Caros colegas
H� alguns dias enviei um probleminha que tinha elaborado h� um tempo.
Como n�o consegui uma boa id�ia para resolv�-lo, ou melhor, n�o consegui
resolv�-lo, decidi envi�-lo para a lista. Mesmo sendo uma quest�o sem
atrativos, continuei trabalhando nela, quando o tempo me permitia e esperei
alguma solu��o ou sugest�o, que n�o apareceu, n�o sei se � porque o problema
� realmente dif�cil ou se � muito idiota, a ponto de se recusarem a
respond�-lo. Mando novamente o problema e uma observa��o que fiz enquanto
tentava solucion�-lo. Se algum dos colegas conseguirem solucion�-lo ou
tiverem alguma sugest�o, por favor, respondam.
Dado o conjunto A de todas as pot�ncias inteiras de 2, escolhe-se um
elemento ao acaso, cuja soma dos algarismos vale x. Diga, com prova, o
n�mero m�ximo de elementos de A que podem ser escolhidos tais que a soma dos
algarismos de cada um deles tamb�m seja igual a x.
OBSERVA��O FEITA(n�o sei se � a melhor):
Podemos escolher 2 n�meros a e b de A, com a<b, com a seguinte
propriedade: Se a soma dos algarismos de cada um dos n�meros a e b � x,
ent�o b=64a. Notar que a soma dos algarismos de c=64b � maior do que x. Se
construirmos uma demonstra��o formal para isso, parte da solu��o est�
encaminhada, faltando apenas demonstrar que n�o existe um outro elemento de
A, al�m de a e b, cuja soma dos algarismos tamb�m seja x. Desta forma,
concluitremos que o n�mero m�ximo de elementos de A que tenham soma dos
algarismos iguais a x � 2.
Mais uma vez digo que n�o sei se esta � a melhor sa�da. Quem me ajuda a
dar uma demonstra��o formal � minha observa��o ou tem uma sa�da melhor?
Conto com voc�s.
Um abra�o
Alexandre S. Gomes.
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