Ol� Morgado, Como resolver estas:
Mesmo n�o sendo o Morgado, vou tentar ajudar (FUVEST) A reta y= mx (m>0) � tangente � circunfer�ncia (x-4)^2 + y^2=4. Determine o seno do �ngulo que a reta forma com o eixo x. resp: 1/2 Por ser tangente � circunferencia, a reta intercepta-a em um, e apenas um, ponto. Logo, a equa��o (x-4)^2 + (mx)^2 =4 tem uma, e apenas uma, raiz real. Esta equa��o � equivalente a (1+ m^2)x^2 -8x + 12 =0, e apresentar� uma �nica solu��o real se, e somente se, seu discriminante for zero. Logo, 64 - 48 (1+ m^2) = 16 -48m^2 = 0, cuja solu��o � m = + ou - 1/raiz(3). Como, por hip�tese, m>0, apenas a solu��o positiva interessa. A reta, portanto, forma com o eixo dos x um �ngulo a cuja tangente � 1/raiz(3). Segue-se que sec(a)^2 = 1+ tan(a)^2 = 1+ 1/3 = 4/3. Logo, cos(a)^2 = 3/4 (o �ngulo � do primeiro quadrante) e sen(a)^2 = 1/4. Finalmente, conclu�mos que sen(a) = 1/2. (U.E. Londrina) Sejam a circunfer�ncia (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equa��o da reta tangente lambda pelo ponto P �: resp: y=4 Calculando-se implicitamente a derivada de y com rel. a x, y', temos pela regra da cadeia que 2x + 2y y' +2 -4 y'=0 -> y'= (-2x -2)/(2y -4) = (x+1)/(2-y), y<>2. No ponto dado, temos que y' = 0, logo a tangente � horizontal. E como esta tangente intercepta a circunfer�ncia em um ponto de ordenada 4 segue-se que sua equa��o � y =4. Vc poderioa chegar rapidamente a esta mesma conclus�o observado que a equa��o da circunfer�ncia pode ser escrita como (x+1)^2 + (y-2)^2 = 4, a qual tem centro em (-1, 2) e raio 2. Logo, (-1, 4) � ponto mais "alto" da intersec��o com a circunfer�ncia da vertical de abcissa -1, a qual passa pelo centro de lambda. Como a tangente � perpendicular a esta vertical, a conclus�o � imediata. Um abra�o Artur
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