Ola! Um jeito de esclarever sua dúvida é fazer o seguinte.
Sejam (a,b) e (c,d) dois pontos distintos do plano. Prove o seguinte: Se o ponto (x,y) pertence à reta que passa pelos dois pontos então existe um real t tal que t*(a,b) + (1-t)*(c,d) = (x,y) Repare que o grafico da função t -> t*(a,b) + (1-t)*(c,d) é uma reta, e calcule t=0 e t=1 para ver que ela passa pelos pontos (a,b) e (c,d). Depois de provar isso, use as propriedades do determinante. Se o determinante for | x y 1 | | a b 1 | = 0 | c d 1 | então as linhas são linearmente dependentes. Como as duas últimas são linearmente independentes segue que a primeira é combinação das duas últimas (x,y,1) = q*(a,b,1) + p*(c,d,1) Temos q + p = 1, substitui q = t e p = 1 - t (x,y,1) = t*(a,b,1) + (1-t)*(c,d,1) o que implica (x,y) = t*(a,b) + (1-t)*(c,d) e daí (x,y) pertence à reta que passa por (a,b) e (c,d). Reciprocamente, se (x,y) pertence à essa reta, existe t tal que (x,y) = t*(a,b) + (1-t)*(c,d) e daí (x,y,1) = t*(a,b,1) + (1-t)*(c,d,1) o que implica que (x,y,1) é combinação linear de (a,b,1) e (c,d,1) daí o determinante | x y 1 | | a b 1 | = 0 | c d 1 | o que completa a prova. Em relação à primeira observação, a saber, que todos os pontos da reta são obtidos multiplicando-se | a b | | x | | c d |.| y | tenho que dizer que ela não é verdadeira. Por que? Ponha (a,b) = (1,0) e (c,d) = (0,1), todos que estudaram um pouco de matrizes sabem que todos os pontos do plano podem ser obtidos fazendo a multiplicação matricial aí de cima, portanto não se trate de uma reta. Uma possibilidade, em termos de multiplicação seria | a c | | t | | b d |.|1-t| o que é igual à primeira observação do e-mail. Um abraço! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. From: "Fernando Henrique Ferraz P. da Rosa" <[EMAIL PROTECTED]> >Eu, de novo, com meus problemas de analitica. > >Tendo dois pontos A(a,b) B(c,d), eu consigo achar a equacao da reta que >passa pelos dois pontos multiplicando a matriz {a, b | c, d} por {x,y}. >Como eu posso provar que isso é verdade? >Outra coisa que eu fiz, mas acho que a resposta nao está conferindo. >Como eu provo que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio? >Pode ser por analitica ou por plana. Hum.. vou comentar primeiro o segundo que tenho mais certeza. Temos o paralelogramo ABCD (segue figura). Seja M o ponto médio do segmento AC, ou seja, AM[vetor] = MC[vetor]. Queremos mostrar que M também é ponto médio do segumento BC, ou seja, que BM[vetor] = MD[vetor]. BM[vetor] = BC[vetor] + CM[vetor] = MA[vetor] + AD[vetor] = -DM[vetor] = MC[vetor]. Logo as duas diagonais AC e BD se cortam ao meio. O primeiro problema é algo que vem me atormentando há tempos mas eu conheço de uma maneira levemente diferente. Sejam os pontos A=(a,b) e B=(c,d) montando a seguinte matriz e igualando o determinante a 0, tambem chegamos na equação geral da reta que passa por esses dois pontos: | x y 1 | | a b 1 | = 0 | c d 1 | matriz [1] Essa matriz também tem outras propriedades misteriosas... Tomemos um triangulo em E² com vértices A=(a,b), B=(c,d) e C=(e,f), sendo D o determinante da matriz abaixo: | a b 1 | | c d 1 | | e f 1 | matriz[2] A área do triângulo desse triangulo é dada por |D|/2. A partir dessa propriedade fica natural 'zerarmos' o determinante que usamos para achar a equação da reta... já que se os pontos sao colineares eles nao podem formar um triangulo e portanto a area deve ser nula. Ainda assim.. só disfarçamos um pouco o problema... fica a questão. porque cargas d'água ao montarmos a matriz [2] acima, calcularmos o determinante, pegarmos seu valor absoluto e dividirmos por dois temos a area do triangulo... Quando trabalhamos em E³, quando temos tres vetores u=(x1,y1,z1) v=(x2,y2,z2) e w=(x3,y3,z3). e calculamos o determinante da matriz formada pelos valores de x1,y1,z1...etc. se os tres vetores forem linearmente independentes, obtemos o volume do paralelepipedo dos quais os tres sao vertices. Se eles forem linearmente dependentes esse determinante é 0. Nao sei até que ponto essas propriedades misteriosas da matrizes se aplicam ou podem ser provadas em E². Voltando para a matriz[1] podemos imaginar tres vetores, v=(x,y,1), u=(c,d,1) e w=(e,f,1). Ao impormos D(matriz[1]) = 0, queremos que esses tres vetores sejam linearmente dependentes, ou seja paralelos ao mesmo plano. Novamente.. ainda é um mistério pra mim como isso se relaciona as retas em E². Bom, acho que só atrapalhei e inventei mais duvidas do que solucionei seu problema de fato... mas como já comentei era algo que vinha me atormentando e com sorte outros membros da lista vao jogar uma luz nisso :P "... a perfect formulation of a problem is already half its solution." David Hilbert. - []'s Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa USP, IME, Estatística http://www.linux.ime.usp.br/~feferraz ---------------------------------------------------------------------------- ---- > > --- > Outgoing mail is certified Virus Free. > Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). > Version: 6.0.370 / Virus Database: 205 - Release Date: 6/5/2002 > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================