obrigado pela solução mas o que é: "sqrt"? abraços, Bruno ----- Original Message ----- From: "Rodrigo Villard Milet" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, June 07, 2002 11:01 AM Subject: Re: [obm-l] Desafio
> Use que 1+a(i) >=2sqrt[a(i)]. Fazendo o produto dessas n equações, temos que > P >=2^n * sqrt[ produto a(i) ] = 2^n * 2 = 2^(n+1). RESPOSTA : C. > Villard > -----Mensagem original----- > De: Eduardo Casagrande Stabel <[EMAIL PROTECTED]> > Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> > Data: Quinta-feira, 6 de Junho de 2002 23:09 > Assunto: Re: [obm-l] Desafio > > > >Caro Bruno, > > > >a notação que você usou não está muito legível. Seria melhor adotar índices > >para os a's, por exemplo: a_1, a_2, a_3, ..., a_n. Para fazer exponenciação > >geralmente se usa "^", aí as alternativas seriam P>2^(n+3), P>5^n, e assim > >por diante. > > > >Quanto ao problema. Existe uma desigualdade, que aprendi a demonstrar por > >indução (e talvez você já conheça ou queira provar como exercício) que diz > >que se a_1, a_2, ..., a_n são números não-negativos então > > > >(1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 1 + (a_1*a_2*...*a_n) > > > >com a igualdade se e so se todos os a_i's forem iguais a zero. > > > >No caso do seu problema. Temos > > > >P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) > 1 + (a_1*a_2*...*a_n) = 5. > > > >Isso claramente não resolve o problema. Uma estratégia mais interessante me > >parece procurar pelo valor mínimo de P, após fixado o n. > > > >Fazendo a multiplicação, temos > > > >P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + [a_1+a_2+...+a_n] + > >[a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_n] + ... + [a_1a_2...a_n] > > > >No primeiro colchetes temos os n termos a's solitários. > >No segundo colchetes temos os produtos de pares de a's. > >No terceiro, o produto de trincas. E assim por diante. > >Vamos aplicar a desigualdade: média aritmética >= média geométrica em cada > >um dos colchetes. > > > >P >= 1 + n*[RAIZ_n {a_1a_2...a_n}] + n(n-1)/2*[RAIZ_n(n-1)/2 > >{(a_1a_2...a_n)^(n-1)}] + ... + [a_1a_2...a_n] > > > >De forma mais compacta > > > >P >= 1 + SOMATÓRIO{ k=1...n : C(n,k) * RAIZ_C(n,k) { > >(a_1a_2...a_n)^(C(n-1,k-1)) } } = > >1 + SOMATÓRIO{ k=1...n : C(n,k) * (RAIZ_n (4^k) } > >= (1 + RAIZ_n(4))^n > > > >((Revisem as contas, fiz de modo simplificado)) > > > >Basta mostrar que a igualdade ocorre se e somente se a_1=a_2=...a_n, mas > >isso é claro por termos usado a desigualdade média aritmética e geométrica. > > > >Portanto P >= (1 + RAIZ_n(4))^n e a igualdade pode ocorrer para cada n. > > > >Com isso fica fácil de ver que qualquer exponencial do tipo a^n (onde a>1) > >vai acabar superando P para algum n suficientemente grande, repare que 1 + > >RAIZ_n(4), a "base" da nossa exponencial se aproxima de 1 a medida que n > >cresce. De modo que nem a) nem b) nem c) nem d) são verdadeiras. Logo a > >alternativa correta é e). > > > >Um abraço! > > > >Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. > > > > > >>From: Bruno > >> > >>Eu não consegui fazer este exercício do ITA e desafio todos dessa lista: > >>"Suponha a', a'', ....., an são números reais positivos, com n>2 e que > >>a'.a''.a'''....an=4 > >>Nesta situação, a repeito do produto: > >>P=(1+a')(1+a'').......(1+an) temos: > >> n+3 > >>a.)P>2 > >> n > >> b.)P>5 > >> n+1 > >> c.)P>2 > >> n+1 > >>d.)P>5 > >> e.)n.d.a. > >> > > > > > >========================================================================= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > >========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================