dic 2019 alle ore 19:54 Joao Marcos <botoc...@gmail.com>
> ha scritto:
>
>> Coincidentemente (?), o Sourav Tarafder fez uma excelente exposição do
>> trabalho precursor dele sobre o tema, esta tarde, na USP:
>>
>> 1st Workshop "Studies in Mathematical Workshop"
>> https://sites.google.com/site/studiesinmathematicallogic/programa
>>
>> Vocês têm sorte de poder dialogar diretamente com ele sobre o assunto,
>> dado que ele é atualmente Professor Visitante aí mesmo na UNICAMP,
>> trabalhando com o Giorgio Venturi!
>>
>> Abraços,
>> JM
>>
>>
>> On Thu, Dec 5, 2019, 12:36 Walter Carnielli <walter.carnie...@gmail.com>
>> wrote:
>>
>>> Caros colegas:
>>>
>>> Em vista do interesse do assunto, julgamos apropriado divulgar,
>>> abraços,
>>> Walter
>>> =========================
>>> Twist-Valued Models for Three-valued Paraconsistent Set Theory
>>> W. Carnielli and M. E. Coniglio
>>> https://arxiv.org/pdf/1911.11833.pdf
>>>
>>> Light abstract:
>>>
>>> Paraconsistent set theory (PST) is the theoretical move to maintain
>>> the freedom of defining sets, while stripping the theory of
>>> unnecessary principles, so as to avoid triviality -- a disastrous
>>> consequences of contradictions involving sets in ZF. A hard problem
>>> is to find good models for PST.
>>>
>>> B. Löwe and S. Tarafder proposed in 2015 a class of algebras based on
>>> a certain kind of implication which satisfy several axioms of ZF. From
>>> this class, they found a specific 3-valued model called PS3 which
>>> satisfies all the axioms of ZF, and can be expanded with a
>>> paraconsistent negation *, thus obtaining a paraconsistent model of
>>> ZF. The logic (PS3 ,*) coincides (up to the language) with da Costa
>>> and D'Ottaviano logic J3, a 3-valued paraconsistent logic that have
>>> been proposed independently in the literature by several authors and
>>> with different motivations such as CluNs, LFI1 and MPT.
>>>
>>> We propose in this paper a family of algebraic models of ZFC based on
>>> LPT0, another linguistic variant of J3 introduced by us in 2016. The
>>> semantics of LPT0, as well as of its first-order version QLPT0, is
>>> given by twist structures defined over Boolean algebras.
>>>
>>> Twist-valued models are natural generalizations of the Boolean-valued
>>> models of set theory independently introduced by Scott, Solovay and
>>> Vopěnka.
>>>
>>> Our twist-valued models are adapted to provide a class of twist-valued
>>> models for (PS3,*), thus generalizing Löwe and Tarafder's results. It is
>>> shown that they are in fact models of ZFC (not only of ZF).
>>> ====================================
>>>
>>> Walter Carnielli
>>> https://waltercarnielli.com/
>>>
>>> Centre for Logic, Epistemology and the History of Science and
>>> Department of Philosophy
>>> State University of Campinas –UNICAMP
>>> 13083-859 Campinas -SP, Brazil
>>>
>>> CV Lattes : http://lattes.cnpq.br/1055555496835379
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