Ola Gabriel e demais colegas desta lista, Eu estou bastante ocupado, mas vou tentar responder sucintamente a sua mensagem.
Considere a equacao : sen(X)=0. Quais sao as raizes dela ? Tenho certeza que voce sabe que sao 0, pi, 2*pi, 3*pi, ..., k*pi (k inteiro). Existem, pois, infinitas raizes. Por outro lado, voce tambem sabe que ( para todo X ) : sen(X)= X - (X^3)/3! + (X^5)/5! - (X^7)/7! + ... Podemos, assim, considerar o POLINOMIO INFINITO P(X) = X - (X^3)/3! + (X^5)/5! - (X^7)/7! + ... e ( audaciosamente ? ) dizer que SUAS RAIZES sao 0, pi, 2*pi, 3*pi, ..., k*pi ( k inteiro ), isto e, supor que a equacao : 0 = X - (X^3)/3! + (X^5)/5! - (X^7)/7! + ... tem para raizes 0, pi, 2*pi, 3*pi, ..., k*pi ( k inteiro ). "Colocando o X em evidencia" ficara : 0 = X*( 1 - (X^2)/3! + (X^4)/5! - (X^6)/7! + ... ) E portanto a equacao 0 = 1 - (X^2)/3! + (X^4)/5! - (X^6)/7! + ... tem para raizes pi, 2*pi, 3*pi, ..., k*pi, POIS A FATORACAO ACIMA RETIROU A RAIZ ZERO ! Agora, fazendo X^2=W, ficara : 0 = 1 - (W)/3! + (W^2)/5! - (W^3)/7! + ... E COM ESTA OPERACAO RETIRAMOS AS RAIZES NEGATIVAS -pi, -2*pi, ... Agora ficou bom ! Podemos dizer que o polinomio 0 = 1 - (W)/3! + (W^2)/5! - (W^3)/7! + ... Tem para raizes pi, 2*pi, 3*pi, ...,k*pi ( K INTEIRO POSITIVO ). Aplicando, agora, a este polinomio as relacoes de Girard ( Relacoes entre coeficientes e raizes que voce aprendeu no 2 grau ) epercebendo que o coeficiente lider e um, podemos dizer que a soma dos inversos do quadrados das raizes e : 1/pi^2 + (1/(2pi)^2) + (1/(3*pi)^2) + ... = 1/3! Ou seja : 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... + 1/(N^2) + ... = (pi)^2/6 tal COMO QUERIAMOS DEMONSTRAR. Veja que este resultado e bom e a tecnica de identificar um polinomio infinito com uma equacao, permite fazer belas inferencias que, de ordinario, seriam bastante trabalhosas ( usando series de Fourier, por exemplo ). Voce esta, agora, convidado ( usando a mesma tecnica ) a calcular : 1 + 1/16 + 1/81 + ... + 1/n^4 + ... Uma ultima observacao : Em verdade, o caso acima e um evento particular de um fenomeno mais geral ... Para que voce possa ver isso, seja A1, A2, A3, ... An, ... Uma progressao aritmetica de razao nao-nula ( suponha, para facilitar, que ela e crescente e de termos positivos ). Usando o Teorema de Leibniz que voce estudou em Analise, mostre que : 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... sempre converge. Seja A o valor da convergencia. Mostre agora que existe um natural P, tal que (1/P!)*A e necessariamente o valor da serie derivada 1/C1^2 + 1/C2^2 + ... No caso particular que o Euler achou pi = 1 - 1/3 + 1/5 + ... e a serie de 1/Ai's. Este fato pode ser interpretado como a generalizacao do TEOREMA DAS COLUNAS do TRIANGULO DE PASCAL quando estendemos este triangulo para englobar o triangulo harmonico de Leibniz : 1 1/2 1/2 1/3 1/6 1/3 1/4 1/12 1/12 1/4 1/5 1/20 1/30 1/20 1/5 1/6 1/30 1/60 1/60 1/30 1/6 ... Neste triangulo, a diferenca entre cada termo e o debaixo e o que fica embaixo, imediatamente a direita. As colunas vem LA DE BAIXO, do infinito, e somam o numero imediatamente acima e a esquerda. Observe que se voce multiplicar uma linha do triangulo de pascal pelos correspondentes elementos do triangulo de leibniz e somar tudo, sempre obtera o valor um. Os Russos gostam muito deste triangulo. Um abraco Paulo Santa Rita 5,1733,040402 1 >From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2) >Date: Thu, 4 Apr 2002 12:25:00 -0300 > > >�rdua tarefa.. > >-- Mensagem original -- > > >O Paulo Santa Rita j� respondeu isso. Procure nos arquivos. > > > >[EMAIL PROTECTED] wrote: > > > >>sabemos que sum(1/k^2), k=1 at� infinito = pi^2/6 > >> > >>algu�m sabe me dizer pq ??? > >> > >>agrade�o desde j� > >> > >>Gabriel Haeser > >>www.gabas.cjb.net > >> > >> > >> > >>"Mathematicus nascitur, non fit" > >>Matem�ticos n�o s�o feitos, eles nascem > >> > >> > >>------------------------------------------ > >>Use o melhor sistema de busca da Internet > >>Radar UOL - http://www.radaruol.com.br > >> > >> > >> > >>========================================================================= > >>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >>O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> > >>========================================================================= > >> > >> > > > > > >========================================================================= > >Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> > >========================================================================= > > > >"Mathematicus nascitur, non fit" >Matem�ticos n�o s�o feitos, eles nascem > > >------------------------------------------ >Use o melhor sistema de busca da Internet >Radar UOL - http://www.radaruol.com.br > > > >========================================================================= >Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> >========================================================================= _________________________________________________________________ Associe-se ao maior servi�o de e-mail do mundo atrav�s do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/br ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
