Caro Bruno, a notação que você usou não está muito legível. Seria melhor adotar índices para os a's, por exemplo: a_1, a_2, a_3, ..., a_n. Para fazer exponenciação geralmente se usa "^", aí as alternativas seriam P>2^(n+3), P>5^n, e assim por diante.
Quanto ao problema. Existe uma desigualdade, que aprendi a demonstrar por indução (e talvez você já conheça ou queira provar como exercício) que diz que se a_1, a_2, ..., a_n são números não-negativos então (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 1 + (a_1*a_2*...*a_n) com a igualdade se e so se todos os a_i's forem iguais a zero. No caso do seu problema. Temos P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) > 1 + (a_1*a_2*...*a_n) = 5. Isso claramente não resolve o problema. Uma estratégia mais interessante me parece procurar pelo valor mínimo de P, após fixado o n. Fazendo a multiplicação, temos P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + [a_1+a_2+...+a_n] + [a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_n] + ... + [a_1a_2...a_n] No primeiro colchetes temos os n termos a's solitários. No segundo colchetes temos os produtos de pares de a's. No terceiro, o produto de trincas. E assim por diante. Vamos aplicar a desigualdade: média aritmética >= média geométrica em cada um dos colchetes. P >= 1 + n*[RAIZ_n {a_1a_2...a_n}] + n(n-1)/2*[RAIZ_n(n-1)/2 {(a_1a_2...a_n)^(n-1)}] + ... + [a_1a_2...a_n] De forma mais compacta P >= 1 + SOMATÓRIO{ k=1...n : C(n,k) * RAIZ_C(n,k) { (a_1a_2...a_n)^(C(n-1,k-1)) } } = 1 + SOMATÓRIO{ k=1...n : C(n,k) * (RAIZ_n (4^k) } = (1 + RAIZ_n(4))^n ((Revisem as contas, fiz de modo simplificado)) Basta mostrar que a igualdade ocorre se e somente se a_1=a_2=...a_n, mas isso é claro por termos usado a desigualdade média aritmética e geométrica. Portanto P >= (1 + RAIZ_n(4))^n e a igualdade pode ocorrer para cada n. Com isso fica fácil de ver que qualquer exponencial do tipo a^n (onde a>1) vai acabar superando P para algum n suficientemente grande, repare que 1 + RAIZ_n(4), a "base" da nossa exponencial se aproxima de 1 a medida que n cresce. De modo que nem a) nem b) nem c) nem d) são verdadeiras. Logo a alternativa correta é e). Um abraço! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. >From: Bruno > >Eu não consegui fazer este exercício do ITA e desafio todos dessa lista: >"Suponha a', a'', ....., an são números reais positivos, com n>2 e que >a'.a''.a'''....an=4 >Nesta situação, a repeito do produto: >P=(1+a')(1+a'').......(1+an) temos: > n+3 >a.)P>2 > n > b.)P>5 > n+1 > c.)P>2 > n+1 >d.)P>5 > e.)n.d.a. > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================