Pergunta intrigante

[Alexandre F. Terezan]

H� pouco tempo um aluno me perguntou sobre uma questao do IME 2001, que pedia para demonstrar que (x + y + z)/3 >= 3r(xyz), x>0, y>0, z>0 onde 3r est� representando "raiz c�bica de" e >= o sinal de "maior ou igual a"       N�s j� hav�amos trabalhado por alto a desigualdade das m�dias, da� ele me fez a pergunta que eu nao soube responder:       "Ora, sabemos que a m�dia aritm�tica de n termos � maior ou igual � m�dia geom�trica destes termos. Como vale para n, vale para 3. Resolvido o problema?"       Minha opiniao PARTICULAR � q nao...       � �bvio que eu nao defendo a teoria de que pra usar "Pit�goras" em uma prova temos de antes demonstr�-lo...       Mas tamb�m acho que deve haver bom senso na resolucao de uma prova. O que voc�s da lista t�m a dizer?       Eu resolveria a questao da seguinte maneira:   Seja nr(x) a raiz de �ndice n do n�mero x.   1) Primeiro provemos que (x+y)/2 >= 2r(xy)  -->  (x+y) >= 2* 2r(xy) -->  (x+y)^2 >= 4xy -->   (x-y)^2 >= 0, que � sempre verdadeiro.   Assim, analogamente (z+w)/2 >= 2r(zw)     e   (c+d)/2 >= 2r(cd)   Seja (x+y+z+w)/4 = a.   a = [(x+y)/2 + (z+w)/2]/2  >=  [2r(xy) + 2r(zw)]/2   Se c = 2r(xy) e  d = 2r(zw), vem:   a >= (c+d)/2 >= 2r(cd) = 2r[2r(xy) * 2r(zw)] = 4r(xyzw)   Fazendo w = (x+y+z)/3, vem:   a = [x+y+z + (x+y+z)/3 ]/4 = (x + y + z)/3 = w   Como a >= 4r(xyzw), entao:   w >= 4r(xyzw)   -->   w^4 >= xyzw  -->  w^3 >= xyz   Ou:   (x+y+z)/3 >= 3r(xyz),   c.q.d.