Voce conhece a desigualdade do rearranjo*? Eh uma das mais legais que eu ja vi. Alem de super util, ela tem um apelo intuitivo bem razoavel... E eh baseado nela que eu vou dar aqui a minha atual demonstracao favorita da desigualdade das medias.. Ainda nao vi isso escrito, portanto ha chances de eu estar me enganando em algo.. Gostaria que o pessoal desse uma lida a cata de erros! Vou provar aqui o caso n=3. Para o caso geral vc repete a mesma ideia, aumentando o numero de variaveis apenas.. Suponha, s.p.g (pois a desigualdade eh simetrica) que x>y>z (vou omitir o sinal de igual por preguica). Entao, x^(1/3) > y^(1/3) > z^(1/3). Pela desigualdade do rearranjo (do lado esq. vc tem 3 sequencias nao-crescentes, enquanto que no lado direito esse nao eh necessariamente o caso).:
[x^(1/3) y^(1/3) z^(1/3)] [x^(1/3) y^(1/3) z^(1/3)] [x^(1/3) y^(1/3) z^(1/3)] >= [y^(1/3) z^(1/3) x^(1/3)] [x^(1/3) y^(1/3) z^(1/3)] [z^(1/3) x^(1/3) y^(1/3)] ou seja, x+y+z > 3(xyz)^(1/3). A igualdade vale se as tres sequencias do lado direito forem nao crescentes, i.e, se x=y=z. A notacao matricial acima tenta imitar um produto escalar (como no livro do Engel, pra quem conhece), no sentido que [a1 a2 a3] [b1 b2 b3] = a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3 [c1 c2 c3] *A desigualdade do rearranjo (generalizada ?) diz que se (a_n), (b_n), (c_n) (podem ser mais sequencias) sao permutacoes das sequencias de reais positivos (x_n), (y_n), (z_n) entao dentre as somas do tipo: S = Soma_em_i:(a_i*b_i*c_i) a de valor maximo ocorre quando as sequencias (a_n), (b_n), (c_n) estao ordenadas igual (i.e, todas as tres monotonas crescentes ou todas decrescentes). O resultado pode ser estendido para um numero arbitrario de sequencias. O sentido intuitivo disso geralmente eh comentado com o nome de "algoritmo ganancioso". Por exemplo, suponha que vc tenha 3 caixas, com varias notas de 5, 10, 100 reais. Voce deve pegar um pacote de 3 notas de uma caixa, 4 da outra e 5 de outra. Feito isso, vc encontra tres maquinas multiplicadoras de dinheiro (horrivel essa neh? eh q essa eu tive de inventar :)). Cada uma soh pode ser usada com um pacote. A primeira multiplica qq quantia por 2, a 2a por 5 e a 3a por 10. Pergunta: Como vc deve fazer pra ganhar o maximo de dinheiro com essa brincadeira? Sem pensar mto, vc provavelmente pegaria um pacote de 5 notas de 100 e o colocaria na maquina que multiplica por 10.. Depois vc pegava um pacote de 4 de 10 e o colocaria na multiplicadora por 5.. Viu? Isso eh exatamente a desigualdade do rearranjo pra tres sequencias (cada uma com tres numeros). Fica aqui uma pergunta pro pessoal da lista: Embora eu ja tenha visto referencias a essa versao generalizada da desigualdade do rearranjo (com mais de duas sequencias), eu nao estou conseguindo formalizar uma prova pra isso.. Alguem pode me dar ideias? Abracos, Marcio ----- Original Message ----- From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, February 11, 2002 11:16 AM > Sejam x, y, z reais positivos. Prove: > > (x+y+z)/3 >= 3rd root de (xyz) > > Depois generalize para n reais. > O caso para n=2 eh o mais simples. > Como provar sem se basear neste caso? > Alguem usaria o Polinomio de Leibniz ? > > Abracos, > Asselin. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================