Pessoal, ontem mandei uma d�vida sobre contar o total
de tri�ngulos de todos os tamanhos de uma figura como
a que enviei abaixo novamente. Pensei muito sobre esse
problema e cheguei a uma f�rmula n�o muito amig�vel,
mas at� que n�o � ruim. J� d� at� pra escrever um
algoritmo pra rodar no computador se quiser.
Primeiro, eu chamei de x o n�mero de lados de
tri�ngulos que temos na base. Por exemplo, se tivermos
um tri�ngulo s� x = 1.
/_\
Se tivermos uma figura com quatro tri�ngulos de menor
tamanho, temos:
/_\
/_\ /_\
x = 2
Na figura que mandei, temos x = 4.
Com isso, j� que voc� tem tri�ngulos de diferentes
tamanhos, voc� deve contar separadamente os tri�ngulos
que t�m como lado 1 tra�o, 2 tra�os, 3 tra�os...E
depois tem que contar os tri�ngulos que est�o de
cabe�a pra baixo com esses mesmos tamanhos.
Se voc� fizer isso em fun��o dos tra�os da base n�o
fica muito ruim. Todas as linhas vou escrever a soma
de v�rias parcelas de x menos alguma coisa. Quando
voc� for calcular para algum x, voc� vai fazer as
subtra��es at� encontrar o valor zero, a� voc� para.
Por exemplo, na primeira linha temos:
x + (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ...
Se voc� tiver x = 2, voc� ir� somar at� x + (x - 1),
porque o pr�ximo dar� zero e a� voc� deve parar.
Bom, no final voc� encontra isso:
tri�ngulos de lado 1:
cabe�a pra cima = x + (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) +
...
cabe�a pra baixo = (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ...
total = x + 2.[(x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ...]
� como se o tri�ngulo maior de todos fosse dividido em
v�rias linhas, a� voc� vai contando de cada linha.
tri�ngulos de lado 2:
cabe�a pra cima = (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + (x -
4) + ...
cabe�a pra baixo = (x - 3) + (x - 4) + (x - 5) + ...
total = (x - 1) + (x - 2) + 2.[(x - 3) + (x - 4) +
...]
Por que aqui come�amos a ter de cabe�a pra baixo s�
com (x - 3)? Porque para termos um tri�ngulo de cabe�a
pra baixo, o tri�ngulo maior tem que ter o dobro de
tra�os na base do que o tamanho do tri�ngulo. Como
esse tem lado 2, precisamos ter x = 4, que se fizermos
(x - 3) dar� 1. Enquanto x for menor que 4 esse n�mero
ser� negativo ou zero e a� n�o vamos contar.
tri�ngulos de lado 3:
cabe�a pra cima = (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + (x -
5) + ...
cabe�a pra baixo = (x - 5) + (x - 6) + (x - 7) + ...
total = (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + 2.[(x - 5) +
...]
E assim teremos sempre esse padr�o. Os tri�ngulos de
cabe�a pra cima come�am sempre com (x - a), onde "a" �
o n�mero anterior ao tamanho do tri�ngulo. E os
tri�ngulos de cabe�a pra baixo come�am sempre com x -
(2a - 1). Depois os outros termos voc� vai tirando
sempre 1.
No final das contas voc� pode somar tudo isso. Soma os
tri�ngulo de cabe�a pra cima com os de cabe�a pra
baixo de todos os tamanhos. O problema � que n�o pode
desenvolver muita coisa, porque n�o pode misturar x -
3 com x - 4, porque se voc� tiver x = 4, voc� n�o ter�
o termo x - 4. Mas somando apenas x - 1 com x - 1 e x
- 2 com x -2, voc� ter�:
total = x + 3.(x - 1) + 4.(x - 2) + 6.(x - 3) + 7.(x -
4) + 9.(x - 5) + 10.(x - 6) + 12.(x - 7) + 13.(x - 8)
+ ...
No final voc� tem ent�o todos os fatores x, x - 1, x -
2, x - 3, ... e os coeficientes de cada um t�m uma
ordem at� boazinha:
1, (pula o 2), 3, 4, (pula o 5), 6, 7, (pula o 8), 9,
10, (pula o 11), 12, 13, (pula o 14), ...
E voc� vai usar a f�rmula at� o termo em que quando
fizer a diferen�a de x com alguma coisa d� zero. Ou
voc� pode at� fazer a seguinte regra: considere que
desse valor total voc� vai pegar apenas os x primeiros
termos.
Por exemplo, vamos pegar o tri�ngulo da figura que tem
4 tra�os na base, ou seja x = 4. Ent�o vamos pegar at�
o quarto termo dessa f�rmula e fazer x = 4:
total = x + 3.(x - 1) + 4.(x - 2) + 6.(x - 3)
total = 4 + 3.(4 - 1) + 4.(4 - 2) + 6.(4 - 3)
total = 4 + 3.3 + 4.2 + 6.1
total = 4 + 9 + 8 + 6
total = 27
E a� voc� pode fazer pra qualquer x. Aquele menor que
tinha x = 2, s� pegamos os 2 primeiros termos:
total = x + 3.(x - 1)
total = 2 + 3.(2 - 1)
total = 2 + 3.1
total = 2 + 3
total = 5
De qualquer jeito voc� n�o precisa ficar contando um
por um e correr o risco de se perder mais facilmente.
Mas o meu problema agora � o seguinte. Suspeito que
ainda d� para simplificar a f�rmula, considerando duas
f�rmulas, uma para quando x � par e outra para quando
x � �mpar. Talvez simplifique, mas a� voc� tem duas
f�rmulas, n�o sei. Ainda n�o consegui.
Ser� que algu�m consegue melhorar daqui pra frente. O
pior acho que j� passou.
Um abra�o,
Rafael.
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Rafael Werneck Cinoto
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