Re: [obm-l] Matriz de Hilbert

[Cl�udio \(Pr�tica\)]

Tente usar: A^(-1) = (1/detA) * adj(A), onde adj(A) � a matriz adjunta cl�ssica de A (a transposta da matriz dos cofatores).   O elemento (j,i) (note a invers�o dos �ndices) de adj(A) � igual a (-1)^(i+j)*detM(i,j), onde M(i,j) = matriz (n-1)x(n-1) obtida de A pela elimina��o da i-�sima linha e da j-�sima coluna.   Pra calcular detM(i,j), use o mesmo truque: considere o caso mais geral de m(i,j) = 1/(X(i) + Y(j)).   Parece ser mais bra�al do que realmente �:   Lembre-se que det(A) = Num/Den, onde:   Num = PRODUT�RIO [X(j) - X(i)]*[Y(j) - Y(i)]    (grau = n^2 - n)           1 <= i < j <= n e   Den = PRODUT�RIO [X(i) + Y(j)]     (grau = n^2)           1 <= i <= n           1 <= j <= n   Pra calcular detM(r,s) voc� s� precisa eliminar das f�rmulas acima os termos envolvendo i = r e j = s, o que ir� resultar num Numerador de grau (n-1)^2 - (n-1) = n^2 - 3n + 2 e num Denominador de grau (n-1)^2   Um abra�o, Claudio. ----- Original Message ----- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 18, 2003 1:36 PM Subject: [obm-l] Matriz de Hilbert Agora estou as voltas de inverter essa jo�a bendita.Como inverter e uma tarefa nao-trivial,to a beira da loucura extrema(quanta emo�ao...)So pra nao esquecer: O determinante �: 1^(2(n-1)) * 2^(2(n-2)) * ... * (n-1)^2/ (2^1 * 3^2 * ... * n^(n-1) * (n+1)^n * (n+2)^(n-1) * ... * (2n-1)^2 * 2n Uma demonstra��o boa est� aqui http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/hilbmat  Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Acredito sim pois essa ideia nao e estranha.Quero ver o dia que provarem diretamente que um numero e primo sem provar que ele nao e composto.Ah,o k e 1 o Saldanha acabou de mostrar isso.  Cl�udio_(Pr�tica) <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Caro JP:   N�o tenho a solu��o ainda, mas acho que uma id�ia que pode funcionar � olhar para det(A) como sendo uma fun��o racional dos i's e dos j's (tomados como vari�veis - como os x's num polin�mio). Para evitar confus�o, podemos considerar a matriz nxn B, tal que B(i,j) = 1/(X(i) + Y(j)). Assim, det(B) ser� uma fun��o racional nas 2n vari�veis X(i), Y(j)  (1 <= i,j <= n)   Ap�s calcular det(B) e reduzi-lo um denominador comum, podemos tentar provar que: 1) O denominador de det(B) ser� igual ao produto dos n^2 termos da forma [X(i) + Y(j)] = 1/B(i,j) ==> grau(denominador) = n^2;   2) O numerador de det(B) ser� divis�vel por [X(j) - X(i)] e [Y(j) - Y(i)], para todo i e j com 1 <= i < j <= n.   A afirmativa (2) ter� levado em conta um fator do numerador de grau n^2 - n.   Entretanto, det(B) � igual � soma alg�brica de n! termos cujos denominadores t�m grau n. Logo grau(det(B)) = -n. Assim: grau(det(B)) = grau(numerador) - grau(denominador)  ==>  -n = grau(numerador) - n^2  ==> grau(numerador) = n^2 - n  ==>   numerador = K * PRODUT�RIO [X(j) - X(i)]*[Y(j) - Y(i)]                          1 <= i < j <= n onde K � uma constante.   Agora, resta provar que K = 1. Acho que pode sair da mesma forma que no determinante de Vandermonde.   Vou pensar um pouco mais.   Bom fim de semana e um abra�o, Claudio.   PS: Aquela solu��o do x^2+x+p � primo foi um golpe duro....voc� acreditaria se eu dissesse que eu tinha justamente acabado de pensar nela? Eu n�o.....   ----- Original Message ----- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, February 14, 2003 3:01 PM Subject: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?) Turma,ces sabem calcular o determinante de uma matriz n*n onde a(i;j)*(i+j)=1 sempre?Pelo que eu saiba deve ter isso na lista mas de qualquer caso... Busca Yahoo! O servi�o de busca mais completo da Internet. O que voc� pensar o Yahoo! encontra. Busca Yahoo! O servi�o de busca mais completo da Internet. O que voc� pensar o Yahoo! encontra. Busca Yahoo! O servi�o de busca mais completo da Internet. O que voc� pensar o Yahoo! encontra.