Uma solu��o diferente da do Prof. Morgado usa o seguinte fato: "Se y > 0, ent�o y + 1/y >=2, com igualdade se e somente se y = 1" Demonstra��o: (y-1)^2 >= 0 ==> y^2 - 2y + 1 >=0 ==> y^2 + 1 >= 2y ==> (dividindo por y, que � > 0) y + 1/y >= 2. Al�m disso, � f�cil ver que a primeira desigualdade vira uma igualdade se e somente se y = 1. Logo, a �ltima tamb�m.
Conclus�o: o valor m�nimo de y + 1/y para y > 0 � igual a 2 (e ocorre se e seomente se y = 1) ********* Agora, a id�ia � usar uma mudan�a de vari�veis da forma x = ay, onde "a" � uma constante real positiva, a fim de obter uma express�o da forma: b(y + 1/y) Assim, 5x + 16/x = 5ay + 16/(ay) = b(y + 1/y) ==> 5a = b e 16/a = b ==> 5a = 16/a ==> a^2 = 16/5 ==> a = 4/raiz(5) ==> b = 5a = 20/raiz(5) = 4raiz(5) Logo, a sua express�o E = 5x + 16/x + 21 torna-se E = 4raiz(5)(y + 1/y) + 21. Como o valor m�nimo de y + 1/y � 2, voc� pode concluir que o valor m�nimo de E � 8raiz(5) + 21, ou, como o Prof. Morgado expressou, raiz(320) + 21. Como exerc�cio, tente achar o valor m�nimo de: F = 4y^2 + 8y + 12/y + 9/y^2 + 1 (derivando e igualando a zero voc� cai numa equa��o de quarto grau !!!) Um abra�o, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Thyago Alexandre Kufner" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, February 05, 2003 7:28 PM Subject: [obm-l] M�ximos e M�nimos SEM DERIVADAS Ol� colegas da lista Recebi o seguinte exerc�cio de um aluno: "Sendo x um n� positivo determine o menor valor de E= 5x + 16/x + 21" Normal, um exerc�cio simples. Deriva, iguala a zero ... Mas o que quero propor para a lista � o seguinte: tem como chegar ao resultado SEM UTILIZAR C�LCULO? Proponho esta discuss�o por causa do seguinte artigo: http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/MaxMin.pdf Aguardo resposta Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
