[obm-l] Baltic Way 1990 em Frances

Thu, 09 Jan 2003 12:52:12 -0800

Baltic Way 1990, Riga, Lettonie

Dur�e : 4 heures, par �quipes de cinq �l�ves libres de communiquer

Exercice 1

Les entiers $\{1,2,\ldots,n\}$ sont inscrits, dans un certain ordre, sur la circonf�rence d'un cercle. Quelle est la plus petite valeur possible de la somme des valeurs absolues des diff�rences entre entiers voisins ?

Exercice 2

On �num�re les carr�s d'un papier quadrill� de la mani�re suivante : \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c} $\ddots$ & & & & & \\ \hline 10 & 14 & $\ddots$ & & & \\ \hline 6 & 9 & 13 & $\ddots$ & & \\ \hline 3 & 5 & 8 & 12 & $\ddots$ & \\ \hline 1 & 2 & 4 & 7 & 11 & $\ddots$ \\ \hline \end{tabular}

Construire un polyn�me $p(m,n)$ � deux variables m et n tel que pour tous m, n, le nombre �crit dans le carr� de coordonn�es $(m,n)$ soit �gal � $p(m,n)$.

Exercice 3

Soient $a_0>0$, $c>0$, et pour tout n entier :

\[a_{n+1}=\frac{a_n+c}{1-a_nc}\]

Est-il possible que les 1990 premiers termes $a_0,a_1,\ldots,a_{1989}$ soient strictement positifs, et que $a_{1990}<0$ ?

Exercice 4

Montrer que, pour tous r�els $a_1,a_2,\ldots,a_n$ :

\[\sum_{i,j=1}^n \frac{a_ia_j}{i+j-1} \geq 0\]

Exercice 5

Soit $\ast$ une op�ration donn�e qui � tout couple $(a,b)$ de r�els, associe un r�el $a\ast b$ (par exemple $a \ast b=a+b^2-17$). Construire une �quation qui est vraie (pour toutes les valeurs possibles des variables) d�s que l'op�ration $\ast$ est commutative ou associative, mais qui peut �tre fausse en g�n�ral.

($\ast$ est commutative si on a $a\ast b=b \ast a$ pour tous a et b ; elle est associative si on a $a\ast (b\ast c)=(a \ast b)\ast c$ pour tous a, b, c.)

Exercice 6

Soit un quadrilat�re ABCD tel que $AD=BC$ et $\widehat{A}+\widehat{B}=120^\circ$. Soit P un point ext�rieur au quadrilat�re, tel que A et P soient situ�s de part et d'autre de la droite $(DC)$ et que le triangle DPC soit �quilat�ral.

Montrer que APB est �quilat�ral.

Exercice 7

Le milieu de chaque c�t� d'un pentagone convexe est reli� par un segment au point d'intersection des m�dianes du triangle form� par les trois autres sommets du pentagone. Montrer que ces cinq segments se rencontrent en un m�me point.

Exercice 8

Soit P un point du cercle circonscrit � un triangle ABC. On sait que les pieds des perpendiculaires abaiss�es de P sur les droites AB, AC, BC sont align�s (droite de Simson de P). Montrer que les droites de Simson de deux points diam�tralement oppos�s sont perpendiculaires.

Exercice 9

Deux triangles isom�triques sont inscrits dans une ellipse. Sont-ils n�cessairement sym�triques par rapport � un axe ou au centre de l'ellipse ?

Exercice 10

Sur une droite t, on marque un segment AB de longueur 1. Puis, on d�place ce segment dans le plan de telle sorte qu'il reste toujours parall�le � t, que les trajectoires de A et B ne s'intersectent pas et que, finalement, le segment revient sur t. Quelle est la distance maximale � laquelle le point A peut se trouver de sa position initiale ?

Exercice 11

Montrer que la valeur absolue d'une racine enti�re d'un polyn�me � coefficients entiers ne peut pas d�passer la plus grande des valeurs absolues des coefficients.

Exercice 12

Soient m et n des entiers sup�rieurs ou �gaux � 1. Montrer que $25m+3n$ est divisible par 83 si et seulement si $3m+7n$ est divisible par 83.

Exercice 13

Montrer que l'�quation $x^2-7y^2=1$ a une infinit� de solutions parmi les entiers positifs.

Exercice 14

Existe-t-il 1990 nombres premiers entre eux tels que toutes les sommes possibles d'au moins deux de ces nombres sont des entiers compos�s ?

(Un entier est dit compos� s'il est le produit d'au moins deux nombres premiers, non n�cessairement distincts.)

Exercice 15

Montrer qu'aucun des nombres $F_n=2^{2^n}+1$, $n=0,1,2,\ldots$, n'est le cube d'un entier.

Exercice 16

Une ligne polygonale est trac�e sur un papier quadrill� de telle sorte que ses segments se trouvent sur les lignes du quadrillage. La taille du quadrillage est �gale � 1, les longueurs des segments de la ligne polygonale sont tous des nombres impairs. La ligne est referm�e.

Montrer que le nombre de segments de la ligne est divisible par 4.

Exercice 17

Deux tas de bonbons comprennent respectivement 72 et 30 bonbons. Deux �l�ves prennent, chacun leur tour, des bonbons dans l'un des tas. � chaque fois, le nombre de bonbons pris dans un tas doit �tre un multiple du nombre de bonbons dans l'autre tas. Est-ce que celui qui joue en premier, ou bien celui qui joue en second, peut toujours s'arranger pour prendre le dernier bonbon de l'un des deux tas ?

Exercice 18

Des entiers entre 1 et 101 sont inscrits dans chacune des cases d'une grille carr�e $101\times 101$, de telle sorte que chaque entier est utilis� 101 fois. Montrer qu'il existe soit une colonne, soit une ligne contenant au moins 11 nombres diff�rents.

Exercice 19

Quel est le plus grand nombre possible de sous-ensembles de $\{1,2,\ldots,2n+1\}$ tels que l'intersection de deux quelconques (distincts) de ces sous-ensembles soit constitu�e d'un ou plusieurs entiers cons�cutifs ?

Exercice 20

Un exercice de cr�ativit� : proposer un probl�me de comp�tition original, ainsi que sa solution.


Busca Yahoo!
O melhor lugar para encontrar tudo o que voc� procura na Internet

Responder a