From: "Marcos Reynaldo" <[EMAIL PROTECTED]>
[Primeiro e-mail]
> Caros colegas, talvez voces possam me ajudar em numa
> duvida.
> Resolvendo uns problemas de C�lculo do livro Calculo A
> da Diva Marilia e Miriam Buss, me deparei com o limite
> de raiz quadrada de x quando x tende a zero. Pelo que
> eu lembro, esse limite n�o existe. Mas as autoras do
> livro do C�lculo A, resolvem um exercicio que envolvem
> a soma de tr�s fun��es dentre elas raiz de x e 1/x^2
> (a outra n�o lembro, mas � tipo x, vamos dizer), da
> seguinte forma lim (x + raiz x + 1/x^2) quando x tende
> a zero = 0 + 0 + infinito = + infinito. Ora, mais ai
> ela considera que lim de raz x quando x tende a zero �
> 0. Olhei um exercicio do Guidorizzi (lim raiz de x
> quando x tende a zero) e ele d� como resposta 0.
> N�o sei se n�o aprendi direito, mas como pode ser
> zero? Pela direita tudo bem , mas pela esquerda temos
> n�meros complexos e esse conjunto n�o eh ordenado para
> falar que tende a zero.
> Gostaria de saber dos colegas quem estah certo eu ou
> os autores.
Marcos,
depende do dom�nio que est� sendo considerado.
Na fun��o
raiz : R^(+) -> R
raiz(x) = x^(1/2)
certamente temos lim( raiz(x) , x->0 ) = 0, pelo que voc� mesmo disse, pois
pela direita o limite � zero e como ela n�o est� definida � esquerda de
zero, n�o h� mais o que se considerar.
No caso complexo, podemos definir uma fun��o raiz (cont�nua) que satisfaz
(raiz(z))^2 = z somente em um peda�o do plano complexo, por exemplo para
z = r * e^(i*a) onde r > 0 e -pi < a < pi
definimos
raiz(z) = raiz(r) * e^(i*(a/2))
e raiz(0) = 0
nesse dom�nio (que � os complexos tirando fora os n�meros reais negativos)
temos lim( raiz(z) , z->0 ) = 0, mas aqui o limite � num sentido um pouco
diferente do limite que voc� viu para os n�meros reais.
Para se definir limite nos complexos voc� procede assim: numa sequ�ncia de
complexos z_n dizemos que ela � convergente ao limite z, se for satisfeita a
seguinte condi��o: para todo e>0 existe um N tal que n > N implica |z - z_n|
< e. Ou seja, a partir de um certo n os z_n ficam muito pr�ximos (no plano
complexo) de z. Assim, voc� n�o precisa de uma ordem para definir o limite,
s� precisa de uma fun��o (a chamada m�trica) que calcula a dist�ncia de
elementos. (existem ainda outras formas de definir limite sem utilizar
m�tricas, s� para constar)
A id�ia de limite �, na verdade, muito mais geral que o caso real, portanto.
[Segundo e-mail]
> Outra duvida, a maioria dos livros de calculo define
> que uma funcao eh continua num ponto x=a quando
> 1) f(a) existe
> 2) lim f(x) quando x tende a a existe
> 3) lim f(x) quando x tende a a = f(a)
>
> Ora mas a primeira condic�o n�o tem sentido nenhum.
> Pra analisar se uma fun��o � continua tem que analisar
> nos pontos do dominio da fun��o e n�o fora. Portanto
> f(a) sempre existe. Dessa defini��o poderia concluir
> ent�o que se f(a) n�o existe a fun��o � descontinua.
> Mas n�o se pode falar nada pois ela nem � definida. �
> a mesma coisa que perguntar qual a cor dos olhos da
> mula sem cabe�a. Se n�o tem cabe�a como posso dizer
> que isso ou aquilo.
> T� errado na minha considera��o ?
>
> []'s Marcos
A primeira condi��o tem sentido sim, e quer dizer que "a" pertence ao
dom�nio da f.
O fato de f(a) existir � puramente uma quest�o de como foi definida a fun��o
f. Por exemplo, a fun��o
f: R-{0} -> R
f(x) = 1, pra todo x do dom�nio
� cont�nua em todos os pontos de seu dom�nio (os reais n�o nulos), mas n�o
faz sentido perguntar se a f � cont�nua no zero, afinal n�o podemos comparar
o valor lim( f(x), x-> 0) (que nesse caso existe e � igual a 1) com f(0),
pois nem definimos quanto � f no zero. (e vale a sua compara��o, � como
perguntar a cor dos olhos da mula sem cabe�a). � claro que n�s podemos
estender (aumentar o dom�nio da fun��o) a f para todos os reais definindo
f(0)=1 e a� a nova f vai ser cont�nua em zero.
Vou me repetir mais uma vez, o que a defini��o diz � que s� podemos
perguntar se a f � cont�nua num determinado ponto se ela estiver definida
naquele ponto.
Acho que esclareci um pouco.
Um abra�o!
Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
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