Para n=3, existe um modo f�cil de ver a desigualdade. Basta ver que (x + y + z)(x^2+ y^2+ z^2 - xy- yz- zx)>= 0 Provando a m�dia para dois n�meros, a segunda express�o em par�nteses � >= 0, cqd
-- Mensagem original -- > H� pouco tempo um aluno me perguntou sobre uma questao do IME 2001, que >pedia para demonstrar que (x + y + z)/3 >= 3r(xyz), x>0, y>0, z>0 onde 3r >est� representando "raiz c�bica de" e >= o sinal de "maior ou igual a" > > N�s j� hav�amos trabalhado por alto a desigualdade das m�dias, da� ele >me fez a pergunta que eu nao soube responder: > > "Ora, sabemos que a m�dia aritm�tica de n termos � maior ou igual � m�dia >geom�trica destes termos. Como vale para n, vale para 3. Resolvido o problema?" > > Minha opiniao PARTICULAR � q nao... > > � �bvio que eu nao defendo a teoria de que pra usar "Pit�goras" em uma >prova temos de antes demonstr�-lo... > > Mas tamb�m acho que deve haver bom senso na resolucao de uma prova. O >que voc�s da lista t�m a dizer? > > Eu resolveria a questao da seguinte maneira: > >Seja nr(x) a raiz de �ndice n do n�mero x. > >1) Primeiro provemos que (x+y)/2 >= 2r(xy) --> (x+y) >= 2* 2r(xy) --> >(x+y)^2 >= 4xy --> > >(x-y)^2 >= 0, que � sempre verdadeiro. > >Assim, analogamente (z+w)/2 >= 2r(zw) e (c+d)/2 >= 2r(cd) > >Seja (x+y+z+w)/4 = a. > >a = [(x+y)/2 + (z+w)/2]/2 >= [2r(xy) + 2r(zw)]/2 > >Se c = 2r(xy) e d = 2r(zw), vem: > >a >= (c+d)/2 >= 2r(cd) = 2r[2r(xy) * 2r(zw)] = 4r(xyzw) > >Fazendo w = (x+y+z)/3, vem: > >a = [x+y+z + (x+y+z)/3 ]/4 = (x + y + z)/3 = w > >Como a >= 4r(xyzw), entao: > >w >= 4r(xyzw) --> w^4 >= xyzw --> w^3 >= xyz > >Ou: > >(x+y+z)/3 >= 3r(xyz), c.q.d. > > > > > []'s, Yuri ICQ: 64992515 ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
