At 14:00 6/14/2002 -0300, you wrote:
>Eu, de novo, com meus problemas de analitica.
>
>Tendo dois pontos A(a,b) B(c,d), eu consigo achar a equacao da reta que
>passa pelos dois pontos multiplicando a matriz {a, b | c, d} por {x,y}.
>Como eu posso provar que isso � verdade?
>Outra coisa que eu fiz, mas acho que a resposta nao est� conferindo.
>Como eu provo que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio?
>Pode ser por analitica ou por plana.
Hum.. vou comentar primeiro o segundo que tenho mais certeza. Temos o
paralelogramo ABCD (segue figura). Seja M o ponto m�dio do segmento AC, ou
seja, AM[vetor] = MC[vetor]. Queremos mostrar que M tamb�m � ponto m�dio do
segumento BC, ou seja, que BM[vetor] = MD[vetor].
BM[vetor] = BC[vetor] + CM[vetor] = MA[vetor] + AD[vetor] = -DM[vetor] =
MC[vetor].
Logo as duas diagonais AC e BD se cortam ao meio.
O primeiro problema � algo que vem me atormentando h� tempos mas eu conhe�o
de uma maneira levemente diferente. Sejam os pontos A=(a,b) e B=(c,d)
montando a seguinte matriz e igualando o determinante a 0, tambem chegamos
na equa��o geral da reta que passa por esses dois pontos:
| x y 1 |
| a b 1 | = 0
| c d 1 | matriz [1]
Essa matriz tamb�m tem outras propriedades misteriosas... Tomemos um
triangulo em E� com v�rtices A=(a,b), B=(c,d) e C=(e,f), sendo D o
determinante da matriz abaixo:
| a b 1 |
| c d 1 |
| e f 1 | matriz[2]
A �rea do tri�ngulo desse triangulo � dada por |D|/2.
A partir dessa propriedade fica natural 'zerarmos' o determinante que
usamos para achar a equa��o da reta... j� que se os pontos sao colineares
eles nao podem formar um triangulo e portanto a area deve ser nula.
Ainda assim.. s� disfar�amos um pouco o problema... fica a quest�o. porque
cargas d'�gua ao montarmos a matriz [2] acima, calcularmos o determinante,
pegarmos seu valor absoluto e dividirmos por dois temos a area do triangulo...
Quando trabalhamos em E�, quando temos tres vetores u=(x1,y1,z1)
v=(x2,y2,z2) e w=(x3,y3,z3). e calculamos o determinante da matriz formada
pelos valores de x1,y1,z1...etc. se os tres vetores forem linearmente
independentes, obtemos o volume do paralelepipedo dos quais os tres sao
vertices. Se eles forem linearmente dependentes esse determinante � 0.
Nao sei at� que ponto essas propriedades misteriosas da matrizes se aplicam
ou podem ser provadas em E�. Voltando para a matriz[1] podemos imaginar
tres vetores, v=(x,y,1), u=(c,d,1) e w=(e,f,1). Ao impormos D(matriz[1]) =
0, queremos que esses tres vetores sejam linearmente dependentes, ou seja
paralelos ao mesmo plano. Novamente.. ainda � um mist�rio pra mim como isso
se relaciona as retas em E�.
Bom, acho que s� atrapalhei e inventei mais duvidas do que solucionei seu
problema de fato... mas como j� comentei era algo que vinha me atormentando
e com sorte outros membros da lista vao jogar uma luz nisso :P
"... a perfect formulation of a problem is already half
its solution."
David Hilbert.
-
[]'s
Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa
USP, IME, Estat�stica
http://www.linux.ime.usp.br/~feferraz
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