A solu��o do Ralph pode ser perfeitamente adaptada
para o problema de haver tr�s ra�zes c�bicas em uma PA
(n�o necessariamente tr�s termos consecutivos).
Vou, inclusive, aproveitar o email dele:
--- Ralph Teixeira <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Problema: Mostre que, se a, b e c s�o primos entre
si (n�o todos cubos perfeitos), ent�o suas ra�zes
c�bicas n�o est�o em P.A.
> Solu��o: Suponha que, de fato, que as raizes
cubicas (vou chama-las de x, y e z repectivamente)
estao em P.A.:
> 2y=x+z
---> Aqui, em vez de 2y = x + z, considere
y = qx + rz, onde q e r s�o racionais (se x, y e z
est�o em PA, ent�o existem esses racionais).
Agora, elevando ao cubo:
y^3=q^3x^3+r^3z^3+3qxrz(ax+bz)=q^3x^3+r^3z^3+3qrxzy
<=> b = q^3*a + r^3*c + 3qrxyz
<=> [(b - q^3*a - r^3*c)/(3qr)]^3=abc
Repetindo o argumento do Ralph:
> Como o lado esquerdo � um "racional ao cubo" e o
lado direito � um inteiro, conclu�mos que ambos s�o um
cubo perfeito. Como a,b e c s�o primos entre si e abc
� cubo perfeito, cada um deles (a,b e c) tem de ser
cubo perfeito, contradizendo o enunciado.
---> Agora, vou tentar (n�o sei se vai dar certo) para
o caso das ra�zes n-�simas: vou usar a mesma nota��o
acima, sendo x^n = a, y^n = b e z^n = c, a, b e c
primos dois a dois, nenhum deles n-�sima pot�ncia
perfeita. Suponha, por absurdo, que existem racionais
q e r tais que
y = qx + rz
<=> 1 = q(x/y) + r(z/y) (*)
Sejam S = q(x/y) + r(z/y) e P = q(x/y)*r(z/y) =
qr(xz/y^2). Veja que x/y e z/y s�o ra�zes n-�simas de
racionais e P tamb�m, pois x, y e z s�o primos dois a
dois. Elevando a n, obtemos um polin�mio em S e P, com
coeficientes racionais. Como sei disso? Sejam t =
q(x/y) e u = r(z/y). Podemos calcular S(k) = t^k +
u^k, k natural, da seguinte forma:
|t^2 = St - P => |t^(m+2) = St^(m+1) - Pt^m
|u^2 = Su - P |u^(m+2) = Su^(m+1) - Pu^m
=> (t^(m+2)+u^(m+2)) = S(t^(m+1)+u^(m+1)) - P(t^m+u^m)
<=> S(m+2) = S*S(m+1) - P*S(m)
Como S(0) = 2 e S(1) = S, indutivamente temos que S(n)
� um polin�mio em S e P, com coeficientes inteiros.
Mas S(n) = [q(x/y)]^n + [r(z/y)]^n = q^n(a/b) +
r^n(c/b) � racional. Logo ao elevarmos os dois lados
de (*) a n obtemos uma equa��o em S e P. Substituindo
S = 1, temos uma equa��o polinomial em P, de grau no
m�ximo n/2 (Veja que se k > n/2, P^k = (tu)^k seria o
produto de k t's e k u's, totalizando 2k > n fatores,
o que n�o � poss�vel pois h� no m�ximo n fatores). Mas
P = qr(xz/y^2) � um n�mero alg�brico de grau n (a, b e
c s�o primos dois a dois), contradi��o.
N�o sei se o que fiz est� certo... Talvez eu esteja
viajando forte, agora s�o 20 para a meia-noite e estou
bem cansado...
[]'s
Shine
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