Wagner wrote:
Oi pessoal !2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é diferente de zero.Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda função não tem raiz real a primeira também não tem.Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a ; f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c =>f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) => f '' (x) =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x) > 0 => 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 =>2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b > 0 => h(x) = 6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b > 0.Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos apenas provar que h(x) não possui raízes reais.Se h(x) não possui raízes reais então : 36(a^2)(b^2) -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 =>12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 => 12b^2 -48ac -24b <0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 )Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações:Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2 -4ac < 0 => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac < 2b -1,logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais CQD.Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x) = 0 => 2ax +b-1 =0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c ==c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a =>módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é | {-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = yf ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) => f ' (x) = (2ax +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) ; f ' (x) =0 =>(2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0.O primeiro caso implica em: x= -b/2aO segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c + 2(a^2)b).Vamos provar que delta < 0 : 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +2(a^2)b) < 0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 ).Como ( 1 ) já foi provado, então ficamos só com o caso x= -b/2a =>f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2 +b((b^2/4a) -(b^2/2a) +c) +c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c ==a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a)) +c = a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>módulo da ordenada de máximo ou mínimo de f (x) é | {a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z.Como a segunda hipótese é verdadeira então se g(x) tem máximo definido f(x) também tem, e se g(x)tem mínimo definido f(x) também tem. Temos que se p(x) =x não tem raiz real f '(x) e g'(x) só tem umaraiz real, note que se a > 0, g(x) tem mínimo e se a < 0, g(x) tem máximo. Logo para provar a primeira hipótese, temosque considerar 2 casos : a > 0 e a < 0.Suponha que a primeira hipótese seja falsa:a > 0 => y > z e y,z > 0 => g((1-b)/2a) > f(-b/2a) => -b^2/4a -b/2a +1/4a +c > a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>-4b^2 -8b +4 > 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 => 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4 =h(a) < 0Considere ( 2 ) uma função do 2º grau de variável a. Temos a > 0, logo:64(b^4)(c^2) -64(b^4)(c^2) -64(c^2)(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0 => 16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4> 0 ( 3 ).De ( 2 ) vem que: (b^2 -4ac)^2 < -(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0 . Absurdo !Para o caso a < 0 => y > z, temos um raciocínio análogo, provamos que se a < 0, então h(a) > 0, logo o delta de h(a)é negativo, o que nos leva a conclusão de que (b^2 -4ac)^2 < 0 Absurdo !Logo a primeira hipótese é verdadeira, porque é absurdo que ela seja falsa se a segunda hipótese é verdadeira,Logo p(x)=x não ter raízes reais implica na segunda hipótese qua implica na primeira.Se a primeira e a segunda hipóteses são ambas verdadeiras, isso implica que p(p(x))=0 não tem nenhuma raiz realCQD.Isso eh falso. Se p(x) = x^2 +3x+2, a equaçao p(p(x))=0 tem uma raiz real entre -1 e 0.
OBS:Me desculpem pelo e-mail que eu mandei sem querer antes, ele estava com a resposta pela metade.André T.----- Original Message -----From: EderSent: Thursday, December 19, 2002 5:32 PM
Gostaria da ajuda de vcs nestes problemas russos:1)Um triângulo tem área 1 e lados a > = b > = c.Prove que b² > = 2.2)Defina p(x)=ax²+bx+c.Se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, prove que p(p(x)) = 0 também não tem nenhuma raiz real.Grato pela ajuda.Eder