Oi, Alexandre.
Este problema � *muito* complicado. Eu concordo que se a soma dos
algarismos de A=2^a � a mesma de B=2^b, com A>B ent�o 6 | (a-b). Mas �
s� isso que eu vejo. Pode ser que a=b+6, pode ser a=b+12... Apesar de eu
achar "prov�vel" que a=b+6 (e portanto A=4096B), vejamos (bendito
Excel!):
Diferen�a de pot�ncias 12:
2^32= 4294967296 (soma 58 - m�dia dos d�gitos 5.80)
2^44=17592186044416 (soma 58 - m�dia dos d�gitos 4.14)
Pior, chega a 24 com:
2^46= 70368744177664 (soma 70 - m�dia digital 5.00)
2^58= 288230376151711744 (soma 70 - m�dia digital 3.89)
2^70=1180591620717411303424 (soma 70 - m�dia digital 3.18)
e at� mesmo a hip�tese de que sejam no m�ximo 2 n�meros falha.
Usando *s�* as 120 primeiras pot�ncias, eu achei tamb�m:
2^67 = 147573952589676412928 (soma 110 - m�dia 5.24)
2^73 = 9444732965739290427392 (soma 110)
2^79 = 604462909807314587353088 (soma 110)
2^103 = 10141204801825835211973625643008 (soma 110 - m�dia 3.44)
(diferen�a em pot�ncias 36 da primeira a �ltima! S�o ONZE algarismos a
mais)
e algumas outras triplas, com soma de algarismos 107, 112, 118, 125.
Calcule mais pot�ncias e eu aposto que algumas dessas triplas viram
quadras (como a do 110), e n�o duvido nada que mais algu�m d� 110... etc
etc etc
Eu apostaria que, dado n positivo qualquer, *existem* n pot�ncias de 2
com a mesma soma de algarismos... Mas isso deve ser *MUUUUUUITO* dif�cil
de provar. At� n=4 est� feito acima... :)
Como exerc�cio, de novo, adivinhe como eu fiz as contas acima em
Excel... :)
Abra�os,
Ralph
Alexandre Gomes wrote:
>
> Caros colegas
> H� alguns dias enviei um probleminha que tinha elaborado h� um tempo.
> Como n�o consegui uma boa id�ia para resolv�-lo, ou melhor, n�o consegui
> resolv�-lo, decidi envi�-lo para a lista. Mesmo sendo uma quest�o sem
> atrativos, continuei trabalhando nela, quando o tempo me permitia e esperei
> alguma solu��o ou sugest�o, que n�o apareceu, n�o sei se � porque o problema
> � realmente dif�cil ou se � muito idiota, a ponto de se recusarem a
> respond�-lo. Mando novamente o problema e uma observa��o que fiz enquanto
> tentava solucion�-lo. Se algum dos colegas conseguirem solucion�-lo ou
> tiverem alguma sugest�o, por favor, respondam.
> Dado o conjunto A de todas as pot�ncias inteiras de 2, escolhe-se um
> elemento ao acaso, cuja soma dos algarismos vale x. Diga, com prova, o
> n�mero m�ximo de elementos de A que podem ser escolhidos tais que a soma dos
> algarismos de cada um deles tamb�m seja igual a x.
> OBSERVA��O FEITA(n�o sei se � a melhor):
> Podemos escolher 2 n�meros a e b de A, com a<b, com a seguinte
> propriedade: Se a soma dos algarismos de cada um dos n�meros a e b � x,
> ent�o b=64a. Notar que a soma dos algarismos de c=64b � maior do que x. Se
> construirmos uma demonstra��o formal para isso, parte da solu��o est�
> encaminhada, faltando apenas demonstrar que n�o existe um outro elemento de
> A, al�m de a e b, cuja soma dos algarismos tamb�m seja x. Desta forma,
> concluitremos que o n�mero m�ximo de elementos de A que tenham soma dos
> algarismos iguais a x � 2.
> Mais uma vez digo que n�o sei se esta � a melhor sa�da. Quem me ajuda a
> dar uma demonstra��o formal � minha observa��o ou tem uma sa�da melhor?
> Conto com voc�s.
> Um abra�o
> Alexandre S. Gomes.
