Prezados Sourav e Giorgio
Muito obrigado mais uma vez pelas observações. No entanto, infelizmente tem
alguns erros de argumentação que acabam invalidando as mesmas.
Antes de prosseguir, gostaríamos de passar a limpo os objetivos das suas
críticas, (1) e (2).
A crítica (1) visa mostrar que nosso primeiro resultado principal (Theorem
8.21), que estabelece que os twist-valued models sobre LPT0 satisfazem ZFC,
seria trivialmente obtido do resultado clássico descrito no livro de Bell,
de que os Boolean-valued models satisfazem ZFC. Isto é resumido na seguinte
frase da sua última mensagem:
[começo da citação]
<<Teorema 8.21 é equivalente ao conhecido resultado "todos os axiomas (daí
todos os teoremas) de ZFC são válidos em V(B), para cada álgebra booleana
completa B".>>
[fim da citação]
A crítica (2) aponta um suposto erro no nosso segundo resultado principal
(Theorem 9.4), que estabelece que os twist-valued models sobre a lógica
(PS3,*) satisfazem ZFC. A razão seria simplesmente que V(PS3) é modelo do
fragmento sem negação de ZF, e não de ZF completo (com negação),
estabelecido no Corolário 5.2 do paper de Loewe e Tarafder. Isto é resumido
nas seguintes frases da sua última mensagem:
[começo da citação]
<<Este corolário [5.2 do paper Loewe-Tarafder] apenas diz o seguinte:
[fim da citação]
"O fragmento livre da negação de ZF é válido em V(PS3)".
Existem casos de Axioma de Separação, contendo negação, que não são válidos
em V(PS3)! Como podemos entender isso de forma errada quando Sourav é um
dos autores do artigo?
Por essa razão uma estrutura a valores em PS3 não pode fornecer modelos de
ZF completo. Deve necessariamente haver algo errado no segundo resultado
principal Teorema 9.4!>>
A primeira coisa que tentamos explicar na mensagem anterior é que as
críticas (1) e (2) são (classicamente) contraditórias.
Ou seja: não dá para sustentar as duas críticas ao mesmo tempo. A
explicação é simples: o argumento apresentado para "provar" (1) pode ser
aplicado, mutatis mutandis (e a prova disto segue abaixo), para "provar" a
seguinte variante da sua afirmação acima:
Teorema 9.4 é equivalente ao conhecido resultado "todos os axiomas (daí
todos os teoremas) de ZFC são válidos em V(B), para cada álgebra booleana
completa B".
Se assumimos que os resultados do livro de Bell são corretos (acho que
concordamos nesse ponto), então a crítica (2) (que afirma que o Tteorema
9.4 não vale) é falsa. Logo, (1) e (2) são inconsistentes.
[Só pra constar: como é que aplicamos os seus argumentos de (1) mutatis
mutandis para PS3 e (PS3,*)? Muito simples: a conjunção e disjunção de PS3
coincidem com a de LPT0. Dado que PS3 tem bottom 0, o termo x => 0 define a
negação forte ~x de LPT0. Assim, as operações das estruturas twist de PS3
para a conjunção, disjunção e negação forte são as mesmas daquelas
consideradas em (1). Com relação à implicação => de PS3, diferente daquela
de LPT0, quando passamos para as estruturas twist, a primeira coordenada da
implicação nas twist para PS3 coincide com a primeira coordenada da
implicação nas twist para LPT0 (sendo nos dois casos a implicação Booleana
das respectivas primeiras coordenadas). Isso mostra que as operações
consideradas no argumento em (1) para LPT0 também se aplicam para PS3. E
dai para (PS3,*), dado que a negação paraconsistente * é a mesma de LPT0.]
Visto que não dá para fazer as duas críticas simultaneamente, e esperando
não cansar os outros leitores desta lista com esta longa discussão,
apresentaremos a seguir breves considerações para mostrar que nenhum dos
argumentos dados na sua mensagem em favor de (1) e (2) procedem.
Comecemos por (2), que é mais fácil de analisar por se tratar apenas de um
erro de interpretação da terminologia. O Corollary 5.2 do paper de
Loewe-Tarafder diz exatamente:
COROLLARY 5.2. For any filter D, all axioms of NFF-ZF are D-valid in V(PS3).
Esclarecendo para os demais leitores, D é o conjunto de valores
distinguidos para analisar os modelos. Pode ser D={1} ou D={1, 1/2}.
Por outro lado, NFF é definido na pag. 193 (pag. 2 do pdf) como sendo o
conjunto de "negation-free formulas". Tecnicamente, e como consta nesse
trecho do artigo, é a álgebra de fórmulas obtida das atômicas com os
quantificadores universal e existencial, conjunção, disjunção, implicação e
bottom. Assim, a negação clássica pode ser definida em NFF (embora o nome
possa levar a enganos). O artigo esclarece isso em várias oportunidades.
Por exemplo, no fim da pag. 193 (pag. 2 do pdf) é afirmado:
"if the logic we are working in allows to define negation in terms of the
other connectives (as is the case, e.g., in classical logic), then every
formula is equivalent to one in NFF". Ou seja: negation-free fórmulas sobre
a lógica clássica tem negação clássica (embora não primitiva). Não
paraconsistente ou paracompleta, mas clássica.
E o que significa então a NFF-ZF do Corollary 5.2? Obviamente é a teoria de
conjuntos ZF da lógica clássica expresada na linguagem NFF. Sem negações
clássicas (explícitas), mas representando elas como ~p = p -> F onde F é o
símbolo do bottom. Logo, NFF-ZF coincide com ZF clásico completo, com
negações clássicas (mas não paraconsistentes ou paracompletas), e então o
Corollary 5.2 afirma, *sim*, que V(PS3) é modelo de ZF clássico, completo,
sem negações paraconsistentes (mas com negações clássicas). Para constatar
estas afirmações reproduzimos o final do primeiro parágrafo da pag. 197 do
paper de Loewe-Tarafder (pag. 6 do pdf):
We write NFF-Separation and NFF-Replacement for the axiom schemes where we
only allow the instantiation by negation-free formulas, and we write
NFF-ZF− and NFF-ZF for negation-free set theory using these schemes [ZF− é
ZF menos Foundation]. We emphasize once more that in settings where
negation can be defined in terms of negation-free formulas (such as
classical logic), this coincides (up to provable equivalence) with standard
Zermelo-Fraenkel set theory.
A última frase é definitiva: NFF-ZF coincide (a menos de linguagem) com ZF
completa (com negação). Logo, repetindo mais uma vez, o Corollary 5.2 prova
que V(PS3) é um modelo de ZF, incluindo NFF-Separation (que é equivalente o
axioma de Separação clássico, como consta na frase acima extraída do texto
original).
Nós mostramos no nosso artigo que é possível generalizar PS3 (que é uma
estrutura twist definida sobre a álgebra de Boole de 2 elementos) para
estruturas sobre qualquer álgebra de Boole completa, e todas elas
(incluindo PS3) satisfazem *também* o Axioma da Escolha (ver Teorema 9.4).
Vamos agora à crítica (1): a crítica aponta a suposta trivialidade do
Theorem 8.21, que estabelece que os twist-valued models sobre LPT0
satisfazem ZFC. Isto seria obviamente deduzível do resultado provado em
Bell para Boolean-valued models. Vamos ao seu argumento:
[começo da citação]
<<A estrutura twisted para LPT0 sobre uma álgebra booleana A é uma
estrutura TA = ( TA, meet, join, arrow, ~, lnot ), onde as operações meet,
join, arrow, e ~ são definidas de forma que a primeira coordenada é igual à
do meet, join, arrow, e ~ da álgebra booleana A (Definição 4.6; p8). O
conjunto designado de TA é D = {(1, a) : onde a é qualquer elemento de A e
1 é o elemento superior de A}.
Nós afirmamos que a subestrutura TA_sub = ( TA, meet, join, arrow, ~ ),
excluindo o conectivo "\lnot", com o conjunto designado D é igual a uma
álgebra booleana no seguinte sentido:
(#) uma fórmula phi (expressa na linguagem com assinatura (meet, join,
arrow, ~)) é válida com respeito a (TA_sub, D) iff é válida com respeito a
uma álgebra booleana.>>
[fim da citação]
Aqui encontramos um problema técnico insalvável. O reduto (não
subestrutura) TA_sub de TA não é uma álgebra Booleana, de maneira alguma:
não tem elemento máximo, condição sine qua non para ser uma álgebra de
Boole. Por sinal, (z1,z2) join ~(z1,z2) = (z1,z2) join (~z1,z1) = (1, z1 ^
z2) (onde "1", "~" e "^" denotam o elemento máximo, o complemento Booleano
e o ínfimo em A respectivamente). Mais ainda, se fosse verdade que TA_sub é
uma álgebra de Boole, então tomando A={0,1} (a álgebra de Boole de 2
elementos) então TA_sub teria como domínio (1,0), (1,1) e (0,1), isto é,
seria uma álgebra de Boole de 3 elementos (por sinal, neste caso TA_sub é
isomorfo a PS3).
Continuado com o raciocínio, a afirmação (#) parece não ter sentido: qual
seria a álgebra Booleana? TA_sub?
A conclusão obtida por vocês a partir de (#) e da constatação ($), de que o
que nós chamamos de "linguagem pura de ZF" é a o fragmento sem negação
paraconsistente (isto é correto), é a seguinte:
[começo da citação]
<<Combinando (#) e ($) dissemos isso: Teorema 8.21 é equivalente ao
conhecido resultado "todos os axiomas (daí todos os teoremas) de ZFC são
válidos em V(B), para cada álgebra booleana completa B".>>
[fim da citação]
E nós continuamos a perguntar: qual é a álgebra de Boole B? TA_sub?
Enfim, achamos que a discussão está ficando um pouco longa e talvez
entediante para as demais pessoas. Pode se questionar se os twist-valued
models são interessantes ou não, ou se poderia ser simplificada nossa prova
do Teorema 8.21. Mas não deveria haver dúvidas da correção do Teorema 9.4,
dado os argumentos exibidos acima.
Resumindo: no nosso artigo apresentamos uma expansão dos Boolean valued
models com uma negação paraconsistente, permitindo considerar conjuntos
"inconsistentes". O fato de ter uma família de modelos baseada nas álgebras
de Boole completas permite, por exemplo, o estudo do forcing na teoria
paraconsistente ZF-LPT0. isso é um ganho com relação ao (excelente)
trabalho pioneiro de Loewe e Tarafder, no qual só uma estrutura
paraconsistente estava a disposição.
Agradecemos a vocês pela análise minuciosa e aguda que fizeram, que nos
obrigou a repensar e justificar melhor a importância da nossa proposta.
Este tipo de discussões acadêmicas sadias é muito edificante.
Um grande abraço
Walter e Marcelo
Em ter., 17 de dez. de 2019 às 11:55, Giorgio Venturi <gio.vent...@gmail.com>
escreveu:
> Caro Marcelo e Walter,
>
> Obrigado pelo e-mail. Depois de lê-lo, continuamos a insistir nos pontos
> matemáticos que mencionámos no nosso e-mail anterior, que diz precisamente
> o seguinte.
>
> (1) Nós não dissemos que a estrutura twisted para a lógica LPT0 é
> booleana: é claro que ela contém duas negações diferentes "~" e "\lnot".
>
> A estrutura twisted para LPT0 sobre uma álgebra booleana A é uma estrutura
> TA = ( TA, meet, join, arrow, ~, lnot ), onde as operações meet, join,
> arrow, e ~ são definidas de forma que a primeira coordenada é igual à do
> meet, join, arrow, e ~ da álgebra booleana A (Definição 4.6; p8). O
> conjunto designado de TA é D = {(1, a) : onde a é qualquer elemento de A e
> 1 é o elemento superior de A}.
>
> Nós afirmamos que a subestrutura TA_sub = ( TA, meet, join, arrow, ~ ),
> excluindo o conectivo "\lnot", com o conjunto designado D é igual a uma
> álgebra booleana no seguinte sentido:
>
> (#) uma fórmula phi (expressa na linguagem com assinatura (meet, join,
> arrow, ~)) é válida com respeito a (TA_sub, D) iff é válida com respeito a
> uma álgebra booleana.
>
> Agora, um dos principais resultados do trabalho de vocês, Teorema 8.21 é o
> seguinte." Todos os axiomas (daí todos os teoremas) do ZFC, quando
> restritos a línguas ZF puras Lp(TA) (ver Definição 7.2), são válidos em
> V(TA), para cada A. ".
>
> ($) Note que a Definição 7.2 diz que a linguagem ZF pura não contém o
> conectivo "\lnot", ou seja, os únicos conectivos são os conectivos de
> TA_sub.
>
> Combinando (#) e ($) dissemos isso: Teorema 8.21 é equivalente ao
> conhecido resultado "todos os axiomas (daí todos os teoremas) de ZFC são
> válidos em V(B), para cada álgebra booleana completa B".
>
> Infelizmente, não há nenhuma prova no paper de que esta equivalência não
> seja correta. Em outros termos, embora as estruturas twisted pareçam
> interessantes, elas não fornecem, no paper, novos modelos de ZFC.
>
> (2) Não existe nenhum Corolário 11 (nem Theorem 9 e 4) no paper de Loewe e
> Tarafder. Provavelmente o corolário que você queria mencionar é o Corolário
> 5.2 (na página 10); a versão publicada deste artigo está anexada a este
> correio. Este corolário apenas diz o seguinte:
>
> "O fragmento *livre da negação* de ZF é válido em V(PS3)".
>
> Existem casos de Axioma de Separação, contendo negação, que não são
> válidos em V(PS3)! Como podemos entender isso de forma errada quando Sourav
> é um dos autores do artigo?
> Por essa razão uma estrutura a valores em PS3 não pode fornecer modelos
> de ZF completo. Deve necessariamente haver algo errado no segundo resultado
> principal Teorema 9.4!
>
> Saudações,
> Sourav e Giorgio
> published version in RSL.pdf
> <https://drive.google.com/file/d/0B6AE1HSLVfELbWs5aXJGaWVuV2Z5UEZHUmZxLWxqMVVOUGVj/view?usp=drivesdk>
>
>
> Le lun. 16 déc. 2019 16:45, Marcelo Esteban Coniglio <conig...@unicamp.br>
> a écrit :
>
>> Caros Sourav e Giorgio,
>>
>> Com relação à sua mensagem, agradecemos pelo interesse em nosso artigo,
>> mas gostaríamos de esclarecer alguns enganos de vossa parte na apreciação
>> dos resultados.
>>
>> (1) Vocês afirmam "Em primeiro lugar, a validade nas estruturas Twisted,
>> que são as novas estruturas introduzidas no artigo, é booleana e, portanto,
>> o primeiro resultado principal Teorema 8.21 (como todos os lemas
>> precedentes) é uma consequência direta (e não uma extensão) do resultado
>> bem conhecido de que as estruturas a valores booleanos validam todos os
>> axiomas ZFC (veja o livro do Bell "Set Theory") [...] o que leva ao fato de
>> que as álgebras booleanas twisted [...] não são nada além de álgebras
>> booleanas. Portanto, as estruturas twisted não oferecem novos modelos para
>> ZFC."
>>
>> Há aqui um engano. As estruturas twist para a lógica 3-valorada LPT0, a
>> partir das quais construímos os modelos de ZFC, formam uma variedade de
>> álgebras que é termwise equivalente à variedade MV3 de MV-álgebras que são
>> a classe de modelos de L3, a lógica 3-valorada de Lukasiewicz. Isto é
>> consequência do fato de que LPT0 coincide (a menos de linguagem) com a
>> lógica J3 de da Costa e D'Ottaviano, a qual é por sua vez equivalente (no
>> sentido introduzido por Blok e Pigozzi em "Abstract algebraic logic and the
>> deduction metatheorem") com L3. Logo, do ponto de vista algébrico, os
>> twist-valued models que nós introduzimos para a teoria de conjuntos vão
>> além dos Boolean-valued models: as MV álgebras de MV3 não são Boolean
>> algebras em geral. Checar a satisfação dos axiomas de ZFC nessas estruturas
>> requer uma análise minuciosa da longa demonstração apresentada no referido
>> livro de Bell, adaptando em certos pontos alguns detalhes técnicos para o
>> contexto mais geral das twist-structures. As estruturas twist para LPT0
>> contém álgebras de Boole como subestruturas (por exemplo, o conjunto dos
>> pares da forma (a,~a)), mas há mais coisas nesses modelos: a segunda
>> coordenada dos pares nao é necessariamente o complemento booleano da
>> primeira, há uma negação paraconsistente, e há conjuntos "inconsistentes" x
>> tais que (x=x) e não (x=x) é o caso, onde obviamente "não" é a negação
>> paraconsistente. Assim, os Boolean-valued models foram levados para um
>> contexto mais geral.
>>
>> Se a proximidade dos twist-valued models com os Boolean-valued models no
>> fragmento sem negação paraconsistente (o ZF "puro") é visto como uma
>> limitação, essa limitação já aparece no (único) modelo de ZF "puro"
>> apresentado no artigo de Lowe e Tarafder, PS3. Com efeito, o raciocínio que
>> vocês apresentam para as estruturas twist para LPT0 no início da sua
>> mensagem pode ser aplicado mutatis mutandis às estruturas twist para PS3,
>> também apresentadas no nosso paper: aqueles items (i) a (iii) valem também
>> para as estruturas twist para PL3. Logo, a classe de modelos de ZF baseados
>> nessas estruturas (em particular PS3!) seriam Boolean-valued models de ZF,
>> segundo seu raciocínio. Mas já esclarecemos acima que esse não é bem o caso.
>>
>> Justamente um ponto interessante do nosso artigo é que apresentamos uma
>> abordagem diferente daquela apresentada por Lowe e Tarafder, abstraindo a
>> estrutura de PS3 para estruturas twist em lugar de analisar as propriedades
>> das implicações (como é feito naquele artigo, que de todas maneiras explora
>> muito bem diferentes implicações para definir novos modelos algébricos de
>> fragmentos de ZF), o que permitiu obter uma classe de modelos de ZF, um
>> modelo para cada álgebra de Boole completa. Analisar as coisas desde essa
>> perspectiva permitiu provar que PS3 é *também* modelo do axioma da escolha,
>> adaptando a prova para LPT0 dada no paper (adaptada, por sua vez, da prova
>> de Bell, como foi mencionado antes). Os detalhes não foram dados no artigo
>> porque é realmente uma adaptação imediata do caso de LPT0. Isto nos leva à
>> segunda questão:
>>
>> (2) Vocês mencionam no final da mensagem que "O segundo resultado
>> principal do artigo [...] afirma que a estrutura twisted para PS_3 [...] é
>> um modelo de todos os axiomas de ZFC. Embora não haja provas desta
>> afirmação no artigo, é fácil mostrar que isto é falso. De fato, há
>> instâncias (do esquema) de separação que não são válidas no modelo a
>> valores na álgebra PS_3."
>>
>> Esta frase é curiosa, dado que Lowe e Tarafder mostram no Corollary 11
>> que PS3 é modelo de ZF. Em particular, o esquema de Separação é satisfeito
>> por PS3 (é uma consequência dos Theorems 4 e 9). Evidentemente houve aqui
>> também um engano. O que é mostrado nesse artigo, na seção "Comparison to
>> other paraconsistent set theories" (Theorem 15), é que PS3 não satisfaz
>> algumas instâncias do esquema de *Compreensão* da teoria ingênua de
>> conjuntos, que no entanto é satisfeito por algumas teorias paraconsistentes
>> de conjuntos apresentadas na literatura.
>>
>> Finalmente, consideramos que é muito bom que a área de teoria
>> paraconsistente de conjuntos tenha novas propostas, saindo da tradicional
>> abordagem da teoria ingênua de conjuntos e tentando, no seu lugar, analisar
>> (extensões de) ZF/ZFC. Alguns anos atrás nós propusemos uma variante
>> paraconsistente de ZF, baseada em lógicas da inconsistência formal (LFIs),
>> no artigo "Paraconsistent set theory by predicating on consistency"
>> publicado em 2013 no Journal of Logic and Computation. Ali nos baseamos em
>> LFIs muito fracas, não algebrizáveis, e apresentamos uma versão axiomática,
>> sem modelos. O passo seguinte era utilizar lógicas mais fortes, e J3 era a
>> opção mais óbvia. Assim, motivados pelo belo artigo de Lowe e Tarafder,
>> decidimos retomar a questão, introduzindo os twist-valued models. Achamos
>> que esta semântica pode oferecer uma perspectiva interessante para diversas
>> teorias paraconsistentes de conjuntos.
>>
>> Um abraço
>>
>> Walter e Marcelo
>>
>> Em dom., 15 de dez. de 2019 às 13:04, Giorgio Venturi <
>> gio.vent...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Caros membros da lista de lógica,
>>>
>>> Escrevemos a respeito do artigo recentemente (5 de dezembro) publicado
>>> nesta lista: "Twist-Valued Models for Three-Valued Paraconsistent Set
>>> Theory", de Carnielli e Coniglio. Em razão do tema, tão próximo ao nosso
>>> trabalho, sentimos a necessidade de apontar alguns aspectos importantes,
>>> para que as afirmações não induzam em erro os pesquisadores que trabalham
>>> nessa área.
>>>
>>> Em primeiro lugar, a validade nas estruturas Twisted, que são as novas
>>> estruturas introduzidas no artigo, é booleana e, portanto, o primeiro
>>> resultado principal Teorema 8.21 (como todos os lemas precedentes) é uma
>>> consequência direta (e não uma extensão) do resultado bem conhecido de que
>>> as estruturas a valores booleanos validam todos os axiomas ZFC (veja o
>>> livro do Bell "Set Theory"). A razão é que
>>>
>>> (i) a validade é definida apenas em função do primeiro componente do
>>> produto (definição 4.7),
>>> (ii) as operações "meet", "join", "arrow", e "~" da Twist-algebra são as
>>> mesmas da álgebra booleana, no primeiro componente,
>>> (iii) o conjunto de valores designados de álgebra booleana twisted é
>>> tomado como {(1,a) : a é qualquer elemento da álgebra}.
>>>
>>> o que leva ao fato de que as álgebras booleanas twisted com as operações
>>> mencionadas em (ii) e o conjunto de valores designados mencionado em (iii)
>>> não são nada além de álgebras booleanas. Portanto, as estruturas twisted
>>> não oferecem novos modelos para ZFC.
>>>
>>> O segundo resultado principal do artigo Theorem 9.4 e Remark 9.5 afirma
>>> que a estrutura twisted para PS_3 (introduzida como reasonable implication
>>> algebra, necessária para produzir modelos de teoria de conjuntos no artigo
>>> "Generalized algebra-valued models of set theory", de Loewe e Tarafder) é
>>> um modelo de todos os axiomas de ZFC. Embora não haja provas desta
>>> afirmação no artigo, é fácil mostrar que isto é falso. De fato, há
>>> instâncias (do esquema) de separação que não são válidas no modelo a
>>> valores na álgebra PS_3.
>>>
>>> Atenciosamente,
>>> Sourav Tarafder
>>> Giorgio Venturi
>>>
>>> Il giorno gio 5 dic 2019 alle ore 19:54 Joao Marcos <botoc...@gmail.com>
>>> ha scritto:
>>>
>>>> Coincidentemente (?), o Sourav Tarafder fez uma excelente exposição do
>>>> trabalho precursor dele sobre o tema, esta tarde, na USP:
>>>>
>>>> 1st Workshop "Studies in Mathematical Workshop"
>>>> https://sites.google.com/site/studiesinmathematicallogic/programa
>>>>
>>>> Vocês têm sorte de poder dialogar diretamente com ele sobre o assunto,
>>>> dado que ele é atualmente Professor Visitante aí mesmo na UNICAMP,
>>>> trabalhando com o Giorgio Venturi!
>>>>
>>>> Abraços,
>>>> JM
>>>>
>>>>
>>>> On Thu, Dec 5, 2019, 12:36 Walter Carnielli <walter.carnie...@gmail.com>
>>>> wrote:
>>>>
>>>>> Caros colegas:
>>>>>
>>>>> Em vista do interesse do assunto, julgamos apropriado divulgar,
>>>>> abraços,
>>>>> Walter
>>>>> =========================
>>>>> Twist-Valued Models for Three-valued Paraconsistent Set Theory
>>>>> W. Carnielli and M. E. Coniglio
>>>>> https://arxiv.org/pdf/1911.11833.pdf
>>>>>
>>>>> Light abstract:
>>>>>
>>>>> Paraconsistent set theory (PST) is the theoretical move to maintain
>>>>> the freedom of defining sets, while stripping the theory of
>>>>> unnecessary principles, so as to avoid triviality -- a disastrous
>>>>> consequences of contradictions involving sets in ZF. A hard problem
>>>>> is to find good models for PST.
>>>>>
>>>>> B. Löwe and S. Tarafder proposed in 2015 a class of algebras based on
>>>>> a certain kind of implication which satisfy several axioms of ZF. From
>>>>> this class, they found a specific 3-valued model called PS3 which
>>>>> satisfies all the axioms of ZF, and can be expanded with a
>>>>> paraconsistent negation *, thus obtaining a paraconsistent model of
>>>>> ZF. The logic (PS3 ,*) coincides (up to the language) with da Costa
>>>>> and D'Ottaviano logic J3, a 3-valued paraconsistent logic that have
>>>>> been proposed independently in the literature by several authors and
>>>>> with different motivations such as CluNs, LFI1 and MPT.
>>>>>
>>>>> We propose in this paper a family of algebraic models of ZFC based on
>>>>> LPT0, another linguistic variant of J3 introduced by us in 2016. The
>>>>> semantics of LPT0, as well as of its first-order version QLPT0, is
>>>>> given by twist structures defined over Boolean algebras.
>>>>>
>>>>> Twist-valued models are natural generalizations of the Boolean-valued
>>>>> models of set theory independently introduced by Scott, Solovay and
>>>>> Vopěnka.
>>>>>
>>>>> Our twist-valued models are adapted to provide a class of twist-valued
>>>>> models for (PS3,*), thus generalizing Löwe and Tarafder's results. It
>>>>> is
>>>>> shown that they are in fact models of ZFC (not only of ZF).
>>>>> ====================================
>>>>>
>>>>> Walter Carnielli
>>>>> https://waltercarnielli.com/
>>>>>
>>>>> Centre for Logic, Epistemology and the History of Science and
>>>>> Department of Philosophy
>>>>> State University of Campinas –UNICAMP
>>>>> 13083-859 Campinas -SP, Brazil
>>>>>
>>>>> CV Lattes : http://lattes.cnpq.br/1055555496835379
>>>>>
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