Le vingt-quatri�me Tournoi des Villes
�preuve de printemps, 1�res -- terminales, version d'entra�nement.
(Le total des points est calcul� � partir des trois probl�mes pour lesquels vous en avez obtenu le plus, les points des sous-questions d'un m�me probl�me s'ajoutent. Les points sont indiqu�s entre crochets.)
- John et Mary choisissent chacun un nombre entier positif et le communiquent � Bill, qui �crit la somme de ces deux nombres sur un papier, et leur produit sur un autre. Il montre alors l'un de ces papiers � John et Mary qui y voient le nombre
sans savoir s'il s'agit de la somme ou du produit. John regarde le nombre et d�clare qu'il ne peut pas en d�duire le nombre qu'a choisi Mary. Ayant entendu cela, Mary dit qu'elle ne sait pas non plus quel nombre a choisi John. Quel �tait le nombre choisi par Mary ? [4 points]
- Un contr�le a eu lieu dans une classe. On sait qu'au moins les deux tiers des questions de ce contr�le �taient difficiles : pour chacune de ces questions difficiles, au moins les deux tiers des �l�ves n'ont pas su r�pondre. On sait aussi qu'au moins les deux tiers des �l�ves ont bien r�ussi le contr�le : chacun d'eux a su r�pondre � au moins deux tiers des questions. Est-ce possible ? [1 point]
- La r�ponse � la question pr�c�dente serait-elle la m�me si l'on rempla�ait partout deux tiers par trois quarts ? [1 point]
- La r�ponse � la premi�re question serait-elle la m�me si l'on rempla�ait partout deux tiers par sept dixi�mes ? [2 points]
- On consid�re un ensemble fini de droites, deux � deux non parall�les, qui d�coupent le plan en plusieurs parties. On place un point A dans l'une de ces parties. Montrer qu'il existe un point B tel que, pour chacune des droites, A et B ne sont jamais du m�me c�t�, si et seulement si la partie qui contient A n'est pas born�e. [5 points]
- Soient
trois nombres de l'intervalle ouvert
. D�montrer l'in�galit�
[5 points]
- On consid�re une suite infinie de nombres entiers positifs telle que le successeur
de x est obtenu en ajoutant � x l'un de ses chiffres non nuls. Montrer que dans cette suite appara�t n�cessairement un nombre pair. [5 points]
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