Olah Rafael,
Nao sei se entendi; vc quer uma formula geral para calcular o numero de triangulos iguais que um triangulo semelhante a estes suporta em funcao do numero de lados dos pequenos que cabem num grande? Se for isso, eu pensei assim: Podemos perceber que o numero de triangulos de uma carreira decresce a cada carreira que se conta. E podemos perceber que para cada carreira tem uma outra de numero de triangulos iguais, soh que de cabeca pra baixo, menos a carreira da base. Com base nesses dados, podemos esbocar uma formula: sendo N o numero de triangulos, e L o numero de lados; N = L + 2(L-1) + 2(L-2) + 2(L-3) + ... + 2(L-(L-1)) Como podemos perceber, temos L termos, levando em conta o L. N = L + 2((L -1)+(L-2)+(L-3)+... ) + 2(L-L+1) N = L + 2 +2((L-1)+(L-2)...) Nos temos L-2 termos dentro dos colchetes (sem levar em conta o L e o 2). Logo: N = L + 2 +2((L-2)L) -2(1+2+3+4...) Aqui temos uma PA de termo inicial 1, razao 1 e termo final L-2 Logo, 1+2+3+4... +L-2 = [(1+L-2)(L-2)]/2 = (L^2 - 3L + 2)/2 Substituindo: N = L + 2 +2((L-2)L) -2(L^2 - 3L +2)/2 N = L+2 +2L^2 - 4L -L^2 +3L - 2 Fazendo a continha, chegamos a incrivel formula: N = L^2 :c) Grande Abraco, Ezer F. da Silva On 18 May 2002 at 18:43, Rafael WC wrote: > Pessoal, ontem mandei uma d�vida sobre contar o total > de tri�ngulos de todos os tamanhos de uma figura como > a que enviei abaixo novamente. Pensei muito sobre esse > problema e cheguei a uma f�rmula n�o muito amig�vel, > mas at� que n�o � ruim. J� d� at� pra escrever um > algoritmo pra rodar no computador se quiser. > > Primeiro, eu chamei de x o n�mero de lados de > tri�ngulos que temos na base. Por exemplo, se tivermos > um tri�ngulo s� x = 1. > /_\ > > Se tivermos uma figura com quatro tri�ngulos de menor > tamanho, temos: > /_\ > /_\ /_\ > > x = 2 > > Na figura que mandei, temos x = 4. > > Com isso, j� que voc� tem tri�ngulos de diferentes > tamanhos, voc� deve contar separadamente os tri�ngulos > que t�m como lado 1 tra�o, 2 tra�os, 3 tra�os...E > depois tem que contar os tri�ngulos que est�o de > cabe�a pra baixo com esses mesmos tamanhos. > > Se voc� fizer isso em fun��o dos tra�os da base n�o > fica muito ruim. Todas as linhas vou escrever a soma > de v�rias parcelas de x menos alguma coisa. Quando > voc� for calcular para algum x, voc� vai fazer as > subtra��es at� encontrar o valor zero, a� voc� para. > Por exemplo, na primeira linha temos: > x + (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ... > > Se voc� tiver x = 2, voc� ir� somar at� x + (x - 1), > porque o pr�ximo dar� zero e a� voc� deve parar. > > Bom, no final voc� encontra isso: > tri�ngulos de lado 1: > cabe�a pra cima = x + (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + > ... > cabe�a pra baixo = (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ... > total = x + 2.[(x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ...] > � como se o tri�ngulo maior de todos fosse dividido em > v�rias linhas, a� voc� vai contando de cada linha. > > tri�ngulos de lado 2: > cabe�a pra cima = (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + (x - > 4) + ... > cabe�a pra baixo = (x - 3) + (x - 4) + (x - 5) + ... > total = (x - 1) + (x - 2) + 2.[(x - 3) + (x - 4) + > ...] > > Por que aqui come�amos a ter de cabe�a pra baixo s� > com (x - 3)? Porque para termos um tri�ngulo de cabe�a > pra baixo, o tri�ngulo maior tem que ter o dobro de > tra�os na base do que o tamanho do tri�ngulo. Como > esse tem lado 2, precisamos ter x = 4, que se fizermos > (x - 3) dar� 1. Enquanto x for menor que 4 esse n�mero > ser� negativo ou zero e a� n�o vamos contar. > > tri�ngulos de lado 3: > cabe�a pra cima = (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + (x - > 5) + ... > cabe�a pra baixo = (x - 5) + (x - 6) + (x - 7) + ... > total = (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + 2.[(x - 5) + > ...] > > E assim teremos sempre esse padr�o. Os tri�ngulos de > cabe�a pra cima come�am sempre com (x - a), onde "a" � > o n�mero anterior ao tamanho do tri�ngulo. E os > tri�ngulos de cabe�a pra baixo come�am sempre com x - > (2a - 1). Depois os outros termos voc� vai tirando > sempre 1. > > No final das contas voc� pode somar tudo isso. Soma os > tri�ngulo de cabe�a pra cima com os de cabe�a pra > baixo de todos os tamanhos. O problema � que n�o pode > desenvolver muita coisa, porque n�o pode misturar x - > 3 com x - 4, porque se voc� tiver x = 4, voc� n�o ter� > o termo x - 4. Mas somando apenas x - 1 com x - 1 e x > - 2 com x -2, voc� ter�: > total = x + 3.(x - 1) + 4.(x - 2) + 6.(x - 3) + 7.(x - > 4) + 9.(x - 5) + 10.(x - 6) + 12.(x - 7) + 13.(x - 8) > + ... > > No final voc� tem ent�o todos os fatores x, x - 1, x - > 2, x - 3, ... e os coeficientes de cada um t�m uma > ordem at� boazinha: > 1, (pula o 2), 3, 4, (pula o 5), 6, 7, (pula o 8), 9, > 10, (pula o 11), 12, 13, (pula o 14), ... > > E voc� vai usar a f�rmula at� o termo em que quando > fizer a diferen�a de x com alguma coisa d� zero. Ou > voc� pode at� fazer a seguinte regra: considere que > desse valor total voc� vai pegar apenas os x primeiros > termos. > > Por exemplo, vamos pegar o tri�ngulo da figura que tem > 4 tra�os na base, ou seja x = 4. Ent�o vamos pegar at� > o quarto termo dessa f�rmula e fazer x = 4: > total = x + 3.(x - 1) + 4.(x - 2) + 6.(x - 3) > total = 4 + 3.(4 - 1) + 4.(4 - 2) + 6.(4 - 3) > total = 4 + 3.3 + 4.2 + 6.1 > total = 4 + 9 + 8 + 6 > total = 27 > > E a� voc� pode fazer pra qualquer x. Aquele menor que > tinha x = 2, s� pegamos os 2 primeiros termos: > total = x + 3.(x - 1) > total = 2 + 3.(2 - 1) > total = 2 + 3.1 > total = 2 + 3 > total = 5 > > De qualquer jeito voc� n�o precisa ficar contando um > por um e correr o risco de se perder mais facilmente. > > Mas o meu problema agora � o seguinte. Suspeito que > ainda d� para simplificar a f�rmula, considerando duas > f�rmulas, uma para quando x � par e outra para quando > x � �mpar. Talvez simplifique, mas a� voc� tem duas > f�rmulas, n�o sei. Ainda n�o consegui. > > Ser� que algu�m consegue melhorar daqui pra frente. O > pior acho que j� passou. > > Um abra�o, > > Rafael. > > ===== > Rafael Werneck Cinoto > ICQ# 107011599 > [EMAIL PROTECTED] > [EMAIL PROTECTED] > [EMAIL PROTECTED] > http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ > > __________________________________________________ > Do You Yahoo!? > LAUNCH - Your Yahoo! Music Experience > http://launch.yahoo.com > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
