Caro Artur: Seja X um conjunto aberto da reta real. Então, pelo teorema da existência (para cada aberto X, existe uma família enumerável de intervalos abertos disjuntos dois a dois cuja união é X), podemos escrever X = UNIÃO A(i), onde i pertence a N e os A(i) são intervalos abertos disjuntos dois a dois.
Em algum ponto da demonstração da existência dos A(i) deve ter aparecido o seguinte fato: "Se x pertence a X, então x pertence a A(i), para algum i, e A(i) é o maior sub-intervalo de X que contém x" Suponhamos que X = UNIÃO B(j) ( j em N, e os B(j) intervalos abertos disjuntos dois a dois) e que as duas representações são distintas. Neste caso, existirá um índice "r" tal que B(r) será diferente de A(i) para todo i. Seja "x" pertencente a B(r). Então B(r) é o maior sub-intervalo de X que contém "x". Por outro lado, existe um índice "s" tal que "x" pertence a A(s), e A(s) é o maior sub-intervalo de X que contém "x". Assim, A(s) = B(r) ==> Contradição pois, por hipótese, B(r) é diferente de A(i) para todo i ==> As duas representações são idênticas. Espero que isto seja útil. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, January 04, 2003 11:33 PM Subject: [obm-l] conjuntos abertos na reta real > Feliz 2003 para todos! > > Sabemos que, na reta real, todo conjunto aberto é dado por uma união > disjunta e numerável de intervalos abertos. Quase todos os livros de > Análise Real apresentam a prova deste teorema. Estou agora tentanto > provar que esta representação de conjuntos abertos é única, e estou > encontrando alguma difculdade. Deve haver algum detalhe, talvez trivial, > que esteja me passando. Alguém poderia ajudar? > > Obrigado. > Artur > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================