Uma solução diferente da do Prof. Morgado usa o seguinte fato: "Se y > 0, então y + 1/y >=2, com igualdade se e somente se y = 1" Demonstração: (y-1)^2 >= 0 ==> y^2 - 2y + 1 >=0 ==> y^2 + 1 >= 2y ==> (dividindo por y, que é > 0) y + 1/y >= 2. Além disso, é fácil ver que a primeira desigualdade vira uma igualdade se e somente se y = 1. Logo, a última também.
Conclusão: o valor mínimo de y + 1/y para y > 0 é igual a 2 (e ocorre se e seomente se y = 1) ********* Agora, a idéia é usar uma mudança de variáveis da forma x = ay, onde "a" é uma constante real positiva, a fim de obter uma expressão da forma: b(y + 1/y) Assim, 5x + 16/x = 5ay + 16/(ay) = b(y + 1/y) ==> 5a = b e 16/a = b ==> 5a = 16/a ==> a^2 = 16/5 ==> a = 4/raiz(5) ==> b = 5a = 20/raiz(5) = 4raiz(5) Logo, a sua expressão E = 5x + 16/x + 21 torna-se E = 4raiz(5)(y + 1/y) + 21. Como o valor mínimo de y + 1/y é 2, você pode concluir que o valor mínimo de E é 8raiz(5) + 21, ou, como o Prof. Morgado expressou, raiz(320) + 21. Como exercício, tente achar o valor mínimo de: F = 4y^2 + 8y + 12/y + 9/y^2 + 1 (derivando e igualando a zero você cai numa equação de quarto grau !!!) Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Thyago Alexandre Kufner" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, February 05, 2003 7:28 PM Subject: [obm-l] Máximos e Mínimos SEM DERIVADAS Olá colegas da lista Recebi o seguinte exercício de um aluno: "Sendo x um nº positivo determine o menor valor de E= 5x + 16/x + 21" Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero ... Mas o que quero propor para a lista é o seguinte: tem como chegar ao resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO? Proponho esta discussão por causa do seguinte artigo: http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/MaxMin.pdf Aguardo resposta Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================