02/09/02 13:22:18, Gabriel P�rgola <[EMAIL PROTECTED]> wrote: >E a� pessoal, > >Gostaria de ver a resolu��o destes problemas de n�meros complexos que n�o >consegui fazer:
Sao exercicios simples, q vou fazer mais para me exercitar, pois sao mais trabalhosos do q desafiantes... cheque as contas! >1) Obtenha o argumento de sen 40� + i cos 40� obviamente, 40� >2) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i >sqrt[3])^n � um numero real para (1 + i*sqrt(3))^n ser real, seu argumento devera ser 0� ou 180� ou k180�, k E Z, passando (1+isqrt(3)) para a forma trigonometrica, temos: modulo = sqrt(1^2 + sqrt(3)^2) = sqrt(1+3) = 2 argumento = arccos(1/2) = 60� entao temos (2*(cos60�+isen60�))^n = = 2^n*(cos(60�*n)+isen(60�*n) para que o argumento (60�*n) de 0� ou 180� com n>0, n E Z: 60*n=360�, n=6 60*n=180�, n=3 Logo a resposta eh 3. >3) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i >sqrt[3])^n � um numero real positivo. a mesma coisa, s� que agora 180� nao serve (pois eh real negativo) 60*n=360, n=6 >4) Obtenha as raizes complexas das equacoes: > a) x^5 = 1 > b) x^6 = 1 x^5 = 1 x= raizquintupla(1*(cos0+isen0)) x= cos(0/5 + 360k/5) + isen(0/5 + 360k/5), 0<=k<5, k E Z as raizes: x= cos0�+isen0� = 1 (nao eh complexa) x= cos72�+isen72� x= cos144�+isen144� x= cos216�+isen216� x= cos288�+isen288� >5) Representando, no plano, as raizes complexas da equacao z^3 + 8 = 0, >obtem-se um triangulo. Calcule a area desse triangulo. z^3=-8 tem 3 raizes, por 3 ser impar, uma das raizes eh real z= raizcubica(-8) z= raizcubica( 8*(cos180�+isen180�) ) z= 2*(cos(180/3+360k/3)+isen(180/3+360k/3)), 0<=k<3 z= 2*(cos(60+120k)+isen(60+120k)) as raizes: k=0, z=2*(cos60�+isen60�) = 2*(1/2 + i*sqrt(3)/2) = 1+i*sqrt(3) k=1, z=2*(cos180�+isen180�) = 2*(-1 + i*0) = -2 k=2, z=2*(cos300�+isen300�) = (sabe-se que 1+isqrt(3) eh raiz, entao seu conjugado, 1-isqrt(3) eh a terceira raiz) entao temos os pontos do triangulo ABC no plano complexo: A(1, sqrt(3)) B(-2, 0) C(1, -sqrt(3)) Seja D a matriz: |Ax Ay 1| |Bx By 1| |Cx Cy 1| Area = modulo do determinante de D sobre 2 Area = |sqrt(3)+2sqrt(3)-(-sqrt(3)-2sqrt(3))|/2 Area = 3sqrt(3) >6) A quantidade de numeros complexos que tem o seu quadrado igual ao seu >conjugado �? Seja z um numero complexo, vc quer a qtde de n� complexos que z^2 = conjugado de z pela forma trigonometrica, seja m o modulo e a o argumento: m^2*(cos(2a)+isen(2a)) = m*(cos(a)-isen(a)) sabemos que -sen(x) = sen(-x) m^2*(cos(2a)+isen(2a)) = m*(cos(a)+isen(-a)) sabemos que m eh diferente de zero, pois senao o numero nao sera complexo. dividimos ambos os lados por m. m*(cos(2a)+isen(2a)) = (cos(a)+isen(-a)) pela identidade: (1) mcos2a = cosa (2) msen2a = sen-a (1) 2m*cos^2(a) - m = cosa (2) 2m*cosa*sena = -sena sabemos que sena nao eh zero, pois senao o numero nao sera complexo. (1) m = cosa / (2cos^2(a) - 1) (2) 2mcosa = -1 (2) cosa = -1/2m (1) m = (-1 / 2m) / ( 2*(1/4m^2) - 1) (1) m = (-1 / 2m) / ( 1/(2m^2) - 1) (1) m = (-1 / 2m) / ((1-2m^2)/(2m^2)) os extremos pelos meios (1) m = (-1 * 2m^2) / (2m * (1-2m^2)) (1) m = -2m^2 / (2m - 4m^3)) (1) 2m^2 -4m^4 = -2m^2 (1) -4m^4 + 4m^2 = 0 (1) m^4 -m^2 = 0 y = m^2 (1) y^2-y=0 (1) y(y-1) = 0 (1) ou y=0 --> m^2=0 --> m=0 o que nao devemos levar em conta no exercicio (1) ou y=1 --> m^2=1 --> m=1 ou m=-1 para m=1: (2) cosa = -1/2 (2) a = 120� formando o numero complexo: z = 1*(cos120�+isen120�) z = -1/2 + i*sqrt(3)/ 2 para m=-1: (2) cosa = 1/2 (2) a = 60� formando: z = -1*(cos60�+isen60�) z = 1*(cos240�+isen240�) z = -1/2 - i*sqrt(3)/2 Entao temos dois numeros complexos z tal que z^2 = conjugado de z e eles sao cos60�+isen60� e cos240�+isen240� ufa, quanta conta, acho melhor tirar a prova... z^2 = conjugado de z (isqrt(3)/2 - 1/2)^2 = -1/2 -isqrt(3)/2 -3/4 - isqrt(3)/2 +1/4 = -1/2 -isqrt(3)/2 -1/2 - isqrt(3)/2 = -1/2 -isqrt(3)/2 (verdade) z^2 = conjugado de z (-1/2 -isqrt(3)/2)^2 = -1/2 +isqrt(3)/2 1/4 + isqrt(3)/2 - 3/4 = -1/2 +isqrt(3)/2 -1/2 + isqrt(3)/2 = -1/2 +isqrt(3)/2 (verdade) >� isso! Agrade�o qualquer ajuda. > >Gabriel P�rgola ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
