E ai Marcio, blz? Primeiro vamos lembrar de algumas definicoes. 1) Na elipse, o lugar dos meios das cordas paralelas a uma direcao dada delta eh um segmento de reta D passando pelo centro. Diz-se que D eh o diametro relativo a direcao delta. 2) Na elipse, se D for o diametro relativo a direcao delta, o diametro D* relativo a direcao D sera paralelo a direcao delta. Diz-se que D e D* sao dois diametros conjugados.
Lema1: Numa elipse, qq diametro eh a media geometrica entre a corda focal que lhe eh paralela e o eixo maior. Ou seja: (D1D2)^2 = (M1M2) x (2*a), onde D1D2 eh diametro qq e M1M2 corda focal paralela a D1D2. Prova: Exercicio para vc. Lema2: Numa elipse, a soma dos quadrados de dois semidiametros conjugados eh constante e igual a soma dos quadrados dos semi eixos. Ou seja: [(D1D2)/2]^2 + [(E1E2)/2]^2 = a^2 + b^2, onde D1D2 e E1E2 sao diametros conjugados. Prova: Exercicio para vc. Teorema: Numa elipse, a soma de duas cordas focais, paralelas a dois diametros conjugados, eh constante. Prova: Sejam dois diametros conjugados D1D2 e E1E2 e as cordas focais M1M2, P1P2 q lhe sao paralelas. Do lema 1, temos que: (D1D2)^2 = (M1M2) x (2*a) (E1E2)^2 = (P1P2) x (2*a) Somando as expressoes: (M1M2 + P1P2) x (2*a) = (D1D2)^2 + (E1E2)^2, do lema 2, temos que: M1M2 + P1P2 = 2*( a + (b^2)/a) = constante. Em particular tome P1P2 igual ao eixo maior, ou seja P1P2 = 2*a (maximo) e M1M2 = 2*(b^2)/a (minimo, perpendicular a P1P2). Isto eh tudo... Andre Araujo. ----- Original Message ----- From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, May 26, 2002 7:49 PM Subject: [obm-l] Conicas e Latus Rectum > Como mostrar que a menor corda focal de uma elipse eh sempre perpendicular ao eixo maior? > > Esse problema me persegue ha bastante tempo ... qdo eu era aluno no 2o grau, li em algum lugar essa propriedade... q dentre todas as cordas da elipse passando por um determinado foco, aquela q fosse perpendicular ao eixo maior tinha comprimento minimo.. parece q existem resultados analogos para as outras conicas.. Eu nao lembro aonde li isso, mas nunca encontrei a demonstracao. e agora eu precisei demonstrar isso e nao consegui. se alguem puder ajudar, agradeco!! (tentei inicialmente colocar o comprimento da corda em funcao do angulo x com a horizontal, e depois analisar a funcao > f(tan(x)).. a expressao era um pouco grande (4 fracoes racionais de grau <= 2, duas delas ao quadrado) mas nao oobtive sucesso... > > Obrigado, > Marcio > > > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
